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Theorem ballotlemsf1o

Description: The defined S is a bijection, and an involution. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Apr-2017)

Ref Expression
Hypotheses ballotth.m 
|- M e. NN
ballotth.n 
|- N e. NN
ballotth.o 
|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p 
|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f 
|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e 
|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn 
|- N < M
ballotth.i 
|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s 
|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
Assertion ballotlemsf1o 
|- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M + N ) ) /\ `' ( S ` C ) = ( S ` C ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ballotth.m 
 |-  M e. NN
2 ballotth.n 
 |-  N e. NN
3 ballotth.o 
 |-  O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4 ballotth.p 
 |-  P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5 ballotth.f 
 |-  F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6 ballotth.e 
 |-  E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
7 ballotth.mgtn 
 |-  N < M
8 ballotth.i 
 |-  I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
9 ballotth.s 
 |-  S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ballotlemsval 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( S ` C ) = ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ballotlemsv 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` i ) = if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) )
12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ballotlemsdom 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` i ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
13 11 12 eqeltrrd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ballotlemsv 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` j ) = if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) )
15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ballotlemsdom 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` j ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
16 14 15 eqeltrrd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
17 oveq2 
 |-  ( i = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) ) )
18 id 
 |-  ( i = j -> i = j )
19 breq1 
 |-  ( i = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) -> ( i <_ ( I ` C ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) <_ ( I ` C ) ) )
20 breq1 
 |-  ( i = j -> ( i <_ ( I ` C ) <-> j <_ ( I ` C ) ) )
21 1 2 3 4 5 6 7 8 ballotlemiex 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
22 21 simpld 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
23 elfzelz 
 |-  ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
24 23 peano2zd 
 |-  ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( ( I ` C ) + 1 ) e. ZZ )
25 22 24 syl 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) + 1 ) e. ZZ )
26 25 zcnd 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) + 1 ) e. CC )
27 26 adantr 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> ( ( I ` C ) + 1 ) e. CC )
28 elfzelz 
 |-  ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> j e. ZZ )
29 28 zcnd 
 |-  ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> j e. CC )
30 29 ad2antll 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> j e. CC )
31 27 30 nncand 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) ) = j )
32 31 eqcomd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) ) )
33 22 23 syl 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
34 33 adantr 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
35 elfznn 
 |-  ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> j e. NN )
36 35 ad2antll 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> j e. NN )
37 34 36 ltesubnnd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) <_ ( I ` C ) )
38 37 adantr 
 |-  ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) /\ j <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) <_ ( I ` C ) )
39 vex 
 |-  j e. _V
40 39 a1i 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> j e. _V )
41 ovexd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) e. _V )
42 17 18 19 20 32 38 40 41 ifeqeqx 
 |-  ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) /\ i = if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) ) -> j = if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) )
43 oveq2 
 |-  ( j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) ) )
44 id 
 |-  ( j = i -> j = i )
45 breq1 
 |-  ( j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) -> ( j <_ ( I ` C ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) <_ ( I ` C ) ) )
46 breq1 
 |-  ( j = i -> ( j <_ ( I ` C ) <-> i <_ ( I ` C ) ) )
47 elfzelz 
 |-  ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> i e. ZZ )
48 47 zcnd 
 |-  ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> i e. CC )
49 48 ad2antrl 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> i e. CC )
50 27 49 nncand 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) ) = i )
51 50 eqcomd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> i = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) ) )
52 34 adantr 
 |-  ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) /\ i <_ ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
53 simplrl 
 |-  ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) /\ i <_ ( I ` C ) ) -> i e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
54 elfznn 
 |-  ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> i e. NN )
55 53 54 syl 
 |-  ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) /\ i <_ ( I ` C ) ) -> i e. NN )
56 52 55 ltesubnnd 
 |-  ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) /\ i <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) <_ ( I ` C ) )
57 vex 
 |-  i e. _V
58 57 a1i 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> i e. _V )
59 ovexd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) e. _V )
60 43 44 45 46 51 56 58 59 ifeqeqx 
 |-  ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) /\ j = if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) ) -> i = if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) )
61 42 60 impbida 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> ( i = if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) <-> j = if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
62 10 13 16 61 f1o3d 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M + N ) ) /\ `' ( S ` C ) = ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) ) ) )
63 62 simpld 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M + N ) ) )
64 oveq2 
 |-  ( i = j -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) )
65 20 64 18 ifbieq12d 
 |-  ( i = j -> if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) = if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) )
66 65 cbvmptv 
 |-  ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) ) = ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) )
67 66 a1i 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) ) = ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) ) )
68 62 simprd 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> `' ( S ` C ) = ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) ) )
69 67 10 68 3eqtr4rd 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> `' ( S ` C ) = ( S ` C ) )
70 63 69 jca 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M + N ) ) /\ `' ( S ` C ) = ( S ` C ) ) )