Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
funrel |
|- ( Fun f -> Rel f ) |
2 |
1
|
adantr |
|- ( ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Rel f ) |
3 |
2
|
ralimi |
|- ( A. f e. A ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. f e. A Rel f ) |
4 |
|
reluni |
|- ( Rel U. A <-> A. f e. A Rel f ) |
5 |
3 4
|
sylibr |
|- ( A. f e. A ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Rel U. A ) |
6 |
|
r19.28v |
|- ( ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) ) |
7 |
6
|
ralimi |
|- ( A. f e. A ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) ) |
8 |
|
ssel |
|- ( w C_ v -> ( <. x , y >. e. w -> <. x , y >. e. v ) ) |
9 |
8
|
anim1d |
|- ( w C_ v -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> ( <. x , y >. e. v /\ <. x , z >. e. v ) ) ) |
10 |
|
dffun4 |
|- ( Fun v <-> ( Rel v /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. v /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) ) |
11 |
10
|
simprbi |
|- ( Fun v -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. v /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) |
12 |
11
|
19.21bbi |
|- ( Fun v -> A. z ( ( <. x , y >. e. v /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) |
13 |
12
|
19.21bi |
|- ( Fun v -> ( ( <. x , y >. e. v /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) |
14 |
9 13
|
syl9r |
|- ( Fun v -> ( w C_ v -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) ) |
15 |
14
|
adantl |
|- ( ( Fun w /\ Fun v ) -> ( w C_ v -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) ) |
16 |
|
ssel |
|- ( v C_ w -> ( <. x , z >. e. v -> <. x , z >. e. w ) ) |
17 |
16
|
anim2d |
|- ( v C_ w -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. w ) ) ) |
18 |
|
dffun4 |
|- ( Fun w <-> ( Rel w /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. w ) -> y = z ) ) ) |
19 |
18
|
simprbi |
|- ( Fun w -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. w ) -> y = z ) ) |
20 |
19
|
19.21bbi |
|- ( Fun w -> A. z ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. w ) -> y = z ) ) |
21 |
20
|
19.21bi |
|- ( Fun w -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. w ) -> y = z ) ) |
22 |
17 21
|
syl9r |
|- ( Fun w -> ( v C_ w -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) ) |
23 |
22
|
adantr |
|- ( ( Fun w /\ Fun v ) -> ( v C_ w -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) ) |
24 |
15 23
|
jaod |
|- ( ( Fun w /\ Fun v ) -> ( ( w C_ v \/ v C_ w ) -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) ) |
25 |
24
|
imp |
|- ( ( ( Fun w /\ Fun v ) /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) |
26 |
25
|
2ralimi |
|- ( A. w e. A A. v e. A ( ( Fun w /\ Fun v ) /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) -> A. w e. A A. v e. A ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) |
27 |
|
funeq |
|- ( f = w -> ( Fun f <-> Fun w ) ) |
28 |
|
sseq1 |
|- ( f = w -> ( f C_ g <-> w C_ g ) ) |
29 |
|
sseq2 |
|- ( f = w -> ( g C_ f <-> g C_ w ) ) |
30 |
28 29
|
orbi12d |
|- ( f = w -> ( ( f C_ g \/ g C_ f ) <-> ( w C_ g \/ g C_ w ) ) ) |
31 |
27 30
|
anbi12d |
|- ( f = w -> ( ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> ( Fun w /\ ( w C_ g \/ g C_ w ) ) ) ) |
32 |
|
sseq2 |
|- ( g = v -> ( w C_ g <-> w C_ v ) ) |
33 |
|
sseq1 |
|- ( g = v -> ( g C_ w <-> v C_ w ) ) |
34 |
32 33
|
orbi12d |
|- ( g = v -> ( ( w C_ g \/ g C_ w ) <-> ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) |
35 |
34
|
anbi2d |
|- ( g = v -> ( ( Fun w /\ ( w C_ g \/ g C_ w ) ) <-> ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) ) |
36 |
31 35
|
cbvral2vw |
|- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> A. w e. A A. v e. A ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) |
37 |
|
ralcom |
|- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> A. g e. A A. f e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) ) |
38 |
|
orcom |
|- ( ( f C_ g \/ g C_ f ) <-> ( g C_ f \/ f C_ g ) ) |
39 |
|
sseq1 |
|- ( g = w -> ( g C_ f <-> w C_ f ) ) |
40 |
|
sseq2 |
|- ( g = w -> ( f C_ g <-> f C_ w ) ) |
41 |
39 40
|
orbi12d |
|- ( g = w -> ( ( g C_ f \/ f C_ g ) <-> ( w C_ f \/ f C_ w ) ) ) |
42 |
38 41
|
syl5bb |
|- ( g = w -> ( ( f C_ g \/ g C_ f ) <-> ( w C_ f \/ f C_ w ) ) ) |
43 |
42
|
anbi2d |
|- ( g = w -> ( ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> ( Fun f /\ ( w C_ f \/ f C_ w ) ) ) ) |
44 |
|
funeq |
|- ( f = v -> ( Fun f <-> Fun v ) ) |
45 |
|
sseq2 |
|- ( f = v -> ( w C_ f <-> w C_ v ) ) |
46 |
|
sseq1 |
|- ( f = v -> ( f C_ w <-> v C_ w ) ) |
47 |
45 46
|
orbi12d |
|- ( f = v -> ( ( w C_ f \/ f C_ w ) <-> ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) |
48 |
44 47
|
anbi12d |
|- ( f = v -> ( ( Fun f /\ ( w C_ f \/ f C_ w ) ) <-> ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) ) |
49 |
43 48
|
cbvral2vw |
|- ( A. g e. A A. f e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> A. w e. A A. v e. A ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) |
50 |
37 49
|
bitri |
|- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> A. w e. A A. v e. A ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) |
51 |
36 50
|
anbi12i |
|- ( ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) /\ A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) ) <-> ( A. w e. A A. v e. A ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) /\ A. w e. A A. v e. A ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) ) |
52 |
|
anidm |
|- ( ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) /\ A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) ) <-> A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) ) |
53 |
|
anandir |
|- ( ( ( Fun w /\ Fun v ) /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) <-> ( ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) /\ ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) ) |
54 |
53
|
2ralbii |
|- ( A. w e. A A. v e. A ( ( Fun w /\ Fun v ) /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) <-> A. w e. A A. v e. A ( ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) /\ ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) ) |
55 |
|
r19.26-2 |
|- ( A. w e. A A. v e. A ( ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) /\ ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) <-> ( A. w e. A A. v e. A ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) /\ A. w e. A A. v e. A ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) ) |
56 |
54 55
|
bitr2i |
|- ( ( A. w e. A A. v e. A ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) /\ A. w e. A A. v e. A ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) <-> A. w e. A A. v e. A ( ( Fun w /\ Fun v ) /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) |
57 |
51 52 56
|
3bitr3i |
|- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> A. w e. A A. v e. A ( ( Fun w /\ Fun v ) /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) |
58 |
|
eluni |
|- ( <. x , y >. e. U. A <-> E. w ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) ) |
59 |
|
eluni |
|- ( <. x , z >. e. U. A <-> E. v ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) ) |
60 |
58 59
|
anbi12i |
|- ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) <-> ( E. w ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) /\ E. v ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) ) ) |
61 |
|
exdistrv |
|- ( E. w E. v ( ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) /\ ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) ) <-> ( E. w ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) /\ E. v ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) ) ) |
62 |
|
an4 |
|- ( ( ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) /\ ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) ) <-> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) /\ ( w e. A /\ v e. A ) ) ) |
63 |
62
|
biancomi |
|- ( ( ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) /\ ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) ) <-> ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) ) |
64 |
63
|
2exbii |
|- ( E. w E. v ( ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) /\ ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) ) <-> E. w E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) ) |
65 |
60 61 64
|
3bitr2i |
|- ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) <-> E. w E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) ) |
66 |
65
|
imbi1i |
|- ( ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) <-> ( E. w E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) ) |
67 |
|
19.23v |
|- ( A. w ( E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) <-> ( E. w E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) ) |
68 |
|
r2al |
|- ( A. w e. A A. v e. A ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) <-> A. w A. v ( ( w e. A /\ v e. A ) -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) ) |
69 |
|
impexp |
|- ( ( ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) <-> ( ( w e. A /\ v e. A ) -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) ) |
70 |
69
|
2albii |
|- ( A. w A. v ( ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) <-> A. w A. v ( ( w e. A /\ v e. A ) -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) ) |
71 |
|
19.23v |
|- ( A. v ( ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) <-> ( E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) ) |
72 |
71
|
albii |
|- ( A. w A. v ( ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) <-> A. w ( E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) ) |
73 |
68 70 72
|
3bitr2ri |
|- ( A. w ( E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) <-> A. w e. A A. v e. A ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) |
74 |
66 67 73
|
3bitr2i |
|- ( ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) <-> A. w e. A A. v e. A ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) |
75 |
26 57 74
|
3imtr4i |
|- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) ) |
76 |
75
|
alrimiv |
|- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) ) |
77 |
76
|
alrimivv |
|- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) ) |
78 |
7 77
|
syl |
|- ( A. f e. A ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) ) |
79 |
|
dffun4 |
|- ( Fun U. A <-> ( Rel U. A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) ) ) |
80 |
5 78 79
|
sylanbrc |
|- ( A. f e. A ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun U. A ) |