Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
f1ounsn.f |
|- F = ( G u. { <. X , Y >. } ) |
2 |
|
f1of |
|- ( G : A -1-1-onto-> B -> G : A --> B ) |
3 |
|
ssun1 |
|- B C_ ( B u. { Y } ) |
4 |
3
|
a1i |
|- ( G : A -1-1-onto-> B -> B C_ ( B u. { Y } ) ) |
5 |
2 4
|
fssd |
|- ( G : A -1-1-onto-> B -> G : A --> ( B u. { Y } ) ) |
6 |
5
|
3ad2ant1 |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> G : A --> ( B u. { Y } ) ) |
7 |
|
simpl |
|- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> X e. V ) |
8 |
|
df-nel |
|- ( X e/ A <-> -. X e. A ) |
9 |
8
|
biimpi |
|- ( X e/ A -> -. X e. A ) |
10 |
9
|
adantr |
|- ( ( X e/ A /\ Y e/ B ) -> -. X e. A ) |
11 |
7 10
|
anim12i |
|- ( ( ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> ( X e. V /\ -. X e. A ) ) |
12 |
11
|
3adant1 |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> ( X e. V /\ -. X e. A ) ) |
13 |
|
eqid |
|- Y = Y |
14 |
13
|
olci |
|- ( Y e. B \/ Y = Y ) |
15 |
|
elunsn |
|- ( Y e. W -> ( Y e. ( B u. { Y } ) <-> ( Y e. B \/ Y = Y ) ) ) |
16 |
14 15
|
mpbiri |
|- ( Y e. W -> Y e. ( B u. { Y } ) ) |
17 |
16
|
adantl |
|- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> Y e. ( B u. { Y } ) ) |
18 |
17
|
3ad2ant2 |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> Y e. ( B u. { Y } ) ) |
19 |
6 12 18
|
3jca |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> ( G : A --> ( B u. { Y } ) /\ ( X e. V /\ -. X e. A ) /\ Y e. ( B u. { Y } ) ) ) |
20 |
|
fsnunf |
|- ( ( G : A --> ( B u. { Y } ) /\ ( X e. V /\ -. X e. A ) /\ Y e. ( B u. { Y } ) ) -> ( G u. { <. X , Y >. } ) : ( A u. { X } ) --> ( B u. { Y } ) ) |
21 |
19 20
|
syl |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> ( G u. { <. X , Y >. } ) : ( A u. { X } ) --> ( B u. { Y } ) ) |
22 |
|
f1of1 |
|- ( G : A -1-1-onto-> B -> G : A -1-1-> B ) |
23 |
|
dff14a |
|- ( G : A -1-1-> B <-> ( G : A --> B /\ A. a e. A A. b e. A ( a =/= b -> ( G ` a ) =/= ( G ` b ) ) ) ) |
24 |
|
neeq1 |
|- ( a = x -> ( a =/= b <-> x =/= b ) ) |
25 |
|
fveq2 |
|- ( a = x -> ( G ` a ) = ( G ` x ) ) |
26 |
25
|
neeq1d |
|- ( a = x -> ( ( G ` a ) =/= ( G ` b ) <-> ( G ` x ) =/= ( G ` b ) ) ) |
27 |
24 26
|
imbi12d |
|- ( a = x -> ( ( a =/= b -> ( G ` a ) =/= ( G ` b ) ) <-> ( x =/= b -> ( G ` x ) =/= ( G ` b ) ) ) ) |
28 |
|
neeq2 |
|- ( b = y -> ( x =/= b <-> x =/= y ) ) |
29 |
|
fveq2 |
|- ( b = y -> ( G ` b ) = ( G ` y ) ) |
30 |
29
|
neeq2d |
|- ( b = y -> ( ( G ` x ) =/= ( G ` b ) <-> ( G ` x ) =/= ( G ` y ) ) ) |
31 |
28 30
|
imbi12d |
|- ( b = y -> ( ( x =/= b -> ( G ` x ) =/= ( G ` b ) ) <-> ( x =/= y -> ( G ` x ) =/= ( G ` y ) ) ) ) |
32 |
27 31
|
rspc2va |
|- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ A. a e. A A. b e. A ( a =/= b -> ( G ` a ) =/= ( G ` b ) ) ) -> ( x =/= y -> ( G ` x ) =/= ( G ` y ) ) ) |
33 |
32
|
expcom |
|- ( A. a e. A A. b e. A ( a =/= b -> ( G ` a ) =/= ( G ` b ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x =/= y -> ( G ` x ) =/= ( G ` y ) ) ) ) |
34 |
33
|
adantl |
|- ( ( G : A --> B /\ A. a e. A A. b e. A ( a =/= b -> ( G ` a ) =/= ( G ` b ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x =/= y -> ( G ` x ) =/= ( G ` y ) ) ) ) |
35 |
23 34
|
sylbi |
|- ( G : A -1-1-> B -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x =/= y -> ( G ` x ) =/= ( G ` y ) ) ) ) |
36 |
22 35
|
syl |
|- ( G : A -1-1-onto-> B -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x =/= y -> ( G ` x ) =/= ( G ` y ) ) ) ) |
37 |
36
|
3ad2ant1 |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x =/= y -> ( G ` x ) =/= ( G ` y ) ) ) ) |
38 |
37
|
impl |
|- ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x =/= y -> ( G ` x ) =/= ( G ` y ) ) ) |
39 |
38
|
imp |
|- ( ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) /\ x =/= y ) -> ( G ` x ) =/= ( G ` y ) ) |
40 |
|
nelne2 |
|- ( ( x e. A /\ -. X e. A ) -> x =/= X ) |
41 |
40
|
necomd |
|- ( ( x e. A /\ -. X e. A ) -> X =/= x ) |
42 |
41
|
expcom |
|- ( -. X e. A -> ( x e. A -> X =/= x ) ) |
43 |
8 42
|
sylbi |
|- ( X e/ A -> ( x e. A -> X =/= x ) ) |
44 |
43
|
adantr |
|- ( ( X e/ A /\ Y e/ B ) -> ( x e. A -> X =/= x ) ) |
45 |
44
|
3ad2ant3 |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> ( x e. A -> X =/= x ) ) |
46 |
45
|
imp |
|- ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) -> X =/= x ) |
47 |
46
|
adantr |
|- ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> X =/= x ) |
48 |
47
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) /\ x =/= y ) -> X =/= x ) |
49 |
|
fvunsn |
|- ( X =/= x -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) = ( G ` x ) ) |
50 |
48 49
|
syl |
|- ( ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) /\ x =/= y ) -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) = ( G ` x ) ) |
51 |
|
nelne2 |
|- ( ( y e. A /\ -. X e. A ) -> y =/= X ) |
52 |
51
|
necomd |
|- ( ( y e. A /\ -. X e. A ) -> X =/= y ) |
53 |
52
|
expcom |
|- ( -. X e. A -> ( y e. A -> X =/= y ) ) |
54 |
8 53
|
sylbi |
|- ( X e/ A -> ( y e. A -> X =/= y ) ) |
55 |
54
|
adantr |
|- ( ( X e/ A /\ Y e/ B ) -> ( y e. A -> X =/= y ) ) |
56 |
55
|
3ad2ant3 |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> ( y e. A -> X =/= y ) ) |
57 |
56
|
adantr |
|- ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) -> ( y e. A -> X =/= y ) ) |
58 |
57
|
imp |
|- ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> X =/= y ) |
59 |
58
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) /\ x =/= y ) -> X =/= y ) |
60 |
|
fvunsn |
|- ( X =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) = ( G ` y ) ) |
61 |
59 60
|
syl |
|- ( ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) /\ x =/= y ) -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) = ( G ` y ) ) |
62 |
39 50 61
|
3netr4d |
|- ( ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) /\ x =/= y ) -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) |
63 |
62
|
ex |
|- ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) |
64 |
63
|
ralrimiva |
|- ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) -> A. y e. A ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) |
65 |
2
|
3ad2ant1 |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> G : A --> B ) |
66 |
65
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) e. B ) |
67 |
|
df-nel |
|- ( Y e/ B <-> -. Y e. B ) |
68 |
67
|
biimpi |
|- ( Y e/ B -> -. Y e. B ) |
69 |
68
|
adantl |
|- ( ( X e/ A /\ Y e/ B ) -> -. Y e. B ) |
70 |
69
|
3ad2ant3 |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> -. Y e. B ) |
71 |
70
|
adantr |
|- ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) -> -. Y e. B ) |
72 |
|
nelne2 |
|- ( ( ( G ` x ) e. B /\ -. Y e. B ) -> ( G ` x ) =/= Y ) |
73 |
66 71 72
|
syl2anc |
|- ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) =/= Y ) |
74 |
73
|
adantr |
|- ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) /\ x =/= X ) -> ( G ` x ) =/= Y ) |
75 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) /\ x =/= X ) -> x =/= X ) |
76 |
75
|
necomd |
|- ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) /\ x =/= X ) -> X =/= x ) |
77 |
76 49
|
syl |
|- ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) /\ x =/= X ) -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) = ( G ` x ) ) |
78 |
7
|
3ad2ant2 |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> X e. V ) |
79 |
|
simpr |
|- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> Y e. W ) |
80 |
79
|
3ad2ant2 |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> Y e. W ) |
81 |
|
f1odm |
|- ( G : A -1-1-onto-> B -> dom G = A ) |
82 |
81
|
eqcomd |
|- ( G : A -1-1-onto-> B -> A = dom G ) |
83 |
82
|
eleq2d |
|- ( G : A -1-1-onto-> B -> ( X e. A <-> X e. dom G ) ) |
84 |
83
|
notbid |
|- ( G : A -1-1-onto-> B -> ( -. X e. A <-> -. X e. dom G ) ) |
85 |
8 84
|
bitrid |
|- ( G : A -1-1-onto-> B -> ( X e/ A <-> -. X e. dom G ) ) |
86 |
85
|
biimpd |
|- ( G : A -1-1-onto-> B -> ( X e/ A -> -. X e. dom G ) ) |
87 |
86
|
adantrd |
|- ( G : A -1-1-onto-> B -> ( ( X e/ A /\ Y e/ B ) -> -. X e. dom G ) ) |
88 |
87
|
imp |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> -. X e. dom G ) |
89 |
88
|
3adant2 |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> -. X e. dom G ) |
90 |
78 80 89
|
3jca |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom G ) ) |
91 |
90
|
adantr |
|- ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) -> ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom G ) ) |
92 |
91
|
adantr |
|- ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) /\ x =/= X ) -> ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom G ) ) |
93 |
|
fsnunfv |
|- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom G ) -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y ) |
94 |
92 93
|
syl |
|- ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) /\ x =/= X ) -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y ) |
95 |
74 77 94
|
3netr4d |
|- ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) /\ x =/= X ) -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) ) |
96 |
95
|
ex |
|- ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) -> ( x =/= X -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) ) ) |
97 |
78
|
adantr |
|- ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) -> X e. V ) |
98 |
|
neeq2 |
|- ( y = X -> ( x =/= y <-> x =/= X ) ) |
99 |
|
fveq2 |
|- ( y = X -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) = ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) ) |
100 |
99
|
neeq2d |
|- ( y = X -> ( ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) <-> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) ) ) |
101 |
98 100
|
imbi12d |
|- ( y = X -> ( ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) <-> ( x =/= X -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) ) ) ) |
102 |
101
|
ralsng |
|- ( X e. V -> ( A. y e. { X } ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) <-> ( x =/= X -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) ) ) ) |
103 |
97 102
|
syl |
|- ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. { X } ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) <-> ( x =/= X -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) ) ) ) |
104 |
96 103
|
mpbird |
|- ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) -> A. y e. { X } ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) |
105 |
|
ralun |
|- ( ( A. y e. A ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) /\ A. y e. { X } ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) -> A. y e. ( A u. { X } ) ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) |
106 |
64 104 105
|
syl2anc |
|- ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ x e. A ) -> A. y e. ( A u. { X } ) ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) |
107 |
106
|
ralrimiva |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> A. x e. A A. y e. ( A u. { X } ) ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) |
108 |
65
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ y e. A ) -> ( G ` y ) e. B ) |
109 |
70
|
adantr |
|- ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ y e. A ) -> -. Y e. B ) |
110 |
108 109
|
jca |
|- ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ y e. A ) -> ( ( G ` y ) e. B /\ -. Y e. B ) ) |
111 |
110
|
adantr |
|- ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ y e. A ) /\ X =/= y ) -> ( ( G ` y ) e. B /\ -. Y e. B ) ) |
112 |
|
nelne2 |
|- ( ( ( G ` y ) e. B /\ -. Y e. B ) -> ( G ` y ) =/= Y ) |
113 |
112
|
necomd |
|- ( ( ( G ` y ) e. B /\ -. Y e. B ) -> Y =/= ( G ` y ) ) |
114 |
111 113
|
syl |
|- ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ y e. A ) /\ X =/= y ) -> Y =/= ( G ` y ) ) |
115 |
90
|
adantr |
|- ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ y e. A ) -> ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom G ) ) |
116 |
115
|
adantr |
|- ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ y e. A ) /\ X =/= y ) -> ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom G ) ) |
117 |
116 93
|
syl |
|- ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ y e. A ) /\ X =/= y ) -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y ) |
118 |
60
|
adantl |
|- ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ y e. A ) /\ X =/= y ) -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) = ( G ` y ) ) |
119 |
114 117 118
|
3netr4d |
|- ( ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ y e. A ) /\ X =/= y ) -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) |
120 |
119
|
ex |
|- ( ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) /\ y e. A ) -> ( X =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) |
121 |
120
|
ralrimiva |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> A. y e. A ( X =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) |
122 |
|
eqid |
|- X = X |
123 |
|
eqneqall |
|- ( X = X -> ( X =/= X -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) ) ) |
124 |
122 123
|
ax-mp |
|- ( X =/= X -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) ) |
125 |
|
neeq2 |
|- ( y = X -> ( X =/= y <-> X =/= X ) ) |
126 |
99
|
neeq2d |
|- ( y = X -> ( ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) <-> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) ) ) |
127 |
125 126
|
imbi12d |
|- ( y = X -> ( ( X =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) <-> ( X =/= X -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) ) ) ) |
128 |
127
|
ralsng |
|- ( X e. V -> ( A. y e. { X } ( X =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) <-> ( X =/= X -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) ) ) ) |
129 |
78 128
|
syl |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> ( A. y e. { X } ( X =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) <-> ( X =/= X -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) ) ) ) |
130 |
124 129
|
mpbiri |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> A. y e. { X } ( X =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) |
131 |
|
ralun |
|- ( ( A. y e. A ( X =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) /\ A. y e. { X } ( X =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) -> A. y e. ( A u. { X } ) ( X =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) |
132 |
121 130 131
|
syl2anc |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> A. y e. ( A u. { X } ) ( X =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) |
133 |
|
neeq1 |
|- ( x = X -> ( x =/= y <-> X =/= y ) ) |
134 |
|
fveq2 |
|- ( x = X -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) = ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) ) |
135 |
134
|
neeq1d |
|- ( x = X -> ( ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) <-> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) |
136 |
133 135
|
imbi12d |
|- ( x = X -> ( ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) <-> ( X =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) ) |
137 |
136
|
ralbidv |
|- ( x = X -> ( A. y e. ( A u. { X } ) ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) <-> A. y e. ( A u. { X } ) ( X =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) ) |
138 |
137
|
ralsng |
|- ( X e. V -> ( A. x e. { X } A. y e. ( A u. { X } ) ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) <-> A. y e. ( A u. { X } ) ( X =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) ) |
139 |
78 138
|
syl |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> ( A. x e. { X } A. y e. ( A u. { X } ) ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) <-> A. y e. ( A u. { X } ) ( X =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` X ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) ) |
140 |
132 139
|
mpbird |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> A. x e. { X } A. y e. ( A u. { X } ) ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) |
141 |
|
ralun |
|- ( ( A. x e. A A. y e. ( A u. { X } ) ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) /\ A. x e. { X } A. y e. ( A u. { X } ) ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) -> A. x e. ( A u. { X } ) A. y e. ( A u. { X } ) ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) |
142 |
107 140 141
|
syl2anc |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> A. x e. ( A u. { X } ) A. y e. ( A u. { X } ) ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) |
143 |
21 142
|
jca |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) : ( A u. { X } ) --> ( B u. { Y } ) /\ A. x e. ( A u. { X } ) A. y e. ( A u. { X } ) ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) ) |
144 |
|
rnun |
|- ran ( G u. { <. X , Y >. } ) = ( ran G u. ran { <. X , Y >. } ) |
145 |
|
f1ofo |
|- ( G : A -1-1-onto-> B -> G : A -onto-> B ) |
146 |
|
forn |
|- ( G : A -onto-> B -> ran G = B ) |
147 |
145 146
|
syl |
|- ( G : A -1-1-onto-> B -> ran G = B ) |
148 |
147
|
3ad2ant1 |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> ran G = B ) |
149 |
|
rnsnopg |
|- ( X e. V -> ran { <. X , Y >. } = { Y } ) |
150 |
149
|
adantr |
|- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> ran { <. X , Y >. } = { Y } ) |
151 |
150
|
3ad2ant2 |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> ran { <. X , Y >. } = { Y } ) |
152 |
148 151
|
uneq12d |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> ( ran G u. ran { <. X , Y >. } ) = ( B u. { Y } ) ) |
153 |
144 152
|
eqtrid |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> ran ( G u. { <. X , Y >. } ) = ( B u. { Y } ) ) |
154 |
143 153
|
jca |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> ( ( ( G u. { <. X , Y >. } ) : ( A u. { X } ) --> ( B u. { Y } ) /\ A. x e. ( A u. { X } ) A. y e. ( A u. { X } ) ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) /\ ran ( G u. { <. X , Y >. } ) = ( B u. { Y } ) ) ) |
155 |
|
dff1o5 |
|- ( ( G u. { <. X , Y >. } ) : ( A u. { X } ) -1-1-onto-> ( B u. { Y } ) <-> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) : ( A u. { X } ) -1-1-> ( B u. { Y } ) /\ ran ( G u. { <. X , Y >. } ) = ( B u. { Y } ) ) ) |
156 |
|
dff14a |
|- ( ( G u. { <. X , Y >. } ) : ( A u. { X } ) -1-1-> ( B u. { Y } ) <-> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) : ( A u. { X } ) --> ( B u. { Y } ) /\ A. x e. ( A u. { X } ) A. y e. ( A u. { X } ) ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) ) |
157 |
155 156
|
bianbi |
|- ( ( G u. { <. X , Y >. } ) : ( A u. { X } ) -1-1-onto-> ( B u. { Y } ) <-> ( ( ( G u. { <. X , Y >. } ) : ( A u. { X } ) --> ( B u. { Y } ) /\ A. x e. ( A u. { X } ) A. y e. ( A u. { X } ) ( x =/= y -> ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` x ) =/= ( ( G u. { <. X , Y >. } ) ` y ) ) ) /\ ran ( G u. { <. X , Y >. } ) = ( B u. { Y } ) ) ) |
158 |
154 157
|
sylibr |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> ( G u. { <. X , Y >. } ) : ( A u. { X } ) -1-1-onto-> ( B u. { Y } ) ) |
159 |
|
f1oeq1 |
|- ( F = ( G u. { <. X , Y >. } ) -> ( F : ( A u. { X } ) -1-1-onto-> ( B u. { Y } ) <-> ( G u. { <. X , Y >. } ) : ( A u. { X } ) -1-1-onto-> ( B u. { Y } ) ) ) |
160 |
1 159
|
ax-mp |
|- ( F : ( A u. { X } ) -1-1-onto-> ( B u. { Y } ) <-> ( G u. { <. X , Y >. } ) : ( A u. { X } ) -1-1-onto-> ( B u. { Y } ) ) |
161 |
158 160
|
sylibr |
|- ( ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( X e/ A /\ Y e/ B ) ) -> F : ( A u. { X } ) -1-1-onto-> ( B u. { Y } ) ) |