Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
19.28v |
|- ( A. f ( ~P z C_ U /\ E. w e. U ( ~P z C_ w /\ A. i e. z ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) <-> ( ~P z C_ U /\ A. f E. w e. U ( ~P z C_ w /\ A. i e. z ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) ) |
2 |
|
r19.42v |
|- ( E. w e. U ( ~P z C_ U /\ ( ~P z C_ w /\ A. i e. z ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) <-> ( ~P z C_ U /\ E. w e. U ( ~P z C_ w /\ A. i e. z ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) ) |
3 |
|
19.26 |
|- ( A. v ( ( v C_ z -> ( v e. U /\ v e. w ) ) /\ A. i e. z ( ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) <-> ( A. v ( v C_ z -> ( v e. U /\ v e. w ) ) /\ A. v A. i e. z ( ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) |
4 |
|
19.26 |
|- ( A. v ( ( v C_ z -> v e. U ) /\ ( v C_ z -> v e. w ) ) <-> ( A. v ( v C_ z -> v e. U ) /\ A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) ) |
5 |
|
jcab |
|- ( ( v C_ z -> ( v e. U /\ v e. w ) ) <-> ( ( v C_ z -> v e. U ) /\ ( v C_ z -> v e. w ) ) ) |
6 |
5
|
albii |
|- ( A. v ( v C_ z -> ( v e. U /\ v e. w ) ) <-> A. v ( ( v C_ z -> v e. U ) /\ ( v C_ z -> v e. w ) ) ) |
7 |
|
pwss |
|- ( ~P z C_ U <-> A. v ( v C_ z -> v e. U ) ) |
8 |
|
pwss |
|- ( ~P z C_ w <-> A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) |
9 |
7 8
|
anbi12i |
|- ( ( ~P z C_ U /\ ~P z C_ w ) <-> ( A. v ( v C_ z -> v e. U ) /\ A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) ) |
10 |
4 6 9
|
3bitr4i |
|- ( A. v ( v C_ z -> ( v e. U /\ v e. w ) ) <-> ( ~P z C_ U /\ ~P z C_ w ) ) |
11 |
|
ralcom4 |
|- ( A. i e. z A. v ( ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) <-> A. v A. i e. z ( ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) |
12 |
|
19.23v |
|- ( A. v ( ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) <-> ( E. v ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) |
13 |
|
3anass |
|- ( ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) <-> ( v e. U /\ ( i e. v /\ v e. f ) ) ) |
14 |
13
|
exbii |
|- ( E. v ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) <-> E. v ( v e. U /\ ( i e. v /\ v e. f ) ) ) |
15 |
|
df-rex |
|- ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) <-> E. v ( v e. U /\ ( i e. v /\ v e. f ) ) ) |
16 |
14 15
|
bitr4i |
|- ( E. v ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) <-> E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) ) |
17 |
16
|
imbi1i |
|- ( ( E. v ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) <-> ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) |
18 |
12 17
|
bitri |
|- ( A. v ( ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) <-> ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) |
19 |
18
|
ralbii |
|- ( A. i e. z A. v ( ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) <-> A. i e. z ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) |
20 |
11 19
|
bitr3i |
|- ( A. v A. i e. z ( ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) <-> A. i e. z ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) |
21 |
10 20
|
anbi12i |
|- ( ( A. v ( v C_ z -> ( v e. U /\ v e. w ) ) /\ A. v A. i e. z ( ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) <-> ( ( ~P z C_ U /\ ~P z C_ w ) /\ A. i e. z ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) |
22 |
|
anass |
|- ( ( ( ~P z C_ U /\ ~P z C_ w ) /\ A. i e. z ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) <-> ( ~P z C_ U /\ ( ~P z C_ w /\ A. i e. z ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) ) |
23 |
21 22
|
bitri |
|- ( ( A. v ( v C_ z -> ( v e. U /\ v e. w ) ) /\ A. v A. i e. z ( ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) <-> ( ~P z C_ U /\ ( ~P z C_ w /\ A. i e. z ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) ) |
24 |
3 23
|
bitri |
|- ( A. v ( ( v C_ z -> ( v e. U /\ v e. w ) ) /\ A. i e. z ( ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) <-> ( ~P z C_ U /\ ( ~P z C_ w /\ A. i e. z ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) ) |
25 |
|
dfss2 |
|- ( v C_ z <-> A. t ( t e. v -> t e. z ) ) |
26 |
|
df-an |
|- ( ( v e. U /\ v e. w ) <-> -. ( v e. U -> -. v e. w ) ) |
27 |
25 26
|
imbi12i |
|- ( ( v C_ z -> ( v e. U /\ v e. w ) ) <-> ( A. t ( t e. v -> t e. z ) -> -. ( v e. U -> -. v e. w ) ) ) |
28 |
|
3impexp |
|- ( ( ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) <-> ( v e. U -> ( i e. v -> ( v e. f -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) ) |
29 |
|
biid |
|- ( i e. u <-> i e. u ) |
30 |
|
expanduniss |
|- ( U. u C_ w <-> A. o ( o e. u -> A. s ( s e. o -> s e. w ) ) ) |
31 |
29 30
|
expandan |
|- ( ( i e. u /\ U. u C_ w ) <-> -. ( i e. u -> -. A. o ( o e. u -> A. s ( s e. o -> s e. w ) ) ) ) |
32 |
31
|
expandrexn |
|- ( E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) <-> -. A. u ( u e. f -> ( i e. u -> -. A. o ( o e. u -> A. s ( s e. o -> s e. w ) ) ) ) ) |
33 |
32
|
imbi2i |
|- ( ( v e. f -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) <-> ( v e. f -> -. A. u ( u e. f -> ( i e. u -> -. A. o ( o e. u -> A. s ( s e. o -> s e. w ) ) ) ) ) ) |
34 |
33
|
imbi2i |
|- ( ( i e. v -> ( v e. f -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) <-> ( i e. v -> ( v e. f -> -. A. u ( u e. f -> ( i e. u -> -. A. o ( o e. u -> A. s ( s e. o -> s e. w ) ) ) ) ) ) ) |
35 |
34
|
imbi2i |
|- ( ( v e. U -> ( i e. v -> ( v e. f -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) <-> ( v e. U -> ( i e. v -> ( v e. f -> -. A. u ( u e. f -> ( i e. u -> -. A. o ( o e. u -> A. s ( s e. o -> s e. w ) ) ) ) ) ) ) ) |
36 |
28 35
|
bitri |
|- ( ( ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) <-> ( v e. U -> ( i e. v -> ( v e. f -> -. A. u ( u e. f -> ( i e. u -> -. A. o ( o e. u -> A. s ( s e. o -> s e. w ) ) ) ) ) ) ) ) |
37 |
36
|
expandral |
|- ( A. i e. z ( ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) <-> A. i ( i e. z -> ( v e. U -> ( i e. v -> ( v e. f -> -. A. u ( u e. f -> ( i e. u -> -. A. o ( o e. u -> A. s ( s e. o -> s e. w ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
38 |
27 37
|
expandan |
|- ( ( ( v C_ z -> ( v e. U /\ v e. w ) ) /\ A. i e. z ( ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) <-> -. ( ( A. t ( t e. v -> t e. z ) -> -. ( v e. U -> -. v e. w ) ) -> -. A. i ( i e. z -> ( v e. U -> ( i e. v -> ( v e. f -> -. A. u ( u e. f -> ( i e. u -> -. A. o ( o e. u -> A. s ( s e. o -> s e. w ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
39 |
38
|
albii |
|- ( A. v ( ( v C_ z -> ( v e. U /\ v e. w ) ) /\ A. i e. z ( ( v e. U /\ i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) <-> A. v -. ( ( A. t ( t e. v -> t e. z ) -> -. ( v e. U -> -. v e. w ) ) -> -. A. i ( i e. z -> ( v e. U -> ( i e. v -> ( v e. f -> -. A. u ( u e. f -> ( i e. u -> -. A. o ( o e. u -> A. s ( s e. o -> s e. w ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
40 |
24 39
|
bitr3i |
|- ( ( ~P z C_ U /\ ( ~P z C_ w /\ A. i e. z ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) <-> A. v -. ( ( A. t ( t e. v -> t e. z ) -> -. ( v e. U -> -. v e. w ) ) -> -. A. i ( i e. z -> ( v e. U -> ( i e. v -> ( v e. f -> -. A. u ( u e. f -> ( i e. u -> -. A. o ( o e. u -> A. s ( s e. o -> s e. w ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
41 |
40
|
expandrex |
|- ( E. w e. U ( ~P z C_ U /\ ( ~P z C_ w /\ A. i e. z ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) <-> -. A. w ( w e. U -> -. A. v -. ( ( A. t ( t e. v -> t e. z ) -> -. ( v e. U -> -. v e. w ) ) -> -. A. i ( i e. z -> ( v e. U -> ( i e. v -> ( v e. f -> -. A. u ( u e. f -> ( i e. u -> -. A. o ( o e. u -> A. s ( s e. o -> s e. w ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
42 |
2 41
|
bitr3i |
|- ( ( ~P z C_ U /\ E. w e. U ( ~P z C_ w /\ A. i e. z ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) <-> -. A. w ( w e. U -> -. A. v -. ( ( A. t ( t e. v -> t e. z ) -> -. ( v e. U -> -. v e. w ) ) -> -. A. i ( i e. z -> ( v e. U -> ( i e. v -> ( v e. f -> -. A. u ( u e. f -> ( i e. u -> -. A. o ( o e. u -> A. s ( s e. o -> s e. w ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
43 |
42
|
albii |
|- ( A. f ( ~P z C_ U /\ E. w e. U ( ~P z C_ w /\ A. i e. z ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) <-> A. f -. A. w ( w e. U -> -. A. v -. ( ( A. t ( t e. v -> t e. z ) -> -. ( v e. U -> -. v e. w ) ) -> -. A. i ( i e. z -> ( v e. U -> ( i e. v -> ( v e. f -> -. A. u ( u e. f -> ( i e. u -> -. A. o ( o e. u -> A. s ( s e. o -> s e. w ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
44 |
1 43
|
bitr3i |
|- ( ( ~P z C_ U /\ A. f E. w e. U ( ~P z C_ w /\ A. i e. z ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) <-> A. f -. A. w ( w e. U -> -. A. v -. ( ( A. t ( t e. v -> t e. z ) -> -. ( v e. U -> -. v e. w ) ) -> -. A. i ( i e. z -> ( v e. U -> ( i e. v -> ( v e. f -> -. A. u ( u e. f -> ( i e. u -> -. A. o ( o e. u -> A. s ( s e. o -> s e. w ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
45 |
44
|
expandral |
|- ( A. z e. U ( ~P z C_ U /\ A. f E. w e. U ( ~P z C_ w /\ A. i e. z ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) <-> A. z ( z e. U -> A. f -. A. w ( w e. U -> -. A. v -. ( ( A. t ( t e. v -> t e. z ) -> -. ( v e. U -> -. v e. w ) ) -> -. A. i ( i e. z -> ( v e. U -> ( i e. v -> ( v e. f -> -. A. u ( u e. f -> ( i e. u -> -. A. o ( o e. u -> A. s ( s e. o -> s e. w ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) |