Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
subgga.1 |
|- X = ( Base ` G ) |
2 |
|
subgga.2 |
|- .+ = ( +g ` G ) |
3 |
|
subgga.3 |
|- H = ( G |`s Y ) |
4 |
|
subgga.4 |
|- F = ( x e. Y , y e. X |-> ( x .+ y ) ) |
5 |
3
|
subggrp |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> H e. Grp ) |
6 |
1
|
fvexi |
|- X e. _V |
7 |
5 6
|
jctir |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> ( H e. Grp /\ X e. _V ) ) |
8 |
|
subgrcl |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> G e. Grp ) |
9 |
8
|
adantr |
|- ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ ( x e. Y /\ y e. X ) ) -> G e. Grp ) |
10 |
1
|
subgss |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> Y C_ X ) |
11 |
10
|
sselda |
|- ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ x e. Y ) -> x e. X ) |
12 |
11
|
adantrr |
|- ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ ( x e. Y /\ y e. X ) ) -> x e. X ) |
13 |
|
simprr |
|- ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ ( x e. Y /\ y e. X ) ) -> y e. X ) |
14 |
1 2
|
grpcl |
|- ( ( G e. Grp /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x .+ y ) e. X ) |
15 |
9 12 13 14
|
syl3anc |
|- ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ ( x e. Y /\ y e. X ) ) -> ( x .+ y ) e. X ) |
16 |
15
|
ralrimivva |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> A. x e. Y A. y e. X ( x .+ y ) e. X ) |
17 |
4
|
fmpo |
|- ( A. x e. Y A. y e. X ( x .+ y ) e. X <-> F : ( Y X. X ) --> X ) |
18 |
16 17
|
sylib |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> F : ( Y X. X ) --> X ) |
19 |
3
|
subgbas |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> Y = ( Base ` H ) ) |
20 |
19
|
xpeq1d |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> ( Y X. X ) = ( ( Base ` H ) X. X ) ) |
21 |
20
|
feq2d |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> ( F : ( Y X. X ) --> X <-> F : ( ( Base ` H ) X. X ) --> X ) ) |
22 |
18 21
|
mpbid |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> F : ( ( Base ` H ) X. X ) --> X ) |
23 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
24 |
23
|
subg0cl |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. Y ) |
25 |
|
oveq12 |
|- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = u ) -> ( x .+ y ) = ( ( 0g ` G ) .+ u ) ) |
26 |
|
ovex |
|- ( ( 0g ` G ) .+ u ) e. _V |
27 |
25 4 26
|
ovmpoa |
|- ( ( ( 0g ` G ) e. Y /\ u e. X ) -> ( ( 0g ` G ) F u ) = ( ( 0g ` G ) .+ u ) ) |
28 |
24 27
|
sylan |
|- ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) -> ( ( 0g ` G ) F u ) = ( ( 0g ` G ) .+ u ) ) |
29 |
3 23
|
subg0 |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) ) |
30 |
29
|
oveq1d |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> ( ( 0g ` G ) F u ) = ( ( 0g ` H ) F u ) ) |
31 |
30
|
adantr |
|- ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) -> ( ( 0g ` G ) F u ) = ( ( 0g ` H ) F u ) ) |
32 |
1 2 23
|
grplid |
|- ( ( G e. Grp /\ u e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u ) |
33 |
8 32
|
sylan |
|- ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u ) |
34 |
28 31 33
|
3eqtr3d |
|- ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) -> ( ( 0g ` H ) F u ) = u ) |
35 |
8
|
ad2antrr |
|- ( ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> G e. Grp ) |
36 |
10
|
ad2antrr |
|- ( ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> Y C_ X ) |
37 |
|
simprl |
|- ( ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> v e. Y ) |
38 |
36 37
|
sseldd |
|- ( ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> v e. X ) |
39 |
|
simprr |
|- ( ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> w e. Y ) |
40 |
36 39
|
sseldd |
|- ( ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> w e. X ) |
41 |
|
simplr |
|- ( ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> u e. X ) |
42 |
1 2
|
grpass |
|- ( ( G e. Grp /\ ( v e. X /\ w e. X /\ u e. X ) ) -> ( ( v .+ w ) .+ u ) = ( v .+ ( w .+ u ) ) ) |
43 |
35 38 40 41 42
|
syl13anc |
|- ( ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( v .+ w ) .+ u ) = ( v .+ ( w .+ u ) ) ) |
44 |
1 2
|
grpcl |
|- ( ( G e. Grp /\ w e. X /\ u e. X ) -> ( w .+ u ) e. X ) |
45 |
35 40 41 44
|
syl3anc |
|- ( ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( w .+ u ) e. X ) |
46 |
|
oveq12 |
|- ( ( x = v /\ y = ( w .+ u ) ) -> ( x .+ y ) = ( v .+ ( w .+ u ) ) ) |
47 |
|
ovex |
|- ( v .+ ( w .+ u ) ) e. _V |
48 |
46 4 47
|
ovmpoa |
|- ( ( v e. Y /\ ( w .+ u ) e. X ) -> ( v F ( w .+ u ) ) = ( v .+ ( w .+ u ) ) ) |
49 |
37 45 48
|
syl2anc |
|- ( ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( v F ( w .+ u ) ) = ( v .+ ( w .+ u ) ) ) |
50 |
43 49
|
eqtr4d |
|- ( ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( v .+ w ) .+ u ) = ( v F ( w .+ u ) ) ) |
51 |
2
|
subgcl |
|- ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ v e. Y /\ w e. Y ) -> ( v .+ w ) e. Y ) |
52 |
51
|
3expb |
|- ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( v .+ w ) e. Y ) |
53 |
52
|
adantlr |
|- ( ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( v .+ w ) e. Y ) |
54 |
|
oveq12 |
|- ( ( x = ( v .+ w ) /\ y = u ) -> ( x .+ y ) = ( ( v .+ w ) .+ u ) ) |
55 |
|
ovex |
|- ( ( v .+ w ) .+ u ) e. _V |
56 |
54 4 55
|
ovmpoa |
|- ( ( ( v .+ w ) e. Y /\ u e. X ) -> ( ( v .+ w ) F u ) = ( ( v .+ w ) .+ u ) ) |
57 |
53 41 56
|
syl2anc |
|- ( ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( v .+ w ) F u ) = ( ( v .+ w ) .+ u ) ) |
58 |
|
oveq12 |
|- ( ( x = w /\ y = u ) -> ( x .+ y ) = ( w .+ u ) ) |
59 |
|
ovex |
|- ( w .+ u ) e. _V |
60 |
58 4 59
|
ovmpoa |
|- ( ( w e. Y /\ u e. X ) -> ( w F u ) = ( w .+ u ) ) |
61 |
39 41 60
|
syl2anc |
|- ( ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( w F u ) = ( w .+ u ) ) |
62 |
61
|
oveq2d |
|- ( ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( v F ( w F u ) ) = ( v F ( w .+ u ) ) ) |
63 |
50 57 62
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( v .+ w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) ) |
64 |
63
|
ralrimivva |
|- ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) -> A. v e. Y A. w e. Y ( ( v .+ w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) ) |
65 |
3 2
|
ressplusg |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> .+ = ( +g ` H ) ) |
66 |
65
|
oveqd |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> ( v .+ w ) = ( v ( +g ` H ) w ) ) |
67 |
66
|
oveq1d |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> ( ( v .+ w ) F u ) = ( ( v ( +g ` H ) w ) F u ) ) |
68 |
67
|
eqeq1d |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> ( ( ( v .+ w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) <-> ( ( v ( +g ` H ) w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) ) ) |
69 |
19 68
|
raleqbidv |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> ( A. w e. Y ( ( v .+ w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) <-> A. w e. ( Base ` H ) ( ( v ( +g ` H ) w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) ) ) |
70 |
19 69
|
raleqbidv |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> ( A. v e. Y A. w e. Y ( ( v .+ w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) <-> A. v e. ( Base ` H ) A. w e. ( Base ` H ) ( ( v ( +g ` H ) w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) ) ) |
71 |
70
|
biimpa |
|- ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ A. v e. Y A. w e. Y ( ( v .+ w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) ) -> A. v e. ( Base ` H ) A. w e. ( Base ` H ) ( ( v ( +g ` H ) w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) ) |
72 |
64 71
|
syldan |
|- ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) -> A. v e. ( Base ` H ) A. w e. ( Base ` H ) ( ( v ( +g ` H ) w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) ) |
73 |
34 72
|
jca |
|- ( ( Y e. ( SubGrp ` G ) /\ u e. X ) -> ( ( ( 0g ` H ) F u ) = u /\ A. v e. ( Base ` H ) A. w e. ( Base ` H ) ( ( v ( +g ` H ) w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) ) ) |
74 |
73
|
ralrimiva |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> A. u e. X ( ( ( 0g ` H ) F u ) = u /\ A. v e. ( Base ` H ) A. w e. ( Base ` H ) ( ( v ( +g ` H ) w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) ) ) |
75 |
22 74
|
jca |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> ( F : ( ( Base ` H ) X. X ) --> X /\ A. u e. X ( ( ( 0g ` H ) F u ) = u /\ A. v e. ( Base ` H ) A. w e. ( Base ` H ) ( ( v ( +g ` H ) w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) ) ) ) |
76 |
|
eqid |
|- ( Base ` H ) = ( Base ` H ) |
77 |
|
eqid |
|- ( +g ` H ) = ( +g ` H ) |
78 |
|
eqid |
|- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H ) |
79 |
76 77 78
|
isga |
|- ( F e. ( H GrpAct X ) <-> ( ( H e. Grp /\ X e. _V ) /\ ( F : ( ( Base ` H ) X. X ) --> X /\ A. u e. X ( ( ( 0g ` H ) F u ) = u /\ A. v e. ( Base ` H ) A. w e. ( Base ` H ) ( ( v ( +g ` H ) w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) ) ) ) ) |
80 |
7 75 79
|
sylanbrc |
|- ( Y e. ( SubGrp ` G ) -> F e. ( H GrpAct X ) ) |