Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lactghmga.x |
|- X = ( Base ` G ) |
2 |
|
lactghmga.h |
|- H = ( SymGrp ` Y ) |
3 |
|
lactghmga.f |
|- .(+) = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( F ` x ) ` y ) ) |
4 |
|
ghmgrp1 |
|- ( F e. ( G GrpHom H ) -> G e. Grp ) |
5 |
|
ghmgrp2 |
|- ( F e. ( G GrpHom H ) -> H e. Grp ) |
6 |
|
grpn0 |
|- ( H e. Grp -> H =/= (/) ) |
7 |
|
fvprc |
|- ( -. Y e. _V -> ( SymGrp ` Y ) = (/) ) |
8 |
2 7
|
syl5eq |
|- ( -. Y e. _V -> H = (/) ) |
9 |
8
|
necon1ai |
|- ( H =/= (/) -> Y e. _V ) |
10 |
5 6 9
|
3syl |
|- ( F e. ( G GrpHom H ) -> Y e. _V ) |
11 |
|
eqid |
|- ( Base ` H ) = ( Base ` H ) |
12 |
1 11
|
ghmf |
|- ( F e. ( G GrpHom H ) -> F : X --> ( Base ` H ) ) |
13 |
12
|
ffvelrnda |
|- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) e. ( Base ` H ) ) |
14 |
10
|
adantr |
|- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ x e. X ) -> Y e. _V ) |
15 |
2 11
|
elsymgbas |
|- ( Y e. _V -> ( ( F ` x ) e. ( Base ` H ) <-> ( F ` x ) : Y -1-1-onto-> Y ) ) |
16 |
14 15
|
syl |
|- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) e. ( Base ` H ) <-> ( F ` x ) : Y -1-1-onto-> Y ) ) |
17 |
13 16
|
mpbid |
|- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) : Y -1-1-onto-> Y ) |
18 |
|
f1of |
|- ( ( F ` x ) : Y -1-1-onto-> Y -> ( F ` x ) : Y --> Y ) |
19 |
17 18
|
syl |
|- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) : Y --> Y ) |
20 |
19
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> ( ( F ` x ) ` y ) e. Y ) |
21 |
20
|
ralrimiva |
|- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ x e. X ) -> A. y e. Y ( ( F ` x ) ` y ) e. Y ) |
22 |
21
|
ralrimiva |
|- ( F e. ( G GrpHom H ) -> A. x e. X A. y e. Y ( ( F ` x ) ` y ) e. Y ) |
23 |
3
|
fmpo |
|- ( A. x e. X A. y e. Y ( ( F ` x ) ` y ) e. Y <-> .(+) : ( X X. Y ) --> Y ) |
24 |
22 23
|
sylib |
|- ( F e. ( G GrpHom H ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y ) |
25 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
26 |
1 25
|
grpidcl |
|- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. X ) |
27 |
4 26
|
syl |
|- ( F e. ( G GrpHom H ) -> ( 0g ` G ) e. X ) |
28 |
|
fveq2 |
|- ( x = ( 0g ` G ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( 0g ` G ) ) ) |
29 |
28
|
fveq1d |
|- ( x = ( 0g ` G ) -> ( ( F ` x ) ` y ) = ( ( F ` ( 0g ` G ) ) ` y ) ) |
30 |
|
fveq2 |
|- ( y = z -> ( ( F ` ( 0g ` G ) ) ` y ) = ( ( F ` ( 0g ` G ) ) ` z ) ) |
31 |
|
fvex |
|- ( ( F ` ( 0g ` G ) ) ` z ) e. _V |
32 |
29 30 3 31
|
ovmpo |
|- ( ( ( 0g ` G ) e. X /\ z e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) z ) = ( ( F ` ( 0g ` G ) ) ` z ) ) |
33 |
27 32
|
sylan |
|- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) z ) = ( ( F ` ( 0g ` G ) ) ` z ) ) |
34 |
|
eqid |
|- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H ) |
35 |
25 34
|
ghmid |
|- ( F e. ( G GrpHom H ) -> ( F ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` H ) ) |
36 |
35
|
adantr |
|- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) -> ( F ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` H ) ) |
37 |
10
|
adantr |
|- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) -> Y e. _V ) |
38 |
2
|
symgid |
|- ( Y e. _V -> ( _I |` Y ) = ( 0g ` H ) ) |
39 |
37 38
|
syl |
|- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) -> ( _I |` Y ) = ( 0g ` H ) ) |
40 |
36 39
|
eqtr4d |
|- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) -> ( F ` ( 0g ` G ) ) = ( _I |` Y ) ) |
41 |
40
|
fveq1d |
|- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) -> ( ( F ` ( 0g ` G ) ) ` z ) = ( ( _I |` Y ) ` z ) ) |
42 |
|
fvresi |
|- ( z e. Y -> ( ( _I |` Y ) ` z ) = z ) |
43 |
42
|
adantl |
|- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) -> ( ( _I |` Y ) ` z ) = z ) |
44 |
33 41 43
|
3eqtrd |
|- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) z ) = z ) |
45 |
12
|
ad2antrr |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> F : X --> ( Base ` H ) ) |
46 |
|
simprr |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> v e. X ) |
47 |
45 46
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( F ` v ) e. ( Base ` H ) ) |
48 |
10
|
ad2antrr |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> Y e. _V ) |
49 |
2 11
|
elsymgbas |
|- ( Y e. _V -> ( ( F ` v ) e. ( Base ` H ) <-> ( F ` v ) : Y -1-1-onto-> Y ) ) |
50 |
48 49
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( F ` v ) e. ( Base ` H ) <-> ( F ` v ) : Y -1-1-onto-> Y ) ) |
51 |
47 50
|
mpbid |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( F ` v ) : Y -1-1-onto-> Y ) |
52 |
|
f1of |
|- ( ( F ` v ) : Y -1-1-onto-> Y -> ( F ` v ) : Y --> Y ) |
53 |
51 52
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( F ` v ) : Y --> Y ) |
54 |
|
simplr |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> z e. Y ) |
55 |
|
fvco3 |
|- ( ( ( F ` v ) : Y --> Y /\ z e. Y ) -> ( ( ( F ` u ) o. ( F ` v ) ) ` z ) = ( ( F ` u ) ` ( ( F ` v ) ` z ) ) ) |
56 |
53 54 55
|
syl2anc |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( ( F ` u ) o. ( F ` v ) ) ` z ) = ( ( F ` u ) ` ( ( F ` v ) ` z ) ) ) |
57 |
|
simpll |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> F e. ( G GrpHom H ) ) |
58 |
|
simprl |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> u e. X ) |
59 |
|
eqid |
|- ( +g ` G ) = ( +g ` G ) |
60 |
|
eqid |
|- ( +g ` H ) = ( +g ` H ) |
61 |
1 59 60
|
ghmlin |
|- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ u e. X /\ v e. X ) -> ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) = ( ( F ` u ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) ) |
62 |
57 58 46 61
|
syl3anc |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) = ( ( F ` u ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) ) |
63 |
45 58
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( F ` u ) e. ( Base ` H ) ) |
64 |
2 11 60
|
symgov |
|- ( ( ( F ` u ) e. ( Base ` H ) /\ ( F ` v ) e. ( Base ` H ) ) -> ( ( F ` u ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) = ( ( F ` u ) o. ( F ` v ) ) ) |
65 |
63 47 64
|
syl2anc |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( F ` u ) ( +g ` H ) ( F ` v ) ) = ( ( F ` u ) o. ( F ` v ) ) ) |
66 |
62 65
|
eqtrd |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) = ( ( F ` u ) o. ( F ` v ) ) ) |
67 |
66
|
fveq1d |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) ` z ) = ( ( ( F ` u ) o. ( F ` v ) ) ` z ) ) |
68 |
53 54
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( F ` v ) ` z ) e. Y ) |
69 |
|
fveq2 |
|- ( x = u -> ( F ` x ) = ( F ` u ) ) |
70 |
69
|
fveq1d |
|- ( x = u -> ( ( F ` x ) ` y ) = ( ( F ` u ) ` y ) ) |
71 |
|
fveq2 |
|- ( y = ( ( F ` v ) ` z ) -> ( ( F ` u ) ` y ) = ( ( F ` u ) ` ( ( F ` v ) ` z ) ) ) |
72 |
|
fvex |
|- ( ( F ` u ) ` ( ( F ` v ) ` z ) ) e. _V |
73 |
70 71 3 72
|
ovmpo |
|- ( ( u e. X /\ ( ( F ` v ) ` z ) e. Y ) -> ( u .(+) ( ( F ` v ) ` z ) ) = ( ( F ` u ) ` ( ( F ` v ) ` z ) ) ) |
74 |
58 68 73
|
syl2anc |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( u .(+) ( ( F ` v ) ` z ) ) = ( ( F ` u ) ` ( ( F ` v ) ` z ) ) ) |
75 |
56 67 74
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) ` z ) = ( u .(+) ( ( F ` v ) ` z ) ) ) |
76 |
4
|
ad2antrr |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> G e. Grp ) |
77 |
1 59
|
grpcl |
|- ( ( G e. Grp /\ u e. X /\ v e. X ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. X ) |
78 |
76 58 46 77
|
syl3anc |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. X ) |
79 |
|
fveq2 |
|- ( x = ( u ( +g ` G ) v ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) ) |
80 |
79
|
fveq1d |
|- ( x = ( u ( +g ` G ) v ) -> ( ( F ` x ) ` y ) = ( ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) ` y ) ) |
81 |
|
fveq2 |
|- ( y = z -> ( ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) ` y ) = ( ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) ` z ) ) |
82 |
|
fvex |
|- ( ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) ` z ) e. _V |
83 |
80 81 3 82
|
ovmpo |
|- ( ( ( u ( +g ` G ) v ) e. X /\ z e. Y ) -> ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) ` z ) ) |
84 |
78 54 83
|
syl2anc |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( ( F ` ( u ( +g ` G ) v ) ) ` z ) ) |
85 |
|
fveq2 |
|- ( x = v -> ( F ` x ) = ( F ` v ) ) |
86 |
85
|
fveq1d |
|- ( x = v -> ( ( F ` x ) ` y ) = ( ( F ` v ) ` y ) ) |
87 |
|
fveq2 |
|- ( y = z -> ( ( F ` v ) ` y ) = ( ( F ` v ) ` z ) ) |
88 |
|
fvex |
|- ( ( F ` v ) ` z ) e. _V |
89 |
86 87 3 88
|
ovmpo |
|- ( ( v e. X /\ z e. Y ) -> ( v .(+) z ) = ( ( F ` v ) ` z ) ) |
90 |
46 54 89
|
syl2anc |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( v .(+) z ) = ( ( F ` v ) ` z ) ) |
91 |
90
|
oveq2d |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( u .(+) ( v .(+) z ) ) = ( u .(+) ( ( F ` v ) ` z ) ) ) |
92 |
75 84 91
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( u .(+) ( v .(+) z ) ) ) |
93 |
92
|
ralrimivva |
|- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) -> A. u e. X A. v e. X ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( u .(+) ( v .(+) z ) ) ) |
94 |
44 93
|
jca |
|- ( ( F e. ( G GrpHom H ) /\ z e. Y ) -> ( ( ( 0g ` G ) .(+) z ) = z /\ A. u e. X A. v e. X ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( u .(+) ( v .(+) z ) ) ) ) |
95 |
94
|
ralrimiva |
|- ( F e. ( G GrpHom H ) -> A. z e. Y ( ( ( 0g ` G ) .(+) z ) = z /\ A. u e. X A. v e. X ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( u .(+) ( v .(+) z ) ) ) ) |
96 |
24 95
|
jca |
|- ( F e. ( G GrpHom H ) -> ( .(+) : ( X X. Y ) --> Y /\ A. z e. Y ( ( ( 0g ` G ) .(+) z ) = z /\ A. u e. X A. v e. X ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( u .(+) ( v .(+) z ) ) ) ) ) |
97 |
1 59 25
|
isga |
|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) <-> ( ( G e. Grp /\ Y e. _V ) /\ ( .(+) : ( X X. Y ) --> Y /\ A. z e. Y ( ( ( 0g ` G ) .(+) z ) = z /\ A. u e. X A. v e. X ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( u .(+) ( v .(+) z ) ) ) ) ) ) |
98 |
4 10 96 97
|
syl21anbrc |
|- ( F e. ( G GrpHom H ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) ) |