Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
submateq.a |
|- A = ( ( 1 ... N ) Mat R ) |
2 |
|
submateq.b |
|- B = ( Base ` A ) |
3 |
|
submateq.n |
|- ( ph -> N e. NN ) |
4 |
|
submateq.i |
|- ( ph -> I e. ( 1 ... N ) ) |
5 |
|
submateq.j |
|- ( ph -> J e. ( 1 ... N ) ) |
6 |
|
submateq.e |
|- ( ph -> E e. B ) |
7 |
|
submateq.f |
|- ( ph -> F e. B ) |
8 |
|
submateq.1 |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( i E j ) = ( i F j ) ) |
9 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) |
10 |
3
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> N e. NN ) |
11 |
4
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> I e. ( 1 ... N ) ) |
12 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) |
13 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> I <_ x ) |
14 |
10 11 12 13
|
submateqlem1 |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> ( x e. ( I ... N ) /\ ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) ) |
15 |
14
|
simprd |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) |
16 |
9 15
|
syldanl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) -> ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) |
17 |
16
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) |
18 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) |
19 |
3
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> N e. NN ) |
20 |
5
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> J e. ( 1 ... N ) ) |
21 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) |
22 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> J <_ y ) |
23 |
19 20 21 22
|
submateqlem1 |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> ( y e. ( J ... N ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) |
24 |
23
|
simprd |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) |
25 |
18 24
|
syldanl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ J <_ y ) -> ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) |
26 |
25
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) |
27 |
17 26
|
jca |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) |
28 |
|
ovexd |
|- ( ph -> ( x + 1 ) e. _V ) |
29 |
|
ovexd |
|- ( ph -> ( y + 1 ) e. _V ) |
30 |
|
simpl |
|- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> i = ( x + 1 ) ) |
31 |
30
|
eleq1d |
|- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) <-> ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) ) |
32 |
|
simpr |
|- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> j = ( y + 1 ) ) |
33 |
32
|
eleq1d |
|- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) <-> ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) |
34 |
31 33
|
anbi12d |
|- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) <-> ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) ) |
35 |
|
oveq12 |
|- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( i E j ) = ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) ) |
36 |
|
oveq12 |
|- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( i F j ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) ) |
37 |
35 36
|
eqeq12d |
|- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( ( i E j ) = ( i F j ) <-> ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) ) ) |
38 |
34 37
|
imbi12d |
|- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( i E j ) = ( i F j ) ) <-> ( ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) ) ) ) |
39 |
8
|
3expib |
|- ( ph -> ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( i E j ) = ( i F j ) ) ) |
40 |
28 29 38 39
|
vtocl2d |
|- ( ph -> ( ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) ) ) |
41 |
40
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) ) ) |
42 |
27 41
|
mpd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) ) |
43 |
|
eqid |
|- ( I ( subMat1 ` E ) J ) = ( I ( subMat1 ` E ) J ) |
44 |
3
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> N e. NN ) |
45 |
4
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> I e. ( 1 ... N ) ) |
46 |
5
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> J e. ( 1 ... N ) ) |
47 |
|
eqid |
|- ( Base ` R ) = ( Base ` R ) |
48 |
1 47 2
|
matbas2i |
|- ( E e. B -> E e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) ) |
49 |
6 48
|
syl |
|- ( ph -> E e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) ) |
50 |
49
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> E e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) ) |
51 |
14
|
simpld |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> x e. ( I ... N ) ) |
52 |
9 51
|
syldanl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) -> x e. ( I ... N ) ) |
53 |
52
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> x e. ( I ... N ) ) |
54 |
23
|
simpld |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> y e. ( J ... N ) ) |
55 |
18 54
|
syldanl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ J <_ y ) -> y e. ( J ... N ) ) |
56 |
55
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> y e. ( J ... N ) ) |
57 |
43 44 44 45 46 50 53 56
|
smatbr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) ) |
58 |
|
eqid |
|- ( I ( subMat1 ` F ) J ) = ( I ( subMat1 ` F ) J ) |
59 |
1 47 2
|
matbas2i |
|- ( F e. B -> F e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) ) |
60 |
7 59
|
syl |
|- ( ph -> F e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) ) |
61 |
60
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> F e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) ) |
62 |
58 44 44 45 46 61 53 56
|
smatbr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) ) |
63 |
42 57 62
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) ) |
64 |
16
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) |
65 |
3
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> N e. NN ) |
66 |
5
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> J e. ( 1 ... N ) ) |
67 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) |
68 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> y < J ) |
69 |
65 66 67 68
|
submateqlem2 |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> ( y e. ( 1 ..^ J ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) |
70 |
69
|
simprd |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) |
71 |
18 70
|
syldanl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ y < J ) -> y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) |
72 |
71
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) |
73 |
64 72
|
jca |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) |
74 |
|
vex |
|- y e. _V |
75 |
74
|
a1i |
|- ( ph -> y e. _V ) |
76 |
|
simpl |
|- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> i = ( x + 1 ) ) |
77 |
76
|
eleq1d |
|- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) <-> ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) ) |
78 |
|
simpr |
|- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> j = y ) |
79 |
|
eqidd |
|- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( ( 1 ... N ) \ { J } ) = ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) |
80 |
78 79
|
eleq12d |
|- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) <-> y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) |
81 |
77 80
|
anbi12d |
|- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) <-> ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) ) |
82 |
|
oveq12 |
|- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( i E j ) = ( ( x + 1 ) E y ) ) |
83 |
|
oveq12 |
|- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( i F j ) = ( ( x + 1 ) F y ) ) |
84 |
82 83
|
eqeq12d |
|- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( ( i E j ) = ( i F j ) <-> ( ( x + 1 ) E y ) = ( ( x + 1 ) F y ) ) ) |
85 |
81 84
|
imbi12d |
|- ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( i E j ) = ( i F j ) ) <-> ( ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( ( x + 1 ) E y ) = ( ( x + 1 ) F y ) ) ) ) |
86 |
28 75 85 39
|
vtocl2d |
|- ( ph -> ( ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( ( x + 1 ) E y ) = ( ( x + 1 ) F y ) ) ) |
87 |
86
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( ( x + 1 ) E y ) = ( ( x + 1 ) F y ) ) ) |
88 |
73 87
|
mpd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( ( x + 1 ) E y ) = ( ( x + 1 ) F y ) ) |
89 |
3
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> N e. NN ) |
90 |
4
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> I e. ( 1 ... N ) ) |
91 |
5
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> J e. ( 1 ... N ) ) |
92 |
49
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> E e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) ) |
93 |
52
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> x e. ( I ... N ) ) |
94 |
69
|
simpld |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> y e. ( 1 ..^ J ) ) |
95 |
18 94
|
syldanl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ y < J ) -> y e. ( 1 ..^ J ) ) |
96 |
95
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> y e. ( 1 ..^ J ) ) |
97 |
43 89 89 90 91 92 93 96
|
smattr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( ( x + 1 ) E y ) ) |
98 |
60
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> F e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) ) |
99 |
58 89 89 90 91 98 93 96
|
smattr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) = ( ( x + 1 ) F y ) ) |
100 |
88 97 99
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) ) |
101 |
|
fz1ssnn |
|- ( 1 ... N ) C_ NN |
102 |
101 5
|
sselid |
|- ( ph -> J e. NN ) |
103 |
102
|
nnred |
|- ( ph -> J e. RR ) |
104 |
103
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> J e. RR ) |
105 |
|
fz1ssnn |
|- ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ NN |
106 |
105 18
|
sselid |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> y e. NN ) |
107 |
106
|
nnred |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> y e. RR ) |
108 |
|
lelttric |
|- ( ( J e. RR /\ y e. RR ) -> ( J <_ y \/ y < J ) ) |
109 |
104 107 108
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> ( J <_ y \/ y < J ) ) |
110 |
109
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) -> ( J <_ y \/ y < J ) ) |
111 |
63 100 110
|
mpjaodan |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) ) |
112 |
3
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> N e. NN ) |
113 |
4
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> I e. ( 1 ... N ) ) |
114 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) |
115 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> x < I ) |
116 |
112 113 114 115
|
submateqlem2 |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> ( x e. ( 1 ..^ I ) /\ x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) ) |
117 |
116
|
simprd |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) |
118 |
9 117
|
syldanl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) -> x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) |
119 |
118
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) |
120 |
25
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) |
121 |
119 120
|
jca |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) |
122 |
|
vex |
|- x e. _V |
123 |
122
|
a1i |
|- ( ph -> x e. _V ) |
124 |
|
simpl |
|- ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> i = x ) |
125 |
124
|
eleq1d |
|- ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) <-> x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) ) |
126 |
|
simpr |
|- ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> j = ( y + 1 ) ) |
127 |
126
|
eleq1d |
|- ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) <-> ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) |
128 |
125 127
|
anbi12d |
|- ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) <-> ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) ) |
129 |
|
oveq12 |
|- ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( i E j ) = ( x E ( y + 1 ) ) ) |
130 |
|
oveq12 |
|- ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( i F j ) = ( x F ( y + 1 ) ) ) |
131 |
129 130
|
eqeq12d |
|- ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( ( i E j ) = ( i F j ) <-> ( x E ( y + 1 ) ) = ( x F ( y + 1 ) ) ) ) |
132 |
128 131
|
imbi12d |
|- ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( i E j ) = ( i F j ) ) <-> ( ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( x E ( y + 1 ) ) = ( x F ( y + 1 ) ) ) ) ) |
133 |
123 29 132 39
|
vtocl2d |
|- ( ph -> ( ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( x E ( y + 1 ) ) = ( x F ( y + 1 ) ) ) ) |
134 |
133
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( x E ( y + 1 ) ) = ( x F ( y + 1 ) ) ) ) |
135 |
121 134
|
mpd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( x E ( y + 1 ) ) = ( x F ( y + 1 ) ) ) |
136 |
3
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> N e. NN ) |
137 |
4
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> I e. ( 1 ... N ) ) |
138 |
5
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> J e. ( 1 ... N ) ) |
139 |
49
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> E e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) ) |
140 |
116
|
simpld |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> x e. ( 1 ..^ I ) ) |
141 |
9 140
|
syldanl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) -> x e. ( 1 ..^ I ) ) |
142 |
141
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> x e. ( 1 ..^ I ) ) |
143 |
55
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> y e. ( J ... N ) ) |
144 |
43 136 136 137 138 139 142 143
|
smatbl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x E ( y + 1 ) ) ) |
145 |
60
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> F e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) ) |
146 |
58 136 136 137 138 145 142 143
|
smatbl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) = ( x F ( y + 1 ) ) ) |
147 |
135 144 146
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) ) |
148 |
118
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) |
149 |
71
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) |
150 |
148 149
|
jca |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) |
151 |
|
simpl |
|- ( ( i = x /\ j = y ) -> i = x ) |
152 |
151
|
eleq1d |
|- ( ( i = x /\ j = y ) -> ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) <-> x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) ) |
153 |
|
simpr |
|- ( ( i = x /\ j = y ) -> j = y ) |
154 |
153
|
eleq1d |
|- ( ( i = x /\ j = y ) -> ( j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) <-> y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) |
155 |
152 154
|
anbi12d |
|- ( ( i = x /\ j = y ) -> ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) <-> ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) ) |
156 |
|
oveq12 |
|- ( ( i = x /\ j = y ) -> ( i E j ) = ( x E y ) ) |
157 |
|
oveq12 |
|- ( ( i = x /\ j = y ) -> ( i F j ) = ( x F y ) ) |
158 |
156 157
|
eqeq12d |
|- ( ( i = x /\ j = y ) -> ( ( i E j ) = ( i F j ) <-> ( x E y ) = ( x F y ) ) ) |
159 |
155 158
|
imbi12d |
|- ( ( i = x /\ j = y ) -> ( ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( i E j ) = ( i F j ) ) <-> ( ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( x E y ) = ( x F y ) ) ) ) |
160 |
123 75 159 39
|
vtocl2d |
|- ( ph -> ( ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( x E y ) = ( x F y ) ) ) |
161 |
160
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> ( ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( x E y ) = ( x F y ) ) ) |
162 |
150 161
|
mpd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> ( x E y ) = ( x F y ) ) |
163 |
3
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> N e. NN ) |
164 |
4
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> I e. ( 1 ... N ) ) |
165 |
5
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> J e. ( 1 ... N ) ) |
166 |
49
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> E e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) ) |
167 |
141
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> x e. ( 1 ..^ I ) ) |
168 |
95
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> y e. ( 1 ..^ J ) ) |
169 |
43 163 163 164 165 166 167 168
|
smattl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x E y ) ) |
170 |
60
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> F e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) ) |
171 |
58 163 163 164 165 170 167 168
|
smattl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) = ( x F y ) ) |
172 |
162 169 171
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) ) |
173 |
109
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) -> ( J <_ y \/ y < J ) ) |
174 |
147 172 173
|
mpjaodan |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) ) |
175 |
101 4
|
sselid |
|- ( ph -> I e. NN ) |
176 |
175
|
nnred |
|- ( ph -> I e. RR ) |
177 |
176
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> I e. RR ) |
178 |
105 9
|
sselid |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> x e. NN ) |
179 |
178
|
nnred |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> x e. RR ) |
180 |
|
lelttric |
|- ( ( I e. RR /\ x e. RR ) -> ( I <_ x \/ x < I ) ) |
181 |
177 179 180
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> ( I <_ x \/ x < I ) ) |
182 |
111 174 181
|
mpjaodan |
|- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) ) |
183 |
182
|
ralrimivva |
|- ( ph -> A. x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) A. y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) ) |
184 |
|
eqid |
|- ( Base ` ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) ) = ( Base ` ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) ) |
185 |
1 2 184 43 3 4 5 6
|
smatcl |
|- ( ph -> ( I ( subMat1 ` E ) J ) e. ( Base ` ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) ) ) |
186 |
1 2 184 58 3 4 5 7
|
smatcl |
|- ( ph -> ( I ( subMat1 ` F ) J ) e. ( Base ` ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) ) ) |
187 |
|
eqid |
|- ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) = ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) |
188 |
187 184
|
eqmat |
|- ( ( ( I ( subMat1 ` E ) J ) e. ( Base ` ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) ) /\ ( I ( subMat1 ` F ) J ) e. ( Base ` ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) ) ) -> ( ( I ( subMat1 ` E ) J ) = ( I ( subMat1 ` F ) J ) <-> A. x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) A. y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) ) ) |
189 |
185 186 188
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ( I ( subMat1 ` E ) J ) = ( I ( subMat1 ` F ) J ) <-> A. x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) A. y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) ) ) |
190 |
183 189
|
mpbird |
|- ( ph -> ( I ( subMat1 ` E ) J ) = ( I ( subMat1 ` F ) J ) ) |