Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
noinffv.1 |
|- T = if ( E. x e. B A. y e. B -. y . } ) , ( g e. { y | E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. B ( g e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) |
2 |
|
iffalse |
|- ( -. E. x e. B A. y e. B -. y if ( E. x e. B A. y e. B -. y . } ) , ( g e. { y | E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. B ( g e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) = ( g e. { y | E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. B ( g e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) |
3 |
1 2
|
syl5eq |
|- ( -. E. x e. B A. y e. B -. y T = ( g e. { y | E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. B ( g e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) |
4 |
3
|
fveq1d |
|- ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( T ` G ) = ( ( g e. { y | E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. B ( g e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ` G ) ) |
5 |
4
|
3ad2ant1 |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( T ` G ) = ( ( g e. { y | E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. B ( g e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ` G ) ) |
6 |
|
dmeq |
|- ( u = U -> dom u = dom U ) |
7 |
6
|
eleq2d |
|- ( u = U -> ( G e. dom u <-> G e. dom U ) ) |
8 |
|
breq1 |
|- ( u = U -> ( u U |
9 |
8
|
notbid |
|- ( u = U -> ( -. u -. U |
10 |
|
reseq1 |
|- ( u = U -> ( u |` suc G ) = ( U |` suc G ) ) |
11 |
10
|
eqeq1d |
|- ( u = U -> ( ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) <-> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) |
12 |
9 11
|
imbi12d |
|- ( u = U -> ( ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) <-> ( -. U ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
13 |
12
|
ralbidv |
|- ( u = U -> ( A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) <-> A. v e. B ( -. U ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
14 |
7 13
|
anbi12d |
|- ( u = U -> ( ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) <-> ( G e. dom U /\ A. v e. B ( -. U ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) ) |
15 |
14
|
rspcev |
|- ( ( U e. B /\ ( G e. dom U /\ A. v e. B ( -. U ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
16 |
15
|
3impb |
|- ( ( U e. B /\ G e. dom U /\ A. v e. B ( -. U ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
17 |
16
|
3ad2ant3 |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
18 |
|
simp32 |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> G e. dom U ) |
19 |
|
eleq1 |
|- ( y = G -> ( y e. dom u <-> G e. dom u ) ) |
20 |
|
suceq |
|- ( y = G -> suc y = suc G ) |
21 |
20
|
reseq2d |
|- ( y = G -> ( u |` suc y ) = ( u |` suc G ) ) |
22 |
20
|
reseq2d |
|- ( y = G -> ( v |` suc y ) = ( v |` suc G ) ) |
23 |
21 22
|
eqeq12d |
|- ( y = G -> ( ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) <-> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) |
24 |
23
|
imbi2d |
|- ( y = G -> ( ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
25 |
24
|
ralbidv |
|- ( y = G -> ( A. v e. B ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
26 |
19 25
|
anbi12d |
|- ( y = G -> ( ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) ) |
27 |
26
|
rexbidv |
|- ( y = G -> ( E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) ) |
28 |
27
|
elabg |
|- ( G e. dom U -> ( G e. { y | E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } <-> E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) ) |
29 |
18 28
|
syl |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( G e. { y | E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } <-> E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) ) |
30 |
17 29
|
mpbird |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> G e. { y | E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } ) |
31 |
|
eleq1 |
|- ( g = G -> ( g e. dom u <-> G e. dom u ) ) |
32 |
|
suceq |
|- ( g = G -> suc g = suc G ) |
33 |
32
|
reseq2d |
|- ( g = G -> ( u |` suc g ) = ( u |` suc G ) ) |
34 |
32
|
reseq2d |
|- ( g = G -> ( v |` suc g ) = ( v |` suc G ) ) |
35 |
33 34
|
eqeq12d |
|- ( g = G -> ( ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) <-> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) |
36 |
35
|
imbi2d |
|- ( g = G -> ( ( -. u ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) <-> ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
37 |
36
|
ralbidv |
|- ( g = G -> ( A. v e. B ( -. u ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) <-> A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
38 |
|
fveqeq2 |
|- ( g = G -> ( ( u ` g ) = x <-> ( u ` G ) = x ) ) |
39 |
31 37 38
|
3anbi123d |
|- ( g = G -> ( ( g e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) <-> ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) ) |
40 |
39
|
rexbidv |
|- ( g = G -> ( E. u e. B ( g e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) <-> E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) ) |
41 |
40
|
iotabidv |
|- ( g = G -> ( iota x E. u e. B ( g e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) = ( iota x E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) ) |
42 |
|
eqid |
|- ( g e. { y | E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. B ( g e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) = ( g e. { y | E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. B ( g e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) |
43 |
|
iotaex |
|- ( iota x E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) e. _V |
44 |
41 42 43
|
fvmpt |
|- ( G e. { y | E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } -> ( ( g e. { y | E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. B ( g e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ` G ) = ( iota x E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) ) |
45 |
30 44
|
syl |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( ( g e. { y | E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. B ( g e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ` G ) = ( iota x E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) ) |
46 |
|
simp1 |
|- ( ( U e. B /\ G e. dom U /\ A. v e. B ( -. U ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> U e. B ) |
47 |
|
simp2 |
|- ( ( U e. B /\ G e. dom U /\ A. v e. B ( -. U ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> G e. dom U ) |
48 |
|
simp3 |
|- ( ( U e. B /\ G e. dom U /\ A. v e. B ( -. U ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> A. v e. B ( -. U ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) |
49 |
|
eqidd |
|- ( ( U e. B /\ G e. dom U /\ A. v e. B ( -. U ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> ( U ` G ) = ( U ` G ) ) |
50 |
|
fveq1 |
|- ( u = U -> ( u ` G ) = ( U ` G ) ) |
51 |
50
|
eqeq1d |
|- ( u = U -> ( ( u ` G ) = ( U ` G ) <-> ( U ` G ) = ( U ` G ) ) ) |
52 |
7 13 51
|
3anbi123d |
|- ( u = U -> ( ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) <-> ( G e. dom U /\ A. v e. B ( -. U ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( U ` G ) = ( U ` G ) ) ) ) |
53 |
52
|
rspcev |
|- ( ( U e. B /\ ( G e. dom U /\ A. v e. B ( -. U ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( U ` G ) = ( U ` G ) ) ) -> E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) ) |
54 |
46 47 48 49 53
|
syl13anc |
|- ( ( U e. B /\ G e. dom U /\ A. v e. B ( -. U ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) ) |
55 |
54
|
3ad2ant3 |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) ) |
56 |
|
fvex |
|- ( U ` G ) e. _V |
57 |
|
eqid |
|- ( u ` G ) = ( u ` G ) |
58 |
|
fvex |
|- ( u ` G ) e. _V |
59 |
|
eqeq2 |
|- ( x = ( u ` G ) -> ( ( u ` G ) = x <-> ( u ` G ) = ( u ` G ) ) ) |
60 |
59
|
3anbi3d |
|- ( x = ( u ` G ) -> ( ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) <-> ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( u ` G ) ) ) ) |
61 |
58 60
|
spcev |
|- ( ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( u ` G ) ) -> E. x ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
62 |
57 61
|
mp3an3 |
|- ( ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. x ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
63 |
62
|
reximi |
|- ( E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. u e. B E. x ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
64 |
|
rexcom4 |
|- ( E. u e. B E. x ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) <-> E. x E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
65 |
63 64
|
sylib |
|- ( E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. x E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
66 |
16 65
|
syl |
|- ( ( U e. B /\ G e. dom U /\ A. v e. B ( -. U ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. x E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
67 |
66
|
3ad2ant3 |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> E. x E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
68 |
|
simp2l |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> B C_ No ) |
69 |
|
noinfprefixmo |
|- ( B C_ No -> E* x E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
70 |
68 69
|
syl |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> E* x E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
71 |
|
df-eu |
|- ( E! x E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) <-> ( E. x E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) /\ E* x E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) ) |
72 |
67 70 71
|
sylanbrc |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> E! x E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
73 |
|
eqeq2 |
|- ( x = ( U ` G ) -> ( ( u ` G ) = x <-> ( u ` G ) = ( U ` G ) ) ) |
74 |
73
|
3anbi3d |
|- ( x = ( U ` G ) -> ( ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) <-> ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) ) ) |
75 |
74
|
rexbidv |
|- ( x = ( U ` G ) -> ( E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) <-> E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) ) ) |
76 |
75
|
iota2 |
|- ( ( ( U ` G ) e. _V /\ E! x E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) -> ( E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) <-> ( iota x E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) = ( U ` G ) ) ) |
77 |
56 72 76
|
sylancr |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) <-> ( iota x E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) = ( U ` G ) ) ) |
78 |
55 77
|
mpbid |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( iota x E. u e. B ( G e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) = ( U ` G ) ) |
79 |
5 45 78
|
3eqtrd |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( T ` G ) = ( U ` G ) ) |