Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fiun.1 |
|- ( x = y -> B = C ) |
2 |
|
fiun.2 |
|- B e. _V |
3 |
|
vex |
|- u e. _V |
4 |
|
eqeq1 |
|- ( z = u -> ( z = B <-> u = B ) ) |
5 |
4
|
rexbidv |
|- ( z = u -> ( E. x e. A z = B <-> E. x e. A u = B ) ) |
6 |
3 5
|
elab |
|- ( u e. { z | E. x e. A z = B } <-> E. x e. A u = B ) |
7 |
|
r19.29 |
|- ( ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ E. x e. A u = B ) -> E. x e. A ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) ) |
8 |
|
nfv |
|- F/ x ( Fun u /\ Fun `' u ) |
9 |
|
nfre1 |
|- F/ x E. x e. A z = B |
10 |
9
|
nfab |
|- F/_ x { z | E. x e. A z = B } |
11 |
|
nfv |
|- F/ x ( u C_ v \/ v C_ u ) |
12 |
10 11
|
nfralw |
|- F/ x A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) |
13 |
8 12
|
nfan |
|- F/ x ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) |
14 |
|
f1eq1 |
|- ( u = B -> ( u : D -1-1-> S <-> B : D -1-1-> S ) ) |
15 |
14
|
biimparc |
|- ( ( B : D -1-1-> S /\ u = B ) -> u : D -1-1-> S ) |
16 |
|
df-f1 |
|- ( u : D -1-1-> S <-> ( u : D --> S /\ Fun `' u ) ) |
17 |
|
ffun |
|- ( u : D --> S -> Fun u ) |
18 |
17
|
anim1i |
|- ( ( u : D --> S /\ Fun `' u ) -> ( Fun u /\ Fun `' u ) ) |
19 |
16 18
|
sylbi |
|- ( u : D -1-1-> S -> ( Fun u /\ Fun `' u ) ) |
20 |
15 19
|
syl |
|- ( ( B : D -1-1-> S /\ u = B ) -> ( Fun u /\ Fun `' u ) ) |
21 |
20
|
adantlr |
|- ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( Fun u /\ Fun `' u ) ) |
22 |
|
f1f |
|- ( B : D -1-1-> S -> B : D --> S ) |
23 |
1
|
fiunlem |
|- ( ( ( B : D --> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) |
24 |
22 23
|
sylanl1 |
|- ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) |
25 |
21 24
|
jca |
|- ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) ) |
26 |
25
|
a1i |
|- ( x e. A -> ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) ) ) |
27 |
13 26
|
rexlimi |
|- ( E. x e. A ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) ) |
28 |
7 27
|
syl |
|- ( ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ E. x e. A u = B ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) ) |
29 |
6 28
|
sylan2b |
|- ( ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u e. { z | E. x e. A z = B } ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) ) |
30 |
29
|
ralrimiva |
|- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> A. u e. { z | E. x e. A z = B } ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) ) |
31 |
|
fun11uni |
|- ( A. u e. { z | E. x e. A z = B } ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) -> ( Fun U. { z | E. x e. A z = B } /\ Fun `' U. { z | E. x e. A z = B } ) ) |
32 |
30 31
|
syl |
|- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( Fun U. { z | E. x e. A z = B } /\ Fun `' U. { z | E. x e. A z = B } ) ) |
33 |
32
|
simpld |
|- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun U. { z | E. x e. A z = B } ) |
34 |
2
|
dfiun2 |
|- U_ x e. A B = U. { z | E. x e. A z = B } |
35 |
34
|
funeqi |
|- ( Fun U_ x e. A B <-> Fun U. { z | E. x e. A z = B } ) |
36 |
33 35
|
sylibr |
|- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun U_ x e. A B ) |
37 |
3
|
eldm2 |
|- ( u e. dom B <-> E. v <. u , v >. e. B ) |
38 |
|
f1dm |
|- ( B : D -1-1-> S -> dom B = D ) |
39 |
38
|
eleq2d |
|- ( B : D -1-1-> S -> ( u e. dom B <-> u e. D ) ) |
40 |
37 39
|
bitr3id |
|- ( B : D -1-1-> S -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) ) |
41 |
40
|
adantr |
|- ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) ) |
42 |
41
|
ralrexbid |
|- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( E. x e. A E. v <. u , v >. e. B <-> E. x e. A u e. D ) ) |
43 |
|
eliun |
|- ( <. u , v >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A <. u , v >. e. B ) |
44 |
43
|
exbii |
|- ( E. v <. u , v >. e. U_ x e. A B <-> E. v E. x e. A <. u , v >. e. B ) |
45 |
3
|
eldm2 |
|- ( u e. dom U_ x e. A B <-> E. v <. u , v >. e. U_ x e. A B ) |
46 |
|
rexcom4 |
|- ( E. x e. A E. v <. u , v >. e. B <-> E. v E. x e. A <. u , v >. e. B ) |
47 |
44 45 46
|
3bitr4i |
|- ( u e. dom U_ x e. A B <-> E. x e. A E. v <. u , v >. e. B ) |
48 |
|
eliun |
|- ( u e. U_ x e. A D <-> E. x e. A u e. D ) |
49 |
42 47 48
|
3bitr4g |
|- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( u e. dom U_ x e. A B <-> u e. U_ x e. A D ) ) |
50 |
49
|
eqrdv |
|- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> dom U_ x e. A B = U_ x e. A D ) |
51 |
|
df-fn |
|- ( U_ x e. A B Fn U_ x e. A D <-> ( Fun U_ x e. A B /\ dom U_ x e. A B = U_ x e. A D ) ) |
52 |
36 50 51
|
sylanbrc |
|- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B Fn U_ x e. A D ) |
53 |
|
rniun |
|- ran U_ x e. A B = U_ x e. A ran B |
54 |
22
|
frnd |
|- ( B : D -1-1-> S -> ran B C_ S ) |
55 |
54
|
adantr |
|- ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ran B C_ S ) |
56 |
55
|
ralimi |
|- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> A. x e. A ran B C_ S ) |
57 |
|
iunss |
|- ( U_ x e. A ran B C_ S <-> A. x e. A ran B C_ S ) |
58 |
56 57
|
sylibr |
|- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A ran B C_ S ) |
59 |
53 58
|
eqsstrid |
|- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ran U_ x e. A B C_ S ) |
60 |
|
df-f |
|- ( U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S <-> ( U_ x e. A B Fn U_ x e. A D /\ ran U_ x e. A B C_ S ) ) |
61 |
52 59 60
|
sylanbrc |
|- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S ) |
62 |
32
|
simprd |
|- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun `' U. { z | E. x e. A z = B } ) |
63 |
34
|
cnveqi |
|- `' U_ x e. A B = `' U. { z | E. x e. A z = B } |
64 |
63
|
funeqi |
|- ( Fun `' U_ x e. A B <-> Fun `' U. { z | E. x e. A z = B } ) |
65 |
62 64
|
sylibr |
|- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun `' U_ x e. A B ) |
66 |
|
df-f1 |
|- ( U_ x e. A B : U_ x e. A D -1-1-> S <-> ( U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S /\ Fun `' U_ x e. A B ) ) |
67 |
61 65 66
|
sylanbrc |
|- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B : U_ x e. A D -1-1-> S ) |