Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pwfseqlem4.g |
|- ( ph -> G : ~P A -1-1-> U_ n e. _om ( A ^m n ) ) |
2 |
|
pwfseqlem4.x |
|- ( ph -> X C_ A ) |
3 |
|
pwfseqlem4.h |
|- ( ph -> H : _om -1-1-onto-> X ) |
4 |
|
pwfseqlem4.ps |
|- ( ps <-> ( ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) /\ _om ~<_ x ) ) |
5 |
|
pwfseqlem4.k |
|- ( ( ph /\ ps ) -> K : U_ n e. _om ( x ^m n ) -1-1-> x ) |
6 |
|
pwfseqlem4.d |
|- D = ( G ` { w e. x | ( ( `' K ` w ) e. ran G /\ -. w e. ( `' G ` ( `' K ` w ) ) ) } ) |
7 |
|
pwfseqlem4.f |
|- F = ( x e. _V , r e. _V |-> if ( x e. Fin , ( H ` ( card ` x ) ) , ( D ` |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } ) ) ) |
8 |
|
vex |
|- x e. _V |
9 |
|
vex |
|- r e. _V |
10 |
|
fvex |
|- ( H ` ( card ` x ) ) e. _V |
11 |
|
fvex |
|- ( D ` |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } ) e. _V |
12 |
10 11
|
ifex |
|- if ( x e. Fin , ( H ` ( card ` x ) ) , ( D ` |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } ) ) e. _V |
13 |
7
|
ovmpt4g |
|- ( ( x e. _V /\ r e. _V /\ if ( x e. Fin , ( H ` ( card ` x ) ) , ( D ` |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } ) ) e. _V ) -> ( x F r ) = if ( x e. Fin , ( H ` ( card ` x ) ) , ( D ` |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } ) ) ) |
14 |
8 9 12 13
|
mp3an |
|- ( x F r ) = if ( x e. Fin , ( H ` ( card ` x ) ) , ( D ` |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } ) ) |
15 |
4
|
simprbi |
|- ( ps -> _om ~<_ x ) |
16 |
15
|
adantl |
|- ( ( ph /\ ps ) -> _om ~<_ x ) |
17 |
|
domnsym |
|- ( _om ~<_ x -> -. x ~< _om ) |
18 |
16 17
|
syl |
|- ( ( ph /\ ps ) -> -. x ~< _om ) |
19 |
|
isfinite |
|- ( x e. Fin <-> x ~< _om ) |
20 |
18 19
|
sylnibr |
|- ( ( ph /\ ps ) -> -. x e. Fin ) |
21 |
20
|
iffalsed |
|- ( ( ph /\ ps ) -> if ( x e. Fin , ( H ` ( card ` x ) ) , ( D ` |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } ) ) = ( D ` |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } ) ) |
22 |
14 21
|
eqtrid |
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( x F r ) = ( D ` |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } ) ) |
23 |
1 2 3 4 5 6
|
pwfseqlem1 |
|- ( ( ph /\ ps ) -> D e. ( U_ n e. _om ( A ^m n ) \ U_ n e. _om ( x ^m n ) ) ) |
24 |
|
eldif |
|- ( D e. ( U_ n e. _om ( A ^m n ) \ U_ n e. _om ( x ^m n ) ) <-> ( D e. U_ n e. _om ( A ^m n ) /\ -. D e. U_ n e. _om ( x ^m n ) ) ) |
25 |
23 24
|
sylib |
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( D e. U_ n e. _om ( A ^m n ) /\ -. D e. U_ n e. _om ( x ^m n ) ) ) |
26 |
25
|
simpld |
|- ( ( ph /\ ps ) -> D e. U_ n e. _om ( A ^m n ) ) |
27 |
|
eliun |
|- ( D e. U_ n e. _om ( A ^m n ) <-> E. n e. _om D e. ( A ^m n ) ) |
28 |
26 27
|
sylib |
|- ( ( ph /\ ps ) -> E. n e. _om D e. ( A ^m n ) ) |
29 |
|
elmapi |
|- ( D e. ( A ^m n ) -> D : n --> A ) |
30 |
29
|
ad2antll |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> D : n --> A ) |
31 |
|
ssiun2 |
|- ( n e. _om -> ( x ^m n ) C_ U_ n e. _om ( x ^m n ) ) |
32 |
31
|
ad2antrl |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> ( x ^m n ) C_ U_ n e. _om ( x ^m n ) ) |
33 |
25
|
simprd |
|- ( ( ph /\ ps ) -> -. D e. U_ n e. _om ( x ^m n ) ) |
34 |
33
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> -. D e. U_ n e. _om ( x ^m n ) ) |
35 |
32 34
|
ssneldd |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> -. D e. ( x ^m n ) ) |
36 |
|
vex |
|- n e. _V |
37 |
8 36
|
elmap |
|- ( D e. ( x ^m n ) <-> D : n --> x ) |
38 |
|
ffn |
|- ( D : n --> A -> D Fn n ) |
39 |
|
ffnfv |
|- ( D : n --> x <-> ( D Fn n /\ A. z e. n ( D ` z ) e. x ) ) |
40 |
39
|
baib |
|- ( D Fn n -> ( D : n --> x <-> A. z e. n ( D ` z ) e. x ) ) |
41 |
30 38 40
|
3syl |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> ( D : n --> x <-> A. z e. n ( D ` z ) e. x ) ) |
42 |
37 41
|
syl5bb |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> ( D e. ( x ^m n ) <-> A. z e. n ( D ` z ) e. x ) ) |
43 |
35 42
|
mtbid |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> -. A. z e. n ( D ` z ) e. x ) |
44 |
|
nnon |
|- ( n e. _om -> n e. On ) |
45 |
44
|
ad2antrl |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> n e. On ) |
46 |
|
ssrab2 |
|- { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } C_ _om |
47 |
|
omsson |
|- _om C_ On |
48 |
46 47
|
sstri |
|- { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } C_ On |
49 |
|
ordom |
|- Ord _om |
50 |
|
simprl |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> n e. _om ) |
51 |
|
ordelss |
|- ( ( Ord _om /\ n e. _om ) -> n C_ _om ) |
52 |
49 50 51
|
sylancr |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> n C_ _om ) |
53 |
|
rexnal |
|- ( E. z e. n -. ( D ` z ) e. x <-> -. A. z e. n ( D ` z ) e. x ) |
54 |
43 53
|
sylibr |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> E. z e. n -. ( D ` z ) e. x ) |
55 |
|
ssrexv |
|- ( n C_ _om -> ( E. z e. n -. ( D ` z ) e. x -> E. z e. _om -. ( D ` z ) e. x ) ) |
56 |
52 54 55
|
sylc |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> E. z e. _om -. ( D ` z ) e. x ) |
57 |
|
rabn0 |
|- ( { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } =/= (/) <-> E. z e. _om -. ( D ` z ) e. x ) |
58 |
56 57
|
sylibr |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } =/= (/) ) |
59 |
|
onint |
|- ( ( { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } C_ On /\ { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } =/= (/) ) -> |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } e. { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } ) |
60 |
48 58 59
|
sylancr |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } e. { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } ) |
61 |
48 60
|
sselid |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } e. On ) |
62 |
|
ontri1 |
|- ( ( n e. On /\ |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } e. On ) -> ( n C_ |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } <-> -. |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } e. n ) ) |
63 |
45 61 62
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> ( n C_ |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } <-> -. |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } e. n ) ) |
64 |
|
ssintrab |
|- ( n C_ |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } <-> A. z e. _om ( -. ( D ` z ) e. x -> n C_ z ) ) |
65 |
|
nnon |
|- ( z e. _om -> z e. On ) |
66 |
|
ontri1 |
|- ( ( n e. On /\ z e. On ) -> ( n C_ z <-> -. z e. n ) ) |
67 |
44 65 66
|
syl2an |
|- ( ( n e. _om /\ z e. _om ) -> ( n C_ z <-> -. z e. n ) ) |
68 |
67
|
imbi2d |
|- ( ( n e. _om /\ z e. _om ) -> ( ( -. ( D ` z ) e. x -> n C_ z ) <-> ( -. ( D ` z ) e. x -> -. z e. n ) ) ) |
69 |
|
con34b |
|- ( ( z e. n -> ( D ` z ) e. x ) <-> ( -. ( D ` z ) e. x -> -. z e. n ) ) |
70 |
68 69
|
bitr4di |
|- ( ( n e. _om /\ z e. _om ) -> ( ( -. ( D ` z ) e. x -> n C_ z ) <-> ( z e. n -> ( D ` z ) e. x ) ) ) |
71 |
70
|
pm5.74da |
|- ( n e. _om -> ( ( z e. _om -> ( -. ( D ` z ) e. x -> n C_ z ) ) <-> ( z e. _om -> ( z e. n -> ( D ` z ) e. x ) ) ) ) |
72 |
|
bi2.04 |
|- ( ( z e. _om -> ( z e. n -> ( D ` z ) e. x ) ) <-> ( z e. n -> ( z e. _om -> ( D ` z ) e. x ) ) ) |
73 |
71 72
|
bitrdi |
|- ( n e. _om -> ( ( z e. _om -> ( -. ( D ` z ) e. x -> n C_ z ) ) <-> ( z e. n -> ( z e. _om -> ( D ` z ) e. x ) ) ) ) |
74 |
|
elnn |
|- ( ( z e. n /\ n e. _om ) -> z e. _om ) |
75 |
|
pm2.27 |
|- ( z e. _om -> ( ( z e. _om -> ( D ` z ) e. x ) -> ( D ` z ) e. x ) ) |
76 |
74 75
|
syl |
|- ( ( z e. n /\ n e. _om ) -> ( ( z e. _om -> ( D ` z ) e. x ) -> ( D ` z ) e. x ) ) |
77 |
76
|
expcom |
|- ( n e. _om -> ( z e. n -> ( ( z e. _om -> ( D ` z ) e. x ) -> ( D ` z ) e. x ) ) ) |
78 |
77
|
a2d |
|- ( n e. _om -> ( ( z e. n -> ( z e. _om -> ( D ` z ) e. x ) ) -> ( z e. n -> ( D ` z ) e. x ) ) ) |
79 |
73 78
|
sylbid |
|- ( n e. _om -> ( ( z e. _om -> ( -. ( D ` z ) e. x -> n C_ z ) ) -> ( z e. n -> ( D ` z ) e. x ) ) ) |
80 |
79
|
ad2antrl |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> ( ( z e. _om -> ( -. ( D ` z ) e. x -> n C_ z ) ) -> ( z e. n -> ( D ` z ) e. x ) ) ) |
81 |
80
|
ralimdv2 |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> ( A. z e. _om ( -. ( D ` z ) e. x -> n C_ z ) -> A. z e. n ( D ` z ) e. x ) ) |
82 |
64 81
|
syl5bi |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> ( n C_ |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } -> A. z e. n ( D ` z ) e. x ) ) |
83 |
63 82
|
sylbird |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> ( -. |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } e. n -> A. z e. n ( D ` z ) e. x ) ) |
84 |
43 83
|
mt3d |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } e. n ) |
85 |
30 84
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> ( D ` |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } ) e. A ) |
86 |
|
fveq2 |
|- ( y = |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } -> ( D ` y ) = ( D ` |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } ) ) |
87 |
86
|
eleq1d |
|- ( y = |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } -> ( ( D ` y ) e. x <-> ( D ` |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } ) e. x ) ) |
88 |
87
|
notbid |
|- ( y = |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } -> ( -. ( D ` y ) e. x <-> -. ( D ` |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } ) e. x ) ) |
89 |
|
fveq2 |
|- ( z = y -> ( D ` z ) = ( D ` y ) ) |
90 |
89
|
eleq1d |
|- ( z = y -> ( ( D ` z ) e. x <-> ( D ` y ) e. x ) ) |
91 |
90
|
notbid |
|- ( z = y -> ( -. ( D ` z ) e. x <-> -. ( D ` y ) e. x ) ) |
92 |
91
|
cbvrabv |
|- { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } = { y e. _om | -. ( D ` y ) e. x } |
93 |
88 92
|
elrab2 |
|- ( |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } e. { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } <-> ( |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } e. _om /\ -. ( D ` |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } ) e. x ) ) |
94 |
93
|
simprbi |
|- ( |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } e. { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } -> -. ( D ` |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } ) e. x ) |
95 |
60 94
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> -. ( D ` |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } ) e. x ) |
96 |
85 95
|
eldifd |
|- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( n e. _om /\ D e. ( A ^m n ) ) ) -> ( D ` |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } ) e. ( A \ x ) ) |
97 |
28 96
|
rexlimddv |
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( D ` |^| { z e. _om | -. ( D ` z ) e. x } ) e. ( A \ x ) ) |
98 |
22 97
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( x F r ) e. ( A \ x ) ) |