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Theorem fiun

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of functions is a function. Analogous to f1iun . (Contributed by AV, 6-Oct-2023)

Ref Expression
Hypotheses fiun.1
|- ( x = y -> B = C )
fiun.2
|- B e. _V
Assertion fiun
|- ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fiun.1
 |-  ( x = y -> B = C )
2 fiun.2
 |-  B e. _V
3 vex
 |-  u e. _V
4 eqeq1
 |-  ( z = u -> ( z = B <-> u = B ) )
5 4 rexbidv
 |-  ( z = u -> ( E. x e. A z = B <-> E. x e. A u = B ) )
6 3 5 elab
 |-  ( u e. { z | E. x e. A z = B } <-> E. x e. A u = B )
7 r19.29
 |-  ( ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ E. x e. A u = B ) -> E. x e. A ( ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) )
8 nfv
 |-  F/ x Fun u
9 nfre1
 |-  F/ x E. x e. A z = B
10 9 nfab
 |-  F/_ x { z | E. x e. A z = B }
11 nfv
 |-  F/ x ( u C_ v \/ v C_ u )
12 10 11 nfralw
 |-  F/ x A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u )
13 8 12 nfan
 |-  F/ x ( Fun u /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) )
14 ffun
 |-  ( B : D --> S -> Fun B )
15 funeq
 |-  ( u = B -> ( Fun u <-> Fun B ) )
16 bianir
 |-  ( ( Fun B /\ ( Fun u <-> Fun B ) ) -> Fun u )
17 14 15 16 syl2an
 |-  ( ( B : D --> S /\ u = B ) -> Fun u )
18 17 adantlr
 |-  ( ( ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> Fun u )
19 1 fiunlem
 |-  ( ( ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) )
20 18 19 jca
 |-  ( ( ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( Fun u /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
21 20 a1i
 |-  ( x e. A -> ( ( ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( Fun u /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) ) )
22 13 21 rexlimi
 |-  ( E. x e. A ( ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( Fun u /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
23 7 22 syl
 |-  ( ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ E. x e. A u = B ) -> ( Fun u /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
24 6 23 sylan2b
 |-  ( ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u e. { z | E. x e. A z = B } ) -> ( Fun u /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
25 24 ralrimiva
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> A. u e. { z | E. x e. A z = B } ( Fun u /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
26 fununi
 |-  ( A. u e. { z | E. x e. A z = B } ( Fun u /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) -> Fun U. { z | E. x e. A z = B } )
27 25 26 syl
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun U. { z | E. x e. A z = B } )
28 2 dfiun2
 |-  U_ x e. A B = U. { z | E. x e. A z = B }
29 28 funeqi
 |-  ( Fun U_ x e. A B <-> Fun U. { z | E. x e. A z = B } )
30 27 29 sylibr
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun U_ x e. A B )
31 3 eldm2
 |-  ( u e. dom B <-> E. v <. u , v >. e. B )
32 fdm
 |-  ( B : D --> S -> dom B = D )
33 32 eleq2d
 |-  ( B : D --> S -> ( u e. dom B <-> u e. D ) )
34 31 33 bitr3id
 |-  ( B : D --> S -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) )
35 34 adantr
 |-  ( ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) )
36 35 ralrexbid
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( E. x e. A E. v <. u , v >. e. B <-> E. x e. A u e. D ) )
37 eliun
 |-  ( <. u , v >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A <. u , v >. e. B )
38 37 exbii
 |-  ( E. v <. u , v >. e. U_ x e. A B <-> E. v E. x e. A <. u , v >. e. B )
39 3 eldm2
 |-  ( u e. dom U_ x e. A B <-> E. v <. u , v >. e. U_ x e. A B )
40 rexcom4
 |-  ( E. x e. A E. v <. u , v >. e. B <-> E. v E. x e. A <. u , v >. e. B )
41 38 39 40 3bitr4i
 |-  ( u e. dom U_ x e. A B <-> E. x e. A E. v <. u , v >. e. B )
42 eliun
 |-  ( u e. U_ x e. A D <-> E. x e. A u e. D )
43 36 41 42 3bitr4g
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( u e. dom U_ x e. A B <-> u e. U_ x e. A D ) )
44 43 eqrdv
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> dom U_ x e. A B = U_ x e. A D )
45 df-fn
 |-  ( U_ x e. A B Fn U_ x e. A D <-> ( Fun U_ x e. A B /\ dom U_ x e. A B = U_ x e. A D ) )
46 30 44 45 sylanbrc
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B Fn U_ x e. A D )
47 rniun
 |-  ran U_ x e. A B = U_ x e. A ran B
48 frn
 |-  ( B : D --> S -> ran B C_ S )
49 48 adantr
 |-  ( ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ran B C_ S )
50 49 ralimi
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> A. x e. A ran B C_ S )
51 iunss
 |-  ( U_ x e. A ran B C_ S <-> A. x e. A ran B C_ S )
52 50 51 sylibr
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A ran B C_ S )
53 47 52 eqsstrid
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ran U_ x e. A B C_ S )
54 df-f
 |-  ( U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S <-> ( U_ x e. A B Fn U_ x e. A D /\ ran U_ x e. A B C_ S ) )
55 46 53 54 sylanbrc
 |-  ( A. x e. A ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S )