Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
gass.1 |
|- X = ( Base ` G ) |
2 |
|
ovres |
|- ( ( x e. X /\ y e. Z ) -> ( x ( .(+) |` ( X X. Z ) ) y ) = ( x .(+) y ) ) |
3 |
2
|
adantl |
|- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ ( .(+) |` ( X X. Z ) ) e. ( G GrpAct Z ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Z ) ) -> ( x ( .(+) |` ( X X. Z ) ) y ) = ( x .(+) y ) ) |
4 |
1
|
gaf |
|- ( ( .(+) |` ( X X. Z ) ) e. ( G GrpAct Z ) -> ( .(+) |` ( X X. Z ) ) : ( X X. Z ) --> Z ) |
5 |
4
|
adantl |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ ( .(+) |` ( X X. Z ) ) e. ( G GrpAct Z ) ) -> ( .(+) |` ( X X. Z ) ) : ( X X. Z ) --> Z ) |
6 |
5
|
fovrnda |
|- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ ( .(+) |` ( X X. Z ) ) e. ( G GrpAct Z ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Z ) ) -> ( x ( .(+) |` ( X X. Z ) ) y ) e. Z ) |
7 |
3 6
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ ( .(+) |` ( X X. Z ) ) e. ( G GrpAct Z ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Z ) ) -> ( x .(+) y ) e. Z ) |
8 |
7
|
ralrimivva |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ ( .(+) |` ( X X. Z ) ) e. ( G GrpAct Z ) ) -> A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) |
9 |
|
gagrp |
|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> G e. Grp ) |
10 |
9
|
ad2antrr |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> G e. Grp ) |
11 |
|
gaset |
|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> Y e. _V ) |
12 |
11
|
adantr |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) -> Y e. _V ) |
13 |
|
simpr |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) -> Z C_ Y ) |
14 |
12 13
|
ssexd |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) -> Z e. _V ) |
15 |
14
|
adantr |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> Z e. _V ) |
16 |
10 15
|
jca |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> ( G e. Grp /\ Z e. _V ) ) |
17 |
1
|
gaf |
|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y ) |
18 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y ) |
19 |
18
|
ffnd |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> .(+) Fn ( X X. Y ) ) |
20 |
|
simplr |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> Z C_ Y ) |
21 |
|
xpss2 |
|- ( Z C_ Y -> ( X X. Z ) C_ ( X X. Y ) ) |
22 |
20 21
|
syl |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> ( X X. Z ) C_ ( X X. Y ) ) |
23 |
|
fnssres |
|- ( ( .(+) Fn ( X X. Y ) /\ ( X X. Z ) C_ ( X X. Y ) ) -> ( .(+) |` ( X X. Z ) ) Fn ( X X. Z ) ) |
24 |
19 22 23
|
syl2anc |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> ( .(+) |` ( X X. Z ) ) Fn ( X X. Z ) ) |
25 |
|
simpr |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) |
26 |
2
|
eleq1d |
|- ( ( x e. X /\ y e. Z ) -> ( ( x ( .(+) |` ( X X. Z ) ) y ) e. Z <-> ( x .(+) y ) e. Z ) ) |
27 |
26
|
ralbidva |
|- ( x e. X -> ( A. y e. Z ( x ( .(+) |` ( X X. Z ) ) y ) e. Z <-> A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) ) |
28 |
27
|
ralbiia |
|- ( A. x e. X A. y e. Z ( x ( .(+) |` ( X X. Z ) ) y ) e. Z <-> A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) |
29 |
25 28
|
sylibr |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> A. x e. X A. y e. Z ( x ( .(+) |` ( X X. Z ) ) y ) e. Z ) |
30 |
|
ffnov |
|- ( ( .(+) |` ( X X. Z ) ) : ( X X. Z ) --> Z <-> ( ( .(+) |` ( X X. Z ) ) Fn ( X X. Z ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x ( .(+) |` ( X X. Z ) ) y ) e. Z ) ) |
31 |
24 29 30
|
sylanbrc |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> ( .(+) |` ( X X. Z ) ) : ( X X. Z ) --> Z ) |
32 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
33 |
1 32
|
grpidcl |
|- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. X ) |
34 |
10 33
|
syl |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> ( 0g ` G ) e. X ) |
35 |
|
ovres |
|- ( ( ( 0g ` G ) e. X /\ z e. Z ) -> ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( ( 0g ` G ) .(+) z ) ) |
36 |
34 35
|
sylan |
|- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) -> ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( ( 0g ` G ) .(+) z ) ) |
37 |
|
simpll |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) ) |
38 |
20
|
sselda |
|- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) -> z e. Y ) |
39 |
32
|
gagrpid |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ z e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) z ) = z ) |
40 |
37 38 39
|
syl2an2r |
|- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) z ) = z ) |
41 |
36 40
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) -> ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = z ) |
42 |
37
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) ) |
43 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> u e. X ) |
44 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> v e. X ) |
45 |
38
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> z e. Y ) |
46 |
|
eqid |
|- ( +g ` G ) = ( +g ` G ) |
47 |
1 46
|
gaass |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( u e. X /\ v e. X /\ z e. Y ) ) -> ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( u .(+) ( v .(+) z ) ) ) |
48 |
42 43 44 45 47
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( u .(+) ( v .(+) z ) ) ) |
49 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> z e. Z ) |
50 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) |
51 |
|
ovrspc2v |
|- ( ( ( v e. X /\ z e. Z ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> ( v .(+) z ) e. Z ) |
52 |
44 49 50 51
|
syl21anc |
|- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( v .(+) z ) e. Z ) |
53 |
|
ovres |
|- ( ( u e. X /\ ( v .(+) z ) e. Z ) -> ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v .(+) z ) ) = ( u .(+) ( v .(+) z ) ) ) |
54 |
43 52 53
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v .(+) z ) ) = ( u .(+) ( v .(+) z ) ) ) |
55 |
48 54
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) = ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v .(+) z ) ) ) |
56 |
10
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> G e. Grp ) |
57 |
1 46
|
grpcl |
|- ( ( G e. Grp /\ u e. X /\ v e. X ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. X ) |
58 |
56 43 44 57
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. X ) |
59 |
|
ovres |
|- ( ( ( u ( +g ` G ) v ) e. X /\ z e. Z ) -> ( ( u ( +g ` G ) v ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) ) |
60 |
58 49 59
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( u ( +g ` G ) v ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( ( u ( +g ` G ) v ) .(+) z ) ) |
61 |
|
ovres |
|- ( ( v e. X /\ z e. Z ) -> ( v ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( v .(+) z ) ) |
62 |
44 49 61
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( v ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( v .(+) z ) ) |
63 |
62
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) ) = ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v .(+) z ) ) ) |
64 |
55 60 63
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) /\ ( u e. X /\ v e. X ) ) -> ( ( u ( +g ` G ) v ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) ) ) |
65 |
64
|
ralrimivva |
|- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) -> A. u e. X A. v e. X ( ( u ( +g ` G ) v ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) ) ) |
66 |
41 65
|
jca |
|- ( ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) /\ z e. Z ) -> ( ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = z /\ A. u e. X A. v e. X ( ( u ( +g ` G ) v ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) ) ) ) |
67 |
66
|
ralrimiva |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> A. z e. Z ( ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = z /\ A. u e. X A. v e. X ( ( u ( +g ` G ) v ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) ) ) ) |
68 |
31 67
|
jca |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> ( ( .(+) |` ( X X. Z ) ) : ( X X. Z ) --> Z /\ A. z e. Z ( ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = z /\ A. u e. X A. v e. X ( ( u ( +g ` G ) v ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) ) ) ) ) |
69 |
1 46 32
|
isga |
|- ( ( .(+) |` ( X X. Z ) ) e. ( G GrpAct Z ) <-> ( ( G e. Grp /\ Z e. _V ) /\ ( ( .(+) |` ( X X. Z ) ) : ( X X. Z ) --> Z /\ A. z e. Z ( ( ( 0g ` G ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = z /\ A. u e. X A. v e. X ( ( u ( +g ` G ) v ) ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) = ( u ( .(+) |` ( X X. Z ) ) ( v ( .(+) |` ( X X. Z ) ) z ) ) ) ) ) ) |
70 |
16 68 69
|
sylanbrc |
|- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) /\ A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) -> ( .(+) |` ( X X. Z ) ) e. ( G GrpAct Z ) ) |
71 |
8 70
|
impbida |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ Z C_ Y ) -> ( ( .(+) |` ( X X. Z ) ) e. ( G GrpAct Z ) <-> A. x e. X A. y e. Z ( x .(+) y ) e. Z ) ) |