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Theorem funcringcsetclem9ALTV

Description: Lemma 9 for funcringcsetcALTV . (Contributed by AV, 15-Feb-2020) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses funcringcsetcALTV.r 
|- R = ( RingCatALTV ` U )
funcringcsetcALTV.s 
|- S = ( SetCat ` U )
funcringcsetcALTV.b 
|- B = ( Base ` R )
funcringcsetcALTV.c 
|- C = ( Base ` S )
funcringcsetcALTV.u 
|- ( ph -> U e. WUni )
funcringcsetcALTV.f 
|- ( ph -> F = ( x e. B |-> ( Base ` x ) ) )
funcringcsetcALTV.g 
|- ( ph -> G = ( x e. B , y e. B |-> ( _I |` ( x RingHom y ) ) ) )
Assertion funcringcsetclem9ALTV 
|- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( H e. ( X ( Hom ` R ) Y ) /\ K e. ( Y ( Hom ` R ) Z ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. ( comp ` R ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. ( comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 funcringcsetcALTV.r 
 |-  R = ( RingCatALTV ` U )
2 funcringcsetcALTV.s 
 |-  S = ( SetCat ` U )
3 funcringcsetcALTV.b 
 |-  B = ( Base ` R )
4 funcringcsetcALTV.c 
 |-  C = ( Base ` S )
5 funcringcsetcALTV.u 
 |-  ( ph -> U e. WUni )
6 funcringcsetcALTV.f 
 |-  ( ph -> F = ( x e. B |-> ( Base ` x ) ) )
7 funcringcsetcALTV.g 
 |-  ( ph -> G = ( x e. B , y e. B |-> ( _I |` ( x RingHom y ) ) ) )
8 5 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> U e. WUni )
9 eqid 
 |-  ( Hom ` R ) = ( Hom ` R )
10 simpr1 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
11 simpr2 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
12 1 3 8 9 10 11 ringchomALTV 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X ( Hom ` R ) Y ) = ( X RingHom Y ) )
13 12 eleq2d 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( H e. ( X ( Hom ` R ) Y ) <-> H e. ( X RingHom Y ) ) )
14 simpr3 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
15 1 3 8 9 11 14 ringchomALTV 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y ( Hom ` R ) Z ) = ( Y RingHom Z ) )
16 15 eleq2d 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( K e. ( Y ( Hom ` R ) Z ) <-> K e. ( Y RingHom Z ) ) )
17 13 16 anbi12d 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( H e. ( X ( Hom ` R ) Y ) /\ K e. ( Y ( Hom ` R ) Z ) ) <-> ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) )
18 rhmco 
 |-  ( ( K e. ( Y RingHom Z ) /\ H e. ( X RingHom Y ) ) -> ( K o. H ) e. ( X RingHom Z ) )
19 18 ancoms 
 |-  ( ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) -> ( K o. H ) e. ( X RingHom Z ) )
20 19 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( K o. H ) e. ( X RingHom Z ) )
21 fvresi 
 |-  ( ( K o. H ) e. ( X RingHom Z ) -> ( ( _I |` ( X RingHom Z ) ) ` ( K o. H ) ) = ( K o. H ) )
22 20 21 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( _I |` ( X RingHom Z ) ) ` ( K o. H ) ) = ( K o. H ) )
23 1 2 3 4 5 6 7 funcringcsetclem5ALTV 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X G Z ) = ( _I |` ( X RingHom Z ) ) )
24 23 3adantr2 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X G Z ) = ( _I |` ( X RingHom Z ) ) )
25 24 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( X G Z ) = ( _I |` ( X RingHom Z ) ) )
26 8 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> U e. WUni )
27 eqid 
 |-  ( comp ` R ) = ( comp ` R )
28 10 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> X e. B )
29 11 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> Y e. B )
30 14 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> Z e. B )
31 simprl 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> H e. ( X RingHom Y ) )
32 simprr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> K e. ( Y RingHom Z ) )
33 1 3 26 27 28 29 30 31 32 ringccoALTV 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( K ( <. X , Y >. ( comp ` R ) Z ) H ) = ( K o. H ) )
34 25 33 fveq12d 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. ( comp ` R ) Z ) H ) ) = ( ( _I |` ( X RingHom Z ) ) ` ( K o. H ) ) )
35 eqid 
 |-  ( comp ` S ) = ( comp ` S )
36 1 2 3 4 5 6 funcringcsetclem2ALTV 
 |-  ( ( ph /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. U )
37 36 3ad2antr1 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` X ) e. U )
38 37 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( F ` X ) e. U )
39 1 2 3 4 5 6 funcringcsetclem2ALTV 
 |-  ( ( ph /\ Y e. B ) -> ( F ` Y ) e. U )
40 39 3ad2antr2 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` Y ) e. U )
41 40 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( F ` Y ) e. U )
42 1 2 3 4 5 6 funcringcsetclem2ALTV 
 |-  ( ( ph /\ Z e. B ) -> ( F ` Z ) e. U )
43 42 3ad2antr3 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` Z ) e. U )
44 43 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( F ` Z ) e. U )
45 eqid 
 |-  ( Base ` X ) = ( Base ` X )
46 eqid 
 |-  ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
47 45 46 rhmf 
 |-  ( H e. ( X RingHom Y ) -> H : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) )
48 47 ad2antrl 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> H : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) )
49 1 2 3 4 5 6 funcringcsetclem1ALTV 
 |-  ( ( ph /\ X e. B ) -> ( F ` X ) = ( Base ` X ) )
50 49 3ad2antr1 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` X ) = ( Base ` X ) )
51 1 2 3 4 5 6 funcringcsetclem1ALTV 
 |-  ( ( ph /\ Y e. B ) -> ( F ` Y ) = ( Base ` Y ) )
52 51 3ad2antr2 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` Y ) = ( Base ` Y ) )
53 50 52 feq23d 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( H : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) <-> H : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) ) )
54 53 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( H : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) <-> H : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) ) )
55 48 54 mpbird 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> H : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) )
56 simpll 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ph )
57 3simpa 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
58 57 ad2antlr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
59 1 2 3 4 5 6 7 funcringcsetclem6ALTV 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ H e. ( X RingHom Y ) ) -> ( ( X G Y ) ` H ) = H )
60 56 58 31 59 syl3anc 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( X G Y ) ` H ) = H )
61 60 feq1d 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( ( X G Y ) ` H ) : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) <-> H : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) ) )
62 55 61 mpbird 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( X G Y ) ` H ) : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) )
63 eqid 
 |-  ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
64 46 63 rhmf 
 |-  ( K e. ( Y RingHom Z ) -> K : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Z ) )
65 64 ad2antll 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> K : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Z ) )
66 1 2 3 4 5 6 funcringcsetclem1ALTV 
 |-  ( ( ph /\ Z e. B ) -> ( F ` Z ) = ( Base ` Z ) )
67 66 3ad2antr3 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` Z ) = ( Base ` Z ) )
68 52 67 feq23d 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( K : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) <-> K : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Z ) ) )
69 68 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( K : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) <-> K : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Z ) ) )
70 65 69 mpbird 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> K : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) )
71 3simpc 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y e. B /\ Z e. B ) )
72 71 ad2antlr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( Y e. B /\ Z e. B ) )
73 1 2 3 4 5 6 7 funcringcsetclem6ALTV 
 |-  ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) -> ( ( Y G Z ) ` K ) = K )
74 56 72 32 73 syl3anc 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( Y G Z ) ` K ) = K )
75 74 feq1d 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( ( Y G Z ) ` K ) : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) <-> K : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) ) )
76 70 75 mpbird 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( Y G Z ) ` K ) : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) )
77 2 26 35 38 41 44 62 76 setcco 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. ( comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) o. ( ( X G Y ) ` H ) ) )
78 74 60 coeq12d 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( ( Y G Z ) ` K ) o. ( ( X G Y ) ` H ) ) = ( K o. H ) )
79 77 78 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. ( comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) = ( K o. H ) )
80 22 34 79 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. ( comp ` R ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. ( comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) )
81 80 ex 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. ( comp ` R ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. ( comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) ) )
82 17 81 sylbid 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( H e. ( X ( Hom ` R ) Y ) /\ K e. ( Y ( Hom ` R ) Z ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. ( comp ` R ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. ( comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) ) )
83 82 3impia 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( H e. ( X ( Hom ` R ) Y ) /\ K e. ( Y ( Hom ` R ) Z ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. ( comp ` R ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. ( comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) )