Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
derang.d |
|- D = ( x e. Fin |-> ( # ` { f | ( f : x -1-1-onto-> x /\ A. y e. x ( f ` y ) =/= y ) } ) ) |
2 |
|
simpl |
|- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> A ~~ B ) |
3 |
|
bren |
|- ( A ~~ B <-> E. s s : A -1-1-onto-> B ) |
4 |
2 3
|
sylib |
|- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> E. s s : A -1-1-onto-> B ) |
5 |
|
deranglem |
|- ( B e. Fin -> { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin ) |
6 |
5
|
adantl |
|- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin ) |
7 |
|
f1oco |
|- ( ( s : A -1-1-onto-> B /\ g : A -1-1-onto-> A ) -> ( s o. g ) : A -1-1-onto-> B ) |
8 |
7
|
ad2ant2lr |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) -> ( s o. g ) : A -1-1-onto-> B ) |
9 |
|
f1ocnv |
|- ( s : A -1-1-onto-> B -> `' s : B -1-1-onto-> A ) |
10 |
9
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) -> `' s : B -1-1-onto-> A ) |
11 |
|
f1oco |
|- ( ( ( s o. g ) : A -1-1-onto-> B /\ `' s : B -1-1-onto-> A ) -> ( ( s o. g ) o. `' s ) : B -1-1-onto-> B ) |
12 |
8 10 11
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) -> ( ( s o. g ) o. `' s ) : B -1-1-onto-> B ) |
13 |
|
coass |
|- ( ( s o. g ) o. `' s ) = ( s o. ( g o. `' s ) ) |
14 |
13
|
fveq1i |
|- ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` z ) = ( ( s o. ( g o. `' s ) ) ` z ) |
15 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) -> g : A -1-1-onto-> A ) |
16 |
|
f1oco |
|- ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ `' s : B -1-1-onto-> A ) -> ( g o. `' s ) : B -1-1-onto-> A ) |
17 |
15 10 16
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) -> ( g o. `' s ) : B -1-1-onto-> A ) |
18 |
|
f1of |
|- ( ( g o. `' s ) : B -1-1-onto-> A -> ( g o. `' s ) : B --> A ) |
19 |
17 18
|
syl |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) -> ( g o. `' s ) : B --> A ) |
20 |
|
fvco3 |
|- ( ( ( g o. `' s ) : B --> A /\ z e. B ) -> ( ( s o. ( g o. `' s ) ) ` z ) = ( s ` ( ( g o. `' s ) ` z ) ) ) |
21 |
19 20
|
sylan |
|- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( ( s o. ( g o. `' s ) ) ` z ) = ( s ` ( ( g o. `' s ) ` z ) ) ) |
22 |
14 21
|
syl5eq |
|- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` z ) = ( s ` ( ( g o. `' s ) ` z ) ) ) |
23 |
|
f1of |
|- ( `' s : B -1-1-onto-> A -> `' s : B --> A ) |
24 |
10 23
|
syl |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) -> `' s : B --> A ) |
25 |
|
fvco3 |
|- ( ( `' s : B --> A /\ z e. B ) -> ( ( g o. `' s ) ` z ) = ( g ` ( `' s ` z ) ) ) |
26 |
24 25
|
sylan |
|- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( ( g o. `' s ) ` z ) = ( g ` ( `' s ` z ) ) ) |
27 |
24
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( `' s ` z ) e. A ) |
28 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) |
29 |
|
fveq2 |
|- ( y = ( `' s ` z ) -> ( g ` y ) = ( g ` ( `' s ` z ) ) ) |
30 |
|
id |
|- ( y = ( `' s ` z ) -> y = ( `' s ` z ) ) |
31 |
29 30
|
neeq12d |
|- ( y = ( `' s ` z ) -> ( ( g ` y ) =/= y <-> ( g ` ( `' s ` z ) ) =/= ( `' s ` z ) ) ) |
32 |
31
|
rspcv |
|- ( ( `' s ` z ) e. A -> ( A. y e. A ( g ` y ) =/= y -> ( g ` ( `' s ` z ) ) =/= ( `' s ` z ) ) ) |
33 |
27 28 32
|
sylc |
|- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( g ` ( `' s ` z ) ) =/= ( `' s ` z ) ) |
34 |
26 33
|
eqnetrd |
|- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( ( g o. `' s ) ` z ) =/= ( `' s ` z ) ) |
35 |
34
|
necomd |
|- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( `' s ` z ) =/= ( ( g o. `' s ) ` z ) ) |
36 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> s : A -1-1-onto-> B ) |
37 |
19
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( ( g o. `' s ) ` z ) e. A ) |
38 |
|
f1ocnvfv |
|- ( ( s : A -1-1-onto-> B /\ ( ( g o. `' s ) ` z ) e. A ) -> ( ( s ` ( ( g o. `' s ) ` z ) ) = z -> ( `' s ` z ) = ( ( g o. `' s ) ` z ) ) ) |
39 |
36 37 38
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( ( s ` ( ( g o. `' s ) ` z ) ) = z -> ( `' s ` z ) = ( ( g o. `' s ) ` z ) ) ) |
40 |
39
|
necon3d |
|- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( ( `' s ` z ) =/= ( ( g o. `' s ) ` z ) -> ( s ` ( ( g o. `' s ) ` z ) ) =/= z ) ) |
41 |
35 40
|
mpd |
|- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( s ` ( ( g o. `' s ) ` z ) ) =/= z ) |
42 |
22 41
|
eqnetrd |
|- ( ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) /\ z e. B ) -> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` z ) =/= z ) |
43 |
42
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) -> A. z e. B ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` z ) =/= z ) |
44 |
|
fveq2 |
|- ( z = y -> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` z ) = ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) ) |
45 |
|
id |
|- ( z = y -> z = y ) |
46 |
44 45
|
neeq12d |
|- ( z = y -> ( ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` z ) =/= z <-> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) =/= y ) ) |
47 |
46
|
cbvralvw |
|- ( A. z e. B ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` z ) =/= z <-> A. y e. B ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) =/= y ) |
48 |
43 47
|
sylib |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) -> A. y e. B ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) =/= y ) |
49 |
12 48
|
jca |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) -> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) =/= y ) ) |
50 |
49
|
ex |
|- ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) -> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) =/= y ) ) ) |
51 |
|
vex |
|- g e. _V |
52 |
|
f1oeq1 |
|- ( f = g -> ( f : A -1-1-onto-> A <-> g : A -1-1-onto-> A ) ) |
53 |
|
fveq1 |
|- ( f = g -> ( f ` y ) = ( g ` y ) ) |
54 |
53
|
neeq1d |
|- ( f = g -> ( ( f ` y ) =/= y <-> ( g ` y ) =/= y ) ) |
55 |
54
|
ralbidv |
|- ( f = g -> ( A. y e. A ( f ` y ) =/= y <-> A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) |
56 |
52 55
|
anbi12d |
|- ( f = g -> ( ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) <-> ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) ) |
57 |
51 56
|
elab |
|- ( g e. { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } <-> ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) ) |
58 |
|
vex |
|- s e. _V |
59 |
58 51
|
coex |
|- ( s o. g ) e. _V |
60 |
58
|
cnvex |
|- `' s e. _V |
61 |
59 60
|
coex |
|- ( ( s o. g ) o. `' s ) e. _V |
62 |
|
f1oeq1 |
|- ( f = ( ( s o. g ) o. `' s ) -> ( f : B -1-1-onto-> B <-> ( ( s o. g ) o. `' s ) : B -1-1-onto-> B ) ) |
63 |
|
fveq1 |
|- ( f = ( ( s o. g ) o. `' s ) -> ( f ` y ) = ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) ) |
64 |
63
|
neeq1d |
|- ( f = ( ( s o. g ) o. `' s ) -> ( ( f ` y ) =/= y <-> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) =/= y ) ) |
65 |
64
|
ralbidv |
|- ( f = ( ( s o. g ) o. `' s ) -> ( A. y e. B ( f ` y ) =/= y <-> A. y e. B ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) =/= y ) ) |
66 |
62 65
|
anbi12d |
|- ( f = ( ( s o. g ) o. `' s ) -> ( ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) <-> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) =/= y ) ) ) |
67 |
61 66
|
elab |
|- ( ( ( s o. g ) o. `' s ) e. { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } <-> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( ( ( s o. g ) o. `' s ) ` y ) =/= y ) ) |
68 |
50 57 67
|
3imtr4g |
|- ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) -> ( g e. { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } -> ( ( s o. g ) o. `' s ) e. { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) ) |
69 |
|
vex |
|- h e. _V |
70 |
|
f1oeq1 |
|- ( f = h -> ( f : A -1-1-onto-> A <-> h : A -1-1-onto-> A ) ) |
71 |
|
fveq1 |
|- ( f = h -> ( f ` y ) = ( h ` y ) ) |
72 |
71
|
neeq1d |
|- ( f = h -> ( ( f ` y ) =/= y <-> ( h ` y ) =/= y ) ) |
73 |
72
|
ralbidv |
|- ( f = h -> ( A. y e. A ( f ` y ) =/= y <-> A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) |
74 |
70 73
|
anbi12d |
|- ( f = h -> ( ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) <-> ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) |
75 |
69 74
|
elab |
|- ( h e. { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } <-> ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) |
76 |
57 75
|
anbi12i |
|- ( ( g e. { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } /\ h e. { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ) <-> ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) |
77 |
9
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> `' s : B -1-1-onto-> A ) |
78 |
|
f1ofo |
|- ( `' s : B -1-1-onto-> A -> `' s : B -onto-> A ) |
79 |
77 78
|
syl |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> `' s : B -onto-> A ) |
80 |
8
|
adantrr |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> ( s o. g ) : A -1-1-onto-> B ) |
81 |
|
f1ofn |
|- ( ( s o. g ) : A -1-1-onto-> B -> ( s o. g ) Fn A ) |
82 |
80 81
|
syl |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> ( s o. g ) Fn A ) |
83 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> s : A -1-1-onto-> B ) |
84 |
|
simprrl |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> h : A -1-1-onto-> A ) |
85 |
|
f1oco |
|- ( ( s : A -1-1-onto-> B /\ h : A -1-1-onto-> A ) -> ( s o. h ) : A -1-1-onto-> B ) |
86 |
83 84 85
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> ( s o. h ) : A -1-1-onto-> B ) |
87 |
|
f1ofn |
|- ( ( s o. h ) : A -1-1-onto-> B -> ( s o. h ) Fn A ) |
88 |
86 87
|
syl |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> ( s o. h ) Fn A ) |
89 |
|
cocan2 |
|- ( ( `' s : B -onto-> A /\ ( s o. g ) Fn A /\ ( s o. h ) Fn A ) -> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) = ( ( s o. h ) o. `' s ) <-> ( s o. g ) = ( s o. h ) ) ) |
90 |
79 82 88 89
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) = ( ( s o. h ) o. `' s ) <-> ( s o. g ) = ( s o. h ) ) ) |
91 |
|
f1of1 |
|- ( s : A -1-1-onto-> B -> s : A -1-1-> B ) |
92 |
91
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> s : A -1-1-> B ) |
93 |
|
simprll |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> g : A -1-1-onto-> A ) |
94 |
|
f1of |
|- ( g : A -1-1-onto-> A -> g : A --> A ) |
95 |
93 94
|
syl |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> g : A --> A ) |
96 |
|
f1of |
|- ( h : A -1-1-onto-> A -> h : A --> A ) |
97 |
84 96
|
syl |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> h : A --> A ) |
98 |
|
cocan1 |
|- ( ( s : A -1-1-> B /\ g : A --> A /\ h : A --> A ) -> ( ( s o. g ) = ( s o. h ) <-> g = h ) ) |
99 |
92 95 97 98
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> ( ( s o. g ) = ( s o. h ) <-> g = h ) ) |
100 |
90 99
|
bitrd |
|- ( ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) ) -> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) = ( ( s o. h ) o. `' s ) <-> g = h ) ) |
101 |
100
|
ex |
|- ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( ( g : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( g ` y ) =/= y ) /\ ( h : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( h ` y ) =/= y ) ) -> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) = ( ( s o. h ) o. `' s ) <-> g = h ) ) ) |
102 |
76 101
|
syl5bi |
|- ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( g e. { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } /\ h e. { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ) -> ( ( ( s o. g ) o. `' s ) = ( ( s o. h ) o. `' s ) <-> g = h ) ) ) |
103 |
68 102
|
dom2d |
|- ( ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) /\ s : A -1-1-onto-> B ) -> ( { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin -> { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ~<_ { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) ) |
104 |
103
|
ex |
|- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> ( s : A -1-1-onto-> B -> ( { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin -> { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ~<_ { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) ) ) |
105 |
104
|
exlimdv |
|- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> ( E. s s : A -1-1-onto-> B -> ( { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin -> { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ~<_ { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) ) ) |
106 |
4 6 105
|
mp2d |
|- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ~<_ { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) |
107 |
|
enfii |
|- ( ( B e. Fin /\ A ~~ B ) -> A e. Fin ) |
108 |
107
|
ancoms |
|- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> A e. Fin ) |
109 |
|
deranglem |
|- ( A e. Fin -> { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin ) |
110 |
108 109
|
syl |
|- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin ) |
111 |
|
hashdom |
|- ( ( { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin /\ { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin ) -> ( ( # ` { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ) <_ ( # ` { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) <-> { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ~<_ { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) ) |
112 |
110 6 111
|
syl2anc |
|- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> ( ( # ` { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ) <_ ( # ` { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) <-> { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ~<_ { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) ) |
113 |
106 112
|
mpbird |
|- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> ( # ` { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ) <_ ( # ` { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) ) |
114 |
1
|
derangval |
|- ( A e. Fin -> ( D ` A ) = ( # ` { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ) ) |
115 |
108 114
|
syl |
|- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> ( D ` A ) = ( # ` { f | ( f : A -1-1-onto-> A /\ A. y e. A ( f ` y ) =/= y ) } ) ) |
116 |
1
|
derangval |
|- ( B e. Fin -> ( D ` B ) = ( # ` { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) ) |
117 |
116
|
adantl |
|- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> ( D ` B ) = ( # ` { f | ( f : B -1-1-onto-> B /\ A. y e. B ( f ` y ) =/= y ) } ) ) |
118 |
113 115 117
|
3brtr4d |
|- ( ( A ~~ B /\ B e. Fin ) -> ( D ` A ) <_ ( D ` B ) ) |