Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dihjust.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
dihjust.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
dihjust.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
dihjust.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
dihjust.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
6 |
|
dihjust.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
7 |
|
dihjust.i |
|- I = ( ( DIsoB ` K ) ` W ) |
8 |
|
dihjust.J |
|- J = ( ( DIsoC ` K ) ` W ) |
9 |
|
dihjust.u |
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W ) |
10 |
|
dihjust.s |
|- .(+) = ( LSSum ` U ) |
11 |
|
dihord2c.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
12 |
|
dihord2c.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
13 |
|
dihord2c.o |
|- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) ) |
14 |
|
dihord2.p |
|- P = ( ( oc ` K ) ` W ) |
15 |
|
dihord2.e |
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W ) |
16 |
|
dihord2.d |
|- .+ = ( +g ` U ) |
17 |
|
dihord2.g |
|- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = N ) |
18 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) ) |
19 |
|
simpl2l |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> X e. B ) |
20 |
|
simpl2r |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> Y e. B ) |
21 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) |
22 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> f e. T ) |
23 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) |
24 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
|
dihord11c |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) /\ f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> E. y e. ( J ` N ) E. z e. ( I ` ( Y ./\ W ) ) <. f , O >. = ( y .+ z ) ) |
25 |
18 19 20 21 22 23 24
|
syl123anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> E. y e. ( J ` N ) E. z e. ( I ` ( Y ./\ W ) ) <. f , O >. = ( y .+ z ) ) |
26 |
|
simpl11 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
27 |
|
simpl13 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) |
28 |
2 5 6 14 11 15 8 17
|
dicelval3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) -> ( y e. ( J ` N ) <-> E. s e. E y = <. ( s ` G ) , s >. ) ) |
29 |
26 27 28
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( y e. ( J ` N ) <-> E. s e. E y = <. ( s ` G ) , s >. ) ) |
30 |
|
simp11l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> K e. HL ) |
31 |
30
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> K e. HL ) |
32 |
31
|
hllatd |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> K e. Lat ) |
33 |
|
simp11r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> W e. H ) |
34 |
33
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> W e. H ) |
35 |
1 6
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. B ) |
36 |
34 35
|
syl |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> W e. B ) |
37 |
1 4
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y ./\ W ) e. B ) |
38 |
32 20 36 37
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( Y ./\ W ) e. B ) |
39 |
1 2 4
|
latmle2 |
|- ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y ./\ W ) .<_ W ) |
40 |
32 20 36 39
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( Y ./\ W ) .<_ W ) |
41 |
1 2 6 11 12 13 7
|
dibelval3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Y ./\ W ) e. B /\ ( Y ./\ W ) .<_ W ) ) -> ( z e. ( I ` ( Y ./\ W ) ) <-> E. g e. T ( z = <. g , O >. /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) |
42 |
26 38 40 41
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( z e. ( I ` ( Y ./\ W ) ) <-> E. g e. T ( z = <. g , O >. /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) |
43 |
29 42
|
anbi12d |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( ( y e. ( J ` N ) /\ z e. ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) <-> ( E. s e. E y = <. ( s ` G ) , s >. /\ E. g e. T ( z = <. g , O >. /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) ) |
44 |
|
reeanv |
|- ( E. s e. E E. g e. T ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ ( z = <. g , O >. /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) <-> ( E. s e. E y = <. ( s ` G ) , s >. /\ E. g e. T ( z = <. g , O >. /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) |
45 |
|
simpll1 |
|- ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) /\ ( ( s e. E /\ g e. T ) /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) /\ <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) ) |
46 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) /\ ( ( s e. E /\ g e. T ) /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) /\ <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) |
47 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) /\ ( ( s e. E /\ g e. T ) /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) /\ <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( ( s e. E /\ g e. T ) /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) /\ <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) |
48 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
|
dihord10 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ ( ( s e. E /\ g e. T ) /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) /\ <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) |
49 |
45 46 47 48
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) /\ ( ( s e. E /\ g e. T ) /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) /\ <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) |
50 |
49
|
3exp2 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( ( s e. E /\ g e. T ) -> ( ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) -> ( <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) ) |
51 |
|
oveq12 |
|- ( ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ z = <. g , O >. ) -> ( y .+ z ) = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) |
52 |
51
|
eqeq2d |
|- ( ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ z = <. g , O >. ) -> ( <. f , O >. = ( y .+ z ) <-> <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) |
53 |
52
|
imbi1d |
|- ( ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ z = <. g , O >. ) -> ( ( <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) <-> ( <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) |
54 |
53
|
imbi2d |
|- ( ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ z = <. g , O >. ) -> ( ( ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) -> ( <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) <-> ( ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) -> ( <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) ) |
55 |
54
|
biimprd |
|- ( ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ z = <. g , O >. ) -> ( ( ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) -> ( <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) -> ( ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) -> ( <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) ) |
56 |
55
|
com23 |
|- ( ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ z = <. g , O >. ) -> ( ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) -> ( ( ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) -> ( <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) -> ( <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) ) |
57 |
56
|
impr |
|- ( ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ ( z = <. g , O >. /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) -> ( ( ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) -> ( <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) -> ( <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) |
58 |
57
|
com12 |
|- ( ( ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) -> ( <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) -> ( ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ ( z = <. g , O >. /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) -> ( <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) |
59 |
50 58
|
syl6 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( ( s e. E /\ g e. T ) -> ( ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ ( z = <. g , O >. /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) -> ( <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) ) |
60 |
59
|
rexlimdvv |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( E. s e. E E. g e. T ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ ( z = <. g , O >. /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) -> ( <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) |
61 |
44 60
|
syl5bir |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( ( E. s e. E y = <. ( s ` G ) , s >. /\ E. g e. T ( z = <. g , O >. /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) -> ( <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) |
62 |
43 61
|
sylbid |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( ( y e. ( J ` N ) /\ z e. ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) -> ( <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) |
63 |
62
|
rexlimdvv |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( E. y e. ( J ` N ) E. z e. ( I ` ( Y ./\ W ) ) <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) |
64 |
25 63
|
mpd |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) |
65 |
64
|
exp32 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> ( f e. T -> ( ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) |
66 |
65
|
ralrimiv |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) |
67 |
|
simp11 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
68 |
30
|
hllatd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> K e. Lat ) |
69 |
|
simp2l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> X e. B ) |
70 |
33 35
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> W e. B ) |
71 |
1 4
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ./\ W ) e. B ) |
72 |
68 69 70 71
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> ( X ./\ W ) e. B ) |
73 |
1 2 4
|
latmle2 |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ./\ W ) .<_ W ) |
74 |
68 69 70 73
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> ( X ./\ W ) .<_ W ) |
75 |
|
simp2r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> Y e. B ) |
76 |
68 75 70 37
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> ( Y ./\ W ) e. B ) |
77 |
68 75 70 39
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> ( Y ./\ W ) .<_ W ) |
78 |
1 2 5 6 11 12
|
trlord |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X ./\ W ) e. B /\ ( X ./\ W ) .<_ W ) /\ ( ( Y ./\ W ) e. B /\ ( Y ./\ W ) .<_ W ) ) -> ( ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) <-> A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) |
79 |
67 72 74 76 77 78
|
syl122anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> ( ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) <-> A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) |
80 |
66 79
|
mpbird |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) ) |