Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dihjust.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
dihjust.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
dihjust.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
dihjust.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
dihjust.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
6 |
|
dihjust.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
7 |
|
dihjust.i |
|- I = ( ( DIsoB ` K ) ` W ) |
8 |
|
dihjust.J |
|- J = ( ( DIsoC ` K ) ` W ) |
9 |
|
dihjust.u |
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W ) |
10 |
|
dihjust.s |
|- .(+) = ( LSSum ` U ) |
11 |
|
dihord2c.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
12 |
|
dihord2c.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
13 |
|
dihord2c.o |
|- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) ) |
14 |
|
dihord2.p |
|- P = ( ( oc ` K ) ` W ) |
15 |
|
dihord2.e |
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W ) |
16 |
|
dihord2.d |
|- .+ = ( +g ` U ) |
17 |
|
dihord2.g |
|- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = N ) |
18 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
|
dihord2a |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> Q .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) ) |
19 |
|
simp11l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> K e. HL ) |
20 |
19
|
hllatd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> K e. Lat ) |
21 |
|
simp2l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> X e. B ) |
22 |
|
simp11r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> W e. H ) |
23 |
1 6
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. B ) |
24 |
22 23
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> W e. B ) |
25 |
1 4
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ./\ W ) e. B ) |
26 |
20 21 24 25
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( X ./\ W ) e. B ) |
27 |
|
simp2r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> Y e. B ) |
28 |
1 4
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y ./\ W ) e. B ) |
29 |
20 27 24 28
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( Y ./\ W ) e. B ) |
30 |
|
simp13l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> N e. A ) |
31 |
1 5
|
atbase |
|- ( N e. A -> N e. B ) |
32 |
30 31
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> N e. B ) |
33 |
1 3
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ N e. B /\ ( Y ./\ W ) e. B ) -> ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) e. B ) |
34 |
20 32 29 33
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) e. B ) |
35 |
|
simp33 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) |
36 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
|
dihord2pre |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) ) |
37 |
35 36
|
syld3an3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) ) |
38 |
1 2 3
|
latlej2 |
|- ( ( K e. Lat /\ N e. B /\ ( Y ./\ W ) e. B ) -> ( Y ./\ W ) .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) ) |
39 |
20 32 29 38
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( Y ./\ W ) .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) ) |
40 |
1 2 20 26 29 34 37 39
|
lattrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( X ./\ W ) .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) ) |
41 |
|
simp12l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> Q e. A ) |
42 |
1 5
|
atbase |
|- ( Q e. A -> Q e. B ) |
43 |
41 42
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> Q e. B ) |
44 |
1 2 3
|
latjle12 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( Q e. B /\ ( X ./\ W ) e. B /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) e. B ) ) -> ( ( Q .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) /\ ( X ./\ W ) .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) ) <-> ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) ) ) |
45 |
20 43 26 34 44
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( ( Q .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) /\ ( X ./\ W ) .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) ) <-> ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) ) ) |
46 |
18 40 45
|
mpbi2and |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) ) |