Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lsmub1.p |
|- .(+) = ( LSSum ` G ) |
2 |
|
eqid |
|- ( Base ` G ) = ( Base ` G ) |
3 |
|
eqid |
|- ( +g ` G ) = ( +g ` G ) |
4 |
2 3 1
|
lsmval |
|- ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) ) -> ( R .(+) T ) = ran ( a e. R , b e. T |-> ( a ( +g ` G ) b ) ) ) |
5 |
4
|
3adant3 |
|- ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> ( R .(+) T ) = ran ( a e. R , b e. T |-> ( a ( +g ` G ) b ) ) ) |
6 |
5
|
rexeqdv |
|- ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> ( E. y e. ( R .(+) T ) E. c e. U x = ( y ( +g ` G ) c ) <-> E. y e. ran ( a e. R , b e. T |-> ( a ( +g ` G ) b ) ) E. c e. U x = ( y ( +g ` G ) c ) ) ) |
7 |
|
ovex |
|- ( a ( +g ` G ) b ) e. _V |
8 |
7
|
rgen2w |
|- A. a e. R A. b e. T ( a ( +g ` G ) b ) e. _V |
9 |
|
eqid |
|- ( a e. R , b e. T |-> ( a ( +g ` G ) b ) ) = ( a e. R , b e. T |-> ( a ( +g ` G ) b ) ) |
10 |
|
oveq1 |
|- ( y = ( a ( +g ` G ) b ) -> ( y ( +g ` G ) c ) = ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) ) |
11 |
10
|
eqeq2d |
|- ( y = ( a ( +g ` G ) b ) -> ( x = ( y ( +g ` G ) c ) <-> x = ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) ) ) |
12 |
11
|
rexbidv |
|- ( y = ( a ( +g ` G ) b ) -> ( E. c e. U x = ( y ( +g ` G ) c ) <-> E. c e. U x = ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) ) ) |
13 |
9 12
|
rexrnmpo |
|- ( A. a e. R A. b e. T ( a ( +g ` G ) b ) e. _V -> ( E. y e. ran ( a e. R , b e. T |-> ( a ( +g ` G ) b ) ) E. c e. U x = ( y ( +g ` G ) c ) <-> E. a e. R E. b e. T E. c e. U x = ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) ) ) |
14 |
8 13
|
ax-mp |
|- ( E. y e. ran ( a e. R , b e. T |-> ( a ( +g ` G ) b ) ) E. c e. U x = ( y ( +g ` G ) c ) <-> E. a e. R E. b e. T E. c e. U x = ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) ) |
15 |
6 14
|
bitrdi |
|- ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> ( E. y e. ( R .(+) T ) E. c e. U x = ( y ( +g ` G ) c ) <-> E. a e. R E. b e. T E. c e. U x = ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) ) ) |
16 |
2 3 1
|
lsmval |
|- ( ( T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> ( T .(+) U ) = ran ( b e. T , c e. U |-> ( b ( +g ` G ) c ) ) ) |
17 |
16
|
3adant1 |
|- ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> ( T .(+) U ) = ran ( b e. T , c e. U |-> ( b ( +g ` G ) c ) ) ) |
18 |
17
|
rexeqdv |
|- ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> ( E. z e. ( T .(+) U ) x = ( a ( +g ` G ) z ) <-> E. z e. ran ( b e. T , c e. U |-> ( b ( +g ` G ) c ) ) x = ( a ( +g ` G ) z ) ) ) |
19 |
|
ovex |
|- ( b ( +g ` G ) c ) e. _V |
20 |
19
|
rgen2w |
|- A. b e. T A. c e. U ( b ( +g ` G ) c ) e. _V |
21 |
|
eqid |
|- ( b e. T , c e. U |-> ( b ( +g ` G ) c ) ) = ( b e. T , c e. U |-> ( b ( +g ` G ) c ) ) |
22 |
|
oveq2 |
|- ( z = ( b ( +g ` G ) c ) -> ( a ( +g ` G ) z ) = ( a ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) c ) ) ) |
23 |
22
|
eqeq2d |
|- ( z = ( b ( +g ` G ) c ) -> ( x = ( a ( +g ` G ) z ) <-> x = ( a ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) c ) ) ) ) |
24 |
21 23
|
rexrnmpo |
|- ( A. b e. T A. c e. U ( b ( +g ` G ) c ) e. _V -> ( E. z e. ran ( b e. T , c e. U |-> ( b ( +g ` G ) c ) ) x = ( a ( +g ` G ) z ) <-> E. b e. T E. c e. U x = ( a ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) c ) ) ) ) |
25 |
20 24
|
ax-mp |
|- ( E. z e. ran ( b e. T , c e. U |-> ( b ( +g ` G ) c ) ) x = ( a ( +g ` G ) z ) <-> E. b e. T E. c e. U x = ( a ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) c ) ) ) |
26 |
18 25
|
bitrdi |
|- ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> ( E. z e. ( T .(+) U ) x = ( a ( +g ` G ) z ) <-> E. b e. T E. c e. U x = ( a ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) c ) ) ) ) |
27 |
26
|
adantr |
|- ( ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) -> ( E. z e. ( T .(+) U ) x = ( a ( +g ` G ) z ) <-> E. b e. T E. c e. U x = ( a ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) c ) ) ) ) |
28 |
|
subgrcl |
|- ( R e. ( SubGrp ` G ) -> G e. Grp ) |
29 |
28
|
3ad2ant1 |
|- ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> G e. Grp ) |
30 |
29
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> G e. Grp ) |
31 |
2
|
subgss |
|- ( R e. ( SubGrp ` G ) -> R C_ ( Base ` G ) ) |
32 |
31
|
3ad2ant1 |
|- ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> R C_ ( Base ` G ) ) |
33 |
32
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> R C_ ( Base ` G ) ) |
34 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> a e. R ) |
35 |
33 34
|
sseldd |
|- ( ( ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> a e. ( Base ` G ) ) |
36 |
2
|
subgss |
|- ( T e. ( SubGrp ` G ) -> T C_ ( Base ` G ) ) |
37 |
36
|
3ad2ant2 |
|- ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> T C_ ( Base ` G ) ) |
38 |
37
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> T C_ ( Base ` G ) ) |
39 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> b e. T ) |
40 |
38 39
|
sseldd |
|- ( ( ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> b e. ( Base ` G ) ) |
41 |
2
|
subgss |
|- ( U e. ( SubGrp ` G ) -> U C_ ( Base ` G ) ) |
42 |
41
|
3ad2ant3 |
|- ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> U C_ ( Base ` G ) ) |
43 |
42
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> U C_ ( Base ` G ) ) |
44 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> c e. U ) |
45 |
43 44
|
sseldd |
|- ( ( ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> c e. ( Base ` G ) ) |
46 |
2 3
|
grpass |
|- ( ( G e. Grp /\ ( a e. ( Base ` G ) /\ b e. ( Base ` G ) /\ c e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) = ( a ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) c ) ) ) |
47 |
30 35 40 45 46
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) = ( a ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) c ) ) ) |
48 |
47
|
eqeq2d |
|- ( ( ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> ( x = ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) <-> x = ( a ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) c ) ) ) ) |
49 |
48
|
2rexbidva |
|- ( ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) -> ( E. b e. T E. c e. U x = ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) <-> E. b e. T E. c e. U x = ( a ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) c ) ) ) ) |
50 |
27 49
|
bitr4d |
|- ( ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) -> ( E. z e. ( T .(+) U ) x = ( a ( +g ` G ) z ) <-> E. b e. T E. c e. U x = ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) ) ) |
51 |
50
|
rexbidva |
|- ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> ( E. a e. R E. z e. ( T .(+) U ) x = ( a ( +g ` G ) z ) <-> E. a e. R E. b e. T E. c e. U x = ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) ) ) |
52 |
15 51
|
bitr4d |
|- ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> ( E. y e. ( R .(+) T ) E. c e. U x = ( y ( +g ` G ) c ) <-> E. a e. R E. z e. ( T .(+) U ) x = ( a ( +g ` G ) z ) ) ) |
53 |
29
|
grpmndd |
|- ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> G e. Mnd ) |
54 |
2 1
|
lsmssv |
|- ( ( G e. Mnd /\ R C_ ( Base ` G ) /\ T C_ ( Base ` G ) ) -> ( R .(+) T ) C_ ( Base ` G ) ) |
55 |
53 32 37 54
|
syl3anc |
|- ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> ( R .(+) T ) C_ ( Base ` G ) ) |
56 |
2 3 1
|
lsmelvalx |
|- ( ( G e. Grp /\ ( R .(+) T ) C_ ( Base ` G ) /\ U C_ ( Base ` G ) ) -> ( x e. ( ( R .(+) T ) .(+) U ) <-> E. y e. ( R .(+) T ) E. c e. U x = ( y ( +g ` G ) c ) ) ) |
57 |
29 55 42 56
|
syl3anc |
|- ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> ( x e. ( ( R .(+) T ) .(+) U ) <-> E. y e. ( R .(+) T ) E. c e. U x = ( y ( +g ` G ) c ) ) ) |
58 |
2 1
|
lsmssv |
|- ( ( G e. Mnd /\ T C_ ( Base ` G ) /\ U C_ ( Base ` G ) ) -> ( T .(+) U ) C_ ( Base ` G ) ) |
59 |
53 37 42 58
|
syl3anc |
|- ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> ( T .(+) U ) C_ ( Base ` G ) ) |
60 |
2 3 1
|
lsmelvalx |
|- ( ( G e. Grp /\ R C_ ( Base ` G ) /\ ( T .(+) U ) C_ ( Base ` G ) ) -> ( x e. ( R .(+) ( T .(+) U ) ) <-> E. a e. R E. z e. ( T .(+) U ) x = ( a ( +g ` G ) z ) ) ) |
61 |
29 32 59 60
|
syl3anc |
|- ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> ( x e. ( R .(+) ( T .(+) U ) ) <-> E. a e. R E. z e. ( T .(+) U ) x = ( a ( +g ` G ) z ) ) ) |
62 |
52 57 61
|
3bitr4d |
|- ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> ( x e. ( ( R .(+) T ) .(+) U ) <-> x e. ( R .(+) ( T .(+) U ) ) ) ) |
63 |
62
|
eqrdv |
|- ( ( R e. ( SubGrp ` G ) /\ T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> ( ( R .(+) T ) .(+) U ) = ( R .(+) ( T .(+) U ) ) ) |