Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rpvmasum.z |
|- Z = ( Z/nZ ` N ) |
2 |
|
rpvmasum.l |
|- L = ( ZRHom ` Z ) |
3 |
|
rpvmasum.a |
|- ( ph -> N e. NN ) |
4 |
|
rpvmasum2.g |
|- G = ( DChr ` N ) |
5 |
|
rpvmasum2.d |
|- D = ( Base ` G ) |
6 |
|
rpvmasum2.1 |
|- .1. = ( 0g ` G ) |
7 |
|
rpvmasum2.w |
|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } |
8 |
|
dchrisum0.b |
|- ( ph -> X e. W ) |
9 |
|
eqid |
|- ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) = ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) |
10 |
7
|
ssrab3 |
|- W C_ ( D \ { .1. } ) |
11 |
|
difss |
|- ( D \ { .1. } ) C_ D |
12 |
10 11
|
sstri |
|- W C_ D |
13 |
12 8
|
sselid |
|- ( ph -> X e. D ) |
14 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
dchrisum0re |
|- ( ph -> X : ( Base ` Z ) --> RR ) |
15 |
|
fveq2 |
|- ( k = ( m x. d ) -> ( sqrt ` k ) = ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) |
16 |
15
|
oveq2d |
|- ( k = ( m x. d ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` k ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) |
17 |
|
rpre |
|- ( x e. RR+ -> x e. RR ) |
18 |
17
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR ) |
19 |
13
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> X e. D ) |
20 |
|
elrabi |
|- ( m e. { i e. NN | i || k } -> m e. NN ) |
21 |
20
|
nnzd |
|- ( m e. { i e. NN | i || k } -> m e. ZZ ) |
22 |
21
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> m e. ZZ ) |
23 |
4 1 5 2 19 22
|
dchrzrhcl |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC ) |
24 |
|
elfznn |
|- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> k e. NN ) |
25 |
24
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. NN ) |
26 |
25
|
nnrpd |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. RR+ ) |
27 |
26
|
rpsqrtcld |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqrt ` k ) e. RR+ ) |
28 |
27
|
rpcnd |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqrt ` k ) e. CC ) |
29 |
28
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( sqrt ` k ) e. CC ) |
30 |
27
|
rpne0d |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqrt ` k ) =/= 0 ) |
31 |
30
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( sqrt ` k ) =/= 0 ) |
32 |
23 29 31
|
divcld |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` k ) ) e. CC ) |
33 |
32
|
anasss |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` k ) ) e. CC ) |
34 |
16 18 33
|
dvdsflsumcom |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` k ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) |
35 |
1 2 3 4 5 6 9
|
dchrisum0fval |
|- ( k e. NN -> ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) ) |
36 |
25 35
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) ) |
37 |
36
|
oveq1d |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqrt ` k ) ) = ( sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` k ) ) ) |
38 |
|
fzfid |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... k ) e. Fin ) |
39 |
|
dvdsssfz1 |
|- ( k e. NN -> { i e. NN | i || k } C_ ( 1 ... k ) ) |
40 |
25 39
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { i e. NN | i || k } C_ ( 1 ... k ) ) |
41 |
38 40
|
ssfid |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { i e. NN | i || k } e. Fin ) |
42 |
41 28 23 30
|
fsumdivc |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` k ) ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` k ) ) ) |
43 |
37 42
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqrt ` k ) ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` k ) ) ) |
44 |
43
|
sumeq2dv |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqrt ` k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` k ) ) ) |
45 |
|
rprege0 |
|- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) |
46 |
45
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) |
47 |
|
resqrtth |
|- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) = x ) |
48 |
46 47
|
syl |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) = x ) |
49 |
48
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) ) = ( |_ ` x ) ) |
50 |
49
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) |
51 |
48
|
fvoveq1d |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` ( ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) / m ) ) = ( |_ ` ( x / m ) ) ) |
52 |
51
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) |
53 |
52
|
sumeq1d |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) |
54 |
53
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) |
55 |
50 54
|
sumeq12dv |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) |
56 |
34 44 55
|
3eqtr4d |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqrt ` k ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) |
57 |
56
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqrt ` k ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) ) |
58 |
|
rpsqrtcl |
|- ( x e. RR+ -> ( sqrt ` x ) e. RR+ ) |
59 |
58
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqrt ` x ) e. RR+ ) |
60 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sqrt ` x ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sqrt ` x ) ) ) |
61 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) = ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) ) |
62 |
|
oveq1 |
|- ( z = ( sqrt ` x ) -> ( z ^ 2 ) = ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) ) |
63 |
62
|
fveq2d |
|- ( z = ( sqrt ` x ) -> ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) = ( |_ ` ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) ) ) |
64 |
63
|
oveq2d |
|- ( z = ( sqrt ` x ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) ) ) ) |
65 |
62
|
fvoveq1d |
|- ( z = ( sqrt ` x ) -> ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) = ( |_ ` ( ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) |
66 |
65
|
oveq2d |
|- ( z = ( sqrt ` x ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ) |
67 |
66
|
sumeq1d |
|- ( z = ( sqrt ` x ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) |
68 |
67
|
adantr |
|- ( ( z = ( sqrt ` x ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) |
69 |
64 68
|
sumeq12dv |
|- ( z = ( sqrt ` x ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) |
70 |
59 60 61 69
|
fmptco |
|- ( ph -> ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) o. ( x e. RR+ |-> ( sqrt ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) ) |
71 |
57 70
|
eqtr4d |
|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqrt ` k ) ) ) = ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) o. ( x e. RR+ |-> ( sqrt ` x ) ) ) ) |
72 |
|
eqid |
|- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) |
73 |
1 2 3 4 5 6 7 8 72
|
dchrisum0lema |
|- ( ph -> E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqrt ` y ) ) ) ) |
74 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqrt ` y ) ) ) ) ) -> N e. NN ) |
75 |
8
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqrt ` y ) ) ) ) ) -> X e. W ) |
76 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqrt ` y ) ) ) ) ) -> c e. ( 0 [,) +oo ) ) |
77 |
|
simprrl |
|- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqrt ` y ) ) ) ) ) -> seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) ) ~~> t ) |
78 |
|
simprrr |
|- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqrt ` y ) ) ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqrt ` y ) ) ) |
79 |
1 2 74 4 5 6 7 75 72 76 77 78
|
dchrisum0lem3 |
|- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqrt ` y ) ) ) ) ) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) ) |
80 |
79
|
rexlimdvaa |
|- ( ph -> ( E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqrt ` y ) ) ) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) ) ) |
81 |
80
|
exlimdv |
|- ( ph -> ( E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqrt ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqrt ` y ) ) ) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) ) ) |
82 |
73 81
|
mpd |
|- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) ) |
83 |
|
o1f |
|- ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) : dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) --> CC ) |
84 |
82 83
|
syl |
|- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) : dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) --> CC ) |
85 |
|
sumex |
|- sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) e. _V |
86 |
|
eqid |
|- ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) = ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) |
87 |
85 86
|
dmmpti |
|- dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) = RR+ |
88 |
87
|
feq2i |
|- ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) : dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) --> CC <-> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) : RR+ --> CC ) |
89 |
84 88
|
sylib |
|- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) : RR+ --> CC ) |
90 |
|
rpssre |
|- RR+ C_ RR |
91 |
90
|
a1i |
|- ( ph -> RR+ C_ RR ) |
92 |
|
resqcl |
|- ( t e. RR -> ( t ^ 2 ) e. RR ) |
93 |
|
0red |
|- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> 0 e. RR ) |
94 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> t e. RR ) |
95 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( t ^ 2 ) <_ x ) |
96 |
45
|
ad2antrl |
|- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) |
97 |
96
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) |
98 |
97 47
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) = x ) |
99 |
95 98
|
breqtrrd |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( t ^ 2 ) <_ ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) ) |
100 |
94
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> t e. RR ) |
101 |
59
|
rpred |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqrt ` x ) e. RR ) |
102 |
101
|
ad2ant2r |
|- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> ( sqrt ` x ) e. RR ) |
103 |
102
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( sqrt ` x ) e. RR ) |
104 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> 0 <_ t ) |
105 |
|
sqrtge0 |
|- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> 0 <_ ( sqrt ` x ) ) |
106 |
96 105
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> 0 <_ ( sqrt ` x ) ) |
107 |
106
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> 0 <_ ( sqrt ` x ) ) |
108 |
100 103 104 107
|
le2sqd |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( t <_ ( sqrt ` x ) <-> ( t ^ 2 ) <_ ( ( sqrt ` x ) ^ 2 ) ) ) |
109 |
99 108
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> t <_ ( sqrt ` x ) ) |
110 |
94
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> t e. RR ) |
111 |
|
0red |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> 0 e. RR ) |
112 |
102
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> ( sqrt ` x ) e. RR ) |
113 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> t <_ 0 ) |
114 |
106
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> 0 <_ ( sqrt ` x ) ) |
115 |
110 111 112 113 114
|
letrd |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> t <_ ( sqrt ` x ) ) |
116 |
93 94 109 115
|
lecasei |
|- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> t <_ ( sqrt ` x ) ) |
117 |
116
|
expr |
|- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqrt ` x ) ) ) |
118 |
117
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ t e. RR ) -> A. x e. RR+ ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqrt ` x ) ) ) |
119 |
|
breq1 |
|- ( c = ( t ^ 2 ) -> ( c <_ x <-> ( t ^ 2 ) <_ x ) ) |
120 |
119
|
rspceaimv |
|- ( ( ( t ^ 2 ) e. RR /\ A. x e. RR+ ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqrt ` x ) ) ) -> E. c e. RR A. x e. RR+ ( c <_ x -> t <_ ( sqrt ` x ) ) ) |
121 |
92 118 120
|
syl2an2 |
|- ( ( ph /\ t e. RR ) -> E. c e. RR A. x e. RR+ ( c <_ x -> t <_ ( sqrt ` x ) ) ) |
122 |
89 82 59 91 121
|
o1compt |
|- ( ph -> ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqrt ` ( m x. d ) ) ) ) o. ( x e. RR+ |-> ( sqrt ` x ) ) ) e. O(1) ) |
123 |
71 122
|
eqeltrd |
|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqrt ` k ) ) ) e. O(1) ) |
124 |
1 2 3 4 5 6 9 13 14 123
|
dchrisum0fno1 |
|- -. ph |