Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fourierlemiblglemlem.p |
|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) |
2 |
|
fourierdlem100.t |
|- T = ( B - A ) |
3 |
|
fourierdlem100.m |
|- ( ph -> M e. NN ) |
4 |
|
fourierdlem100.q |
|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) ) |
5 |
|
fourierdlem100.f |
|- ( ph -> F : RR --> CC ) |
6 |
|
fourierdlem100.per |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) ) |
7 |
|
fourierdlem100.fcn |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) |
8 |
|
fourierdlem100.r |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( Q ` i ) ) ) |
9 |
|
fourierdlem100.l |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) |
10 |
|
fourierdlem100.c |
|- ( ph -> C e. RR ) |
11 |
|
fourierdlem100.d |
|- ( ph -> D e. ( C (,) +oo ) ) |
12 |
|
fourierdlem100.o |
|- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) |
13 |
|
fourierdlem100.n |
|- N = ( ( # ` H ) - 1 ) |
14 |
|
fourierdlem100.h |
|- H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) |
15 |
|
fourierdlem100.s |
|- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) ) |
16 |
|
fourierdlem100.e |
|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) |
17 |
|
fourierdlem100.j |
|- J = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) ) |
18 |
|
fourierdlem100.i |
|- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0 ..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( J ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) ) |
19 |
|
elioore |
|- ( D e. ( C (,) +oo ) -> D e. RR ) |
20 |
11 19
|
syl |
|- ( ph -> D e. RR ) |
21 |
10 20
|
iccssred |
|- ( ph -> ( C [,] D ) C_ RR ) |
22 |
5 21
|
feqresmpt |
|- ( ph -> ( F |` ( C [,] D ) ) = ( x e. ( C [,] D ) |-> ( F ` x ) ) ) |
23 |
|
fveq2 |
|- ( i = j -> ( p ` i ) = ( p ` j ) ) |
24 |
|
oveq1 |
|- ( i = j -> ( i + 1 ) = ( j + 1 ) ) |
25 |
24
|
fveq2d |
|- ( i = j -> ( p ` ( i + 1 ) ) = ( p ` ( j + 1 ) ) ) |
26 |
23 25
|
breq12d |
|- ( i = j -> ( ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) <-> ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) ) ) |
27 |
26
|
cbvralvw |
|- ( A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) <-> A. j e. ( 0 ..^ m ) ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) ) |
28 |
27
|
anbi2i |
|- ( ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. j e. ( 0 ..^ m ) ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) ) ) |
29 |
28
|
a1i |
|- ( p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) -> ( ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. j e. ( 0 ..^ m ) ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) ) ) ) |
30 |
29
|
rabbiia |
|- { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } = { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. j e. ( 0 ..^ m ) ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) ) } |
31 |
30
|
mpteq2i |
|- ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. j e. ( 0 ..^ m ) ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) ) } ) |
32 |
12 31
|
eqtri |
|- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. j e. ( 0 ..^ m ) ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) ) } ) |
33 |
|
elioo4g |
|- ( D e. ( C (,) +oo ) <-> ( ( C e. RR* /\ +oo e. RR* /\ D e. RR ) /\ ( C < D /\ D < +oo ) ) ) |
34 |
11 33
|
sylib |
|- ( ph -> ( ( C e. RR* /\ +oo e. RR* /\ D e. RR ) /\ ( C < D /\ D < +oo ) ) ) |
35 |
34
|
simprd |
|- ( ph -> ( C < D /\ D < +oo ) ) |
36 |
35
|
simpld |
|- ( ph -> C < D ) |
37 |
|
id |
|- ( y = x -> y = x ) |
38 |
2
|
eqcomi |
|- ( B - A ) = T |
39 |
38
|
oveq2i |
|- ( k x. ( B - A ) ) = ( k x. T ) |
40 |
39
|
a1i |
|- ( y = x -> ( k x. ( B - A ) ) = ( k x. T ) ) |
41 |
37 40
|
oveq12d |
|- ( y = x -> ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) = ( x + ( k x. T ) ) ) |
42 |
41
|
eleq1d |
|- ( y = x -> ( ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q <-> ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q ) ) |
43 |
42
|
rexbidv |
|- ( y = x -> ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q ) ) |
44 |
43
|
cbvrabv |
|- { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } = { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } |
45 |
44
|
uneq2i |
|- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) |
46 |
39
|
eqcomi |
|- ( k x. T ) = ( k x. ( B - A ) ) |
47 |
46
|
oveq2i |
|- ( y + ( k x. T ) ) = ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) |
48 |
47
|
eleq1i |
|- ( ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q ) |
49 |
48
|
rexbii |
|- ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q ) |
50 |
49
|
rgenw |
|- A. y e. ( C [,] D ) ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q ) |
51 |
|
rabbi |
|- ( A. y e. ( C [,] D ) ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q ) <-> { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) |
52 |
50 51
|
mpbi |
|- { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } |
53 |
52
|
uneq2i |
|- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) |
54 |
14 53
|
eqtri |
|- H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) |
55 |
54
|
fveq2i |
|- ( # ` H ) = ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) |
56 |
55
|
oveq1i |
|- ( ( # ` H ) - 1 ) = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) |
57 |
13 56
|
eqtri |
|- N = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) |
58 |
|
isoeq5 |
|- ( H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) -> ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) ) ) |
59 |
54 58
|
ax-mp |
|- ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) ) |
60 |
59
|
iotabii |
|- ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) ) = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) ) |
61 |
15 60
|
eqtri |
|- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) ) |
62 |
2 1 3 4 10 20 36 12 45 57 61
|
fourierdlem54 |
|- ( ph -> ( ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) /\ S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) ) ) |
63 |
62
|
simpld |
|- ( ph -> ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) ) |
64 |
63
|
simpld |
|- ( ph -> N e. NN ) |
65 |
63
|
simprd |
|- ( ph -> S e. ( O ` N ) ) |
66 |
5 21
|
fssresd |
|- ( ph -> ( F |` ( C [,] D ) ) : ( C [,] D ) --> CC ) |
67 |
|
ioossicc |
|- ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( S ` j ) [,] ( S ` ( j + 1 ) ) ) |
68 |
10
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> C e. RR ) |
69 |
68
|
rexrd |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> C e. RR* ) |
70 |
11
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> D e. ( C (,) +oo ) ) |
71 |
70 19
|
syl |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> D e. RR ) |
72 |
71
|
rexrd |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> D e. RR* ) |
73 |
12 64 65
|
fourierdlem15 |
|- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) ) |
74 |
73
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) ) |
75 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> j e. ( 0 ..^ N ) ) |
76 |
69 72 74 75
|
fourierdlem8 |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( S ` j ) [,] ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( C [,] D ) ) |
77 |
67 76
|
sstrid |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( C [,] D ) ) |
78 |
77
|
resabs1d |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( F |` ( C [,] D ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) |
79 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> M e. NN ) |
80 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> Q e. ( P ` M ) ) |
81 |
5
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> F : RR --> CC ) |
82 |
6
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) ) |
83 |
7
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) |
84 |
|
eqid |
|- ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) |
85 |
|
eqid |
|- ( F |` ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) = ( F |` ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) |
86 |
|
eqid |
|- ( y e. ( ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) + ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) (,) ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) + ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ) |-> ( ( F |` ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ` ( y - ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ) ) = ( y e. ( ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) + ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) (,) ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) + ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ) |-> ( ( F |` ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ` ( y - ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
87 |
1 2 79 80 81 82 83 68 70 12 14 13 15 16 17 75 84 85 86 18
|
fourierdlem90 |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( F |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) |
88 |
78 87
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( F |` ( C [,] D ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) |
89 |
8
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( Q ` i ) ) ) |
90 |
|
eqid |
|- ( i e. ( 0 ..^ M ) |-> R ) = ( i e. ( 0 ..^ M ) |-> R ) |
91 |
1 2 79 80 81 82 83 89 68 70 12 14 13 15 16 17 75 84 18 90
|
fourierdlem89 |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> if ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) , ( ( i e. ( 0 ..^ M ) |-> R ) ` ( I ` ( S ` j ) ) ) , ( F ` ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) limCC ( S ` j ) ) ) |
92 |
78
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( F |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( C [,] D ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) |
93 |
92
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( F |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) limCC ( S ` j ) ) = ( ( ( F |` ( C [,] D ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) limCC ( S ` j ) ) ) |
94 |
91 93
|
eleqtrd |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> if ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) , ( ( i e. ( 0 ..^ M ) |-> R ) ` ( I ` ( S ` j ) ) ) , ( F ` ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) ) e. ( ( ( F |` ( C [,] D ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) limCC ( S ` j ) ) ) |
95 |
9
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) |
96 |
|
eqid |
|- ( i e. ( 0 ..^ M ) |-> L ) = ( i e. ( 0 ..^ M ) |-> L ) |
97 |
1 2 79 80 81 82 83 95 68 70 12 14 13 15 16 17 75 84 18 96
|
fourierdlem91 |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> if ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) , ( ( i e. ( 0 ..^ M ) |-> L ) ` ( I ` ( S ` j ) ) ) , ( F ` ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) limCC ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) |
98 |
92
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( F |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) limCC ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( F |` ( C [,] D ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) limCC ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) |
99 |
97 98
|
eleqtrd |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ..^ N ) ) -> if ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) , ( ( i e. ( 0 ..^ M ) |-> L ) ` ( I ` ( S ` j ) ) ) , ( F ` ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( ( F |` ( C [,] D ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) limCC ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) |
100 |
32 64 65 66 88 94 99
|
fourierdlem69 |
|- ( ph -> ( F |` ( C [,] D ) ) e. L^1 ) |
101 |
22 100
|
eqeltrrd |
|- ( ph -> ( x e. ( C [,] D ) |-> ( F ` x ) ) e. L^1 ) |