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Theorem submateq

Description: Sufficient condition for two submatrices to be equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020)

Ref Expression
Hypotheses submateq.a
|- A = ( ( 1 ... N ) Mat R )
submateq.b
|- B = ( Base ` A )
submateq.n
|- ( ph -> N e. NN )
submateq.i
|- ( ph -> I e. ( 1 ... N ) )
submateq.j
|- ( ph -> J e. ( 1 ... N ) )
submateq.e
|- ( ph -> E e. B )
submateq.f
|- ( ph -> F e. B )
submateq.1
|- ( ( ph /\ i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( i E j ) = ( i F j ) )
Assertion submateq
|- ( ph -> ( I ( subMat1 ` E ) J ) = ( I ( subMat1 ` F ) J ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 submateq.a
 |-  A = ( ( 1 ... N ) Mat R )
2 submateq.b
 |-  B = ( Base ` A )
3 submateq.n
 |-  ( ph -> N e. NN )
4 submateq.i
 |-  ( ph -> I e. ( 1 ... N ) )
5 submateq.j
 |-  ( ph -> J e. ( 1 ... N ) )
6 submateq.e
 |-  ( ph -> E e. B )
7 submateq.f
 |-  ( ph -> F e. B )
8 submateq.1
 |-  ( ( ph /\ i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( i E j ) = ( i F j ) )
9 simprl
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
10 3 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> N e. NN )
11 4 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> I e. ( 1 ... N ) )
12 simplr
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
13 simpr
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> I <_ x )
14 10 11 12 13 submateqlem1
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> ( x e. ( I ... N ) /\ ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) )
15 14 simprd
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) )
16 9 15 syldanl
 |-  ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) -> ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) )
17 16 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) )
18 simprr
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
19 3 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> N e. NN )
20 5 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> J e. ( 1 ... N ) )
21 simplr
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
22 simpr
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> J <_ y )
23 19 20 21 22 submateqlem1
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> ( y e. ( J ... N ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) )
24 23 simprd
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) )
25 18 24 syldanl
 |-  ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ J <_ y ) -> ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) )
26 25 adantlr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) )
27 17 26 jca
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) )
28 ovexd
 |-  ( ph -> ( x + 1 ) e. _V )
29 ovexd
 |-  ( ph -> ( y + 1 ) e. _V )
30 simpl
 |-  ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> i = ( x + 1 ) )
31 30 eleq1d
 |-  ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) <-> ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) )
32 simpr
 |-  ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> j = ( y + 1 ) )
33 32 eleq1d
 |-  ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) <-> ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) )
34 31 33 anbi12d
 |-  ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) <-> ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) )
35 oveq12
 |-  ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( i E j ) = ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) )
36 oveq12
 |-  ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( i F j ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) )
37 35 36 eqeq12d
 |-  ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( ( i E j ) = ( i F j ) <-> ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) ) )
38 34 37 imbi12d
 |-  ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( i E j ) = ( i F j ) ) <-> ( ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) ) ) )
39 8 3expib
 |-  ( ph -> ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( i E j ) = ( i F j ) ) )
40 28 29 38 39 vtocl2d
 |-  ( ph -> ( ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) ) )
41 40 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) ) )
42 27 41 mpd
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) )
43 eqid
 |-  ( I ( subMat1 ` E ) J ) = ( I ( subMat1 ` E ) J )
44 3 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> N e. NN )
45 4 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> I e. ( 1 ... N ) )
46 5 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> J e. ( 1 ... N ) )
47 eqid
 |-  ( Base ` R ) = ( Base ` R )
48 1 47 2 matbas2i
 |-  ( E e. B -> E e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
49 6 48 syl
 |-  ( ph -> E e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
50 49 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> E e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
51 14 simpld
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ I <_ x ) -> x e. ( I ... N ) )
52 9 51 syldanl
 |-  ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) -> x e. ( I ... N ) )
53 52 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> x e. ( I ... N ) )
54 23 simpld
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ J <_ y ) -> y e. ( J ... N ) )
55 18 54 syldanl
 |-  ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ J <_ y ) -> y e. ( J ... N ) )
56 55 adantlr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> y e. ( J ... N ) )
57 43 44 44 45 46 50 53 56 smatbr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( ( x + 1 ) E ( y + 1 ) ) )
58 eqid
 |-  ( I ( subMat1 ` F ) J ) = ( I ( subMat1 ` F ) J )
59 1 47 2 matbas2i
 |-  ( F e. B -> F e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
60 7 59 syl
 |-  ( ph -> F e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
61 60 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> F e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
62 58 44 44 45 46 61 53 56 smatbr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) = ( ( x + 1 ) F ( y + 1 ) ) )
63 42 57 62 3eqtr4d
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ J <_ y ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) )
64 16 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) )
65 3 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> N e. NN )
66 5 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> J e. ( 1 ... N ) )
67 simplr
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
68 simpr
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> y < J )
69 65 66 67 68 submateqlem2
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> ( y e. ( 1 ..^ J ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) )
70 69 simprd
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) )
71 18 70 syldanl
 |-  ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ y < J ) -> y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) )
72 71 adantlr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) )
73 64 72 jca
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) )
74 vex
 |-  y e. _V
75 74 a1i
 |-  ( ph -> y e. _V )
76 simpl
 |-  ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> i = ( x + 1 ) )
77 76 eleq1d
 |-  ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) <-> ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) )
78 simpr
 |-  ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> j = y )
79 eqidd
 |-  ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( ( 1 ... N ) \ { J } ) = ( ( 1 ... N ) \ { J } ) )
80 78 79 eleq12d
 |-  ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) <-> y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) )
81 77 80 anbi12d
 |-  ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) <-> ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) )
82 oveq12
 |-  ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( i E j ) = ( ( x + 1 ) E y ) )
83 oveq12
 |-  ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( i F j ) = ( ( x + 1 ) F y ) )
84 82 83 eqeq12d
 |-  ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( ( i E j ) = ( i F j ) <-> ( ( x + 1 ) E y ) = ( ( x + 1 ) F y ) ) )
85 81 84 imbi12d
 |-  ( ( i = ( x + 1 ) /\ j = y ) -> ( ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( i E j ) = ( i F j ) ) <-> ( ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( ( x + 1 ) E y ) = ( ( x + 1 ) F y ) ) ) )
86 28 75 85 39 vtocl2d
 |-  ( ph -> ( ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( ( x + 1 ) E y ) = ( ( x + 1 ) F y ) ) )
87 86 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( ( ( x + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( ( x + 1 ) E y ) = ( ( x + 1 ) F y ) ) )
88 73 87 mpd
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( ( x + 1 ) E y ) = ( ( x + 1 ) F y ) )
89 3 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> N e. NN )
90 4 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> I e. ( 1 ... N ) )
91 5 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> J e. ( 1 ... N ) )
92 49 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> E e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
93 52 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> x e. ( I ... N ) )
94 69 simpld
 |-  ( ( ( ph /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ y < J ) -> y e. ( 1 ..^ J ) )
95 18 94 syldanl
 |-  ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ y < J ) -> y e. ( 1 ..^ J ) )
96 95 adantlr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> y e. ( 1 ..^ J ) )
97 43 89 89 90 91 92 93 96 smattr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( ( x + 1 ) E y ) )
98 60 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> F e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
99 58 89 89 90 91 98 93 96 smattr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) = ( ( x + 1 ) F y ) )
100 88 97 99 3eqtr4d
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) /\ y < J ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) )
101 fz1ssnn
 |-  ( 1 ... N ) C_ NN
102 101 5 sselid
 |-  ( ph -> J e. NN )
103 102 nnred
 |-  ( ph -> J e. RR )
104 103 adantr
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> J e. RR )
105 fz1ssnn
 |-  ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ NN
106 105 18 sselid
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> y e. NN )
107 106 nnred
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> y e. RR )
108 lelttric
 |-  ( ( J e. RR /\ y e. RR ) -> ( J <_ y \/ y < J ) )
109 104 107 108 syl2anc
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> ( J <_ y \/ y < J ) )
110 109 adantr
 |-  ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) -> ( J <_ y \/ y < J ) )
111 63 100 110 mpjaodan
 |-  ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ I <_ x ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) )
112 3 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> N e. NN )
113 4 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> I e. ( 1 ... N ) )
114 simplr
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
115 simpr
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> x < I )
116 112 113 114 115 submateqlem2
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> ( x e. ( 1 ..^ I ) /\ x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) )
117 116 simprd
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) )
118 9 117 syldanl
 |-  ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) -> x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) )
119 118 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) )
120 25 adantlr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) )
121 119 120 jca
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) )
122 vex
 |-  x e. _V
123 122 a1i
 |-  ( ph -> x e. _V )
124 simpl
 |-  ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> i = x )
125 124 eleq1d
 |-  ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) <-> x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) )
126 simpr
 |-  ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> j = ( y + 1 ) )
127 126 eleq1d
 |-  ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) <-> ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) )
128 125 127 anbi12d
 |-  ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) <-> ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) )
129 oveq12
 |-  ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( i E j ) = ( x E ( y + 1 ) ) )
130 oveq12
 |-  ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( i F j ) = ( x F ( y + 1 ) ) )
131 129 130 eqeq12d
 |-  ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( ( i E j ) = ( i F j ) <-> ( x E ( y + 1 ) ) = ( x F ( y + 1 ) ) ) )
132 128 131 imbi12d
 |-  ( ( i = x /\ j = ( y + 1 ) ) -> ( ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( i E j ) = ( i F j ) ) <-> ( ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( x E ( y + 1 ) ) = ( x F ( y + 1 ) ) ) ) )
133 123 29 132 39 vtocl2d
 |-  ( ph -> ( ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( x E ( y + 1 ) ) = ( x F ( y + 1 ) ) ) )
134 133 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ ( y + 1 ) e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( x E ( y + 1 ) ) = ( x F ( y + 1 ) ) ) )
135 121 134 mpd
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( x E ( y + 1 ) ) = ( x F ( y + 1 ) ) )
136 3 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> N e. NN )
137 4 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> I e. ( 1 ... N ) )
138 5 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> J e. ( 1 ... N ) )
139 49 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> E e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
140 116 simpld
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x < I ) -> x e. ( 1 ..^ I ) )
141 9 140 syldanl
 |-  ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) -> x e. ( 1 ..^ I ) )
142 141 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> x e. ( 1 ..^ I ) )
143 55 adantlr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> y e. ( J ... N ) )
144 43 136 136 137 138 139 142 143 smatbl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x E ( y + 1 ) ) )
145 60 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> F e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
146 58 136 136 137 138 145 142 143 smatbl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) = ( x F ( y + 1 ) ) )
147 135 144 146 3eqtr4d
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ J <_ y ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) )
148 118 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) )
149 71 adantlr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) )
150 148 149 jca
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) )
151 simpl
 |-  ( ( i = x /\ j = y ) -> i = x )
152 151 eleq1d
 |-  ( ( i = x /\ j = y ) -> ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) <-> x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) ) )
153 simpr
 |-  ( ( i = x /\ j = y ) -> j = y )
154 153 eleq1d
 |-  ( ( i = x /\ j = y ) -> ( j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) <-> y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) )
155 152 154 anbi12d
 |-  ( ( i = x /\ j = y ) -> ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) <-> ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) ) )
156 oveq12
 |-  ( ( i = x /\ j = y ) -> ( i E j ) = ( x E y ) )
157 oveq12
 |-  ( ( i = x /\ j = y ) -> ( i F j ) = ( x F y ) )
158 156 157 eqeq12d
 |-  ( ( i = x /\ j = y ) -> ( ( i E j ) = ( i F j ) <-> ( x E y ) = ( x F y ) ) )
159 155 158 imbi12d
 |-  ( ( i = x /\ j = y ) -> ( ( ( i e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ j e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( i E j ) = ( i F j ) ) <-> ( ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( x E y ) = ( x F y ) ) ) )
160 123 75 159 39 vtocl2d
 |-  ( ph -> ( ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( x E y ) = ( x F y ) ) )
161 160 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> ( ( x e. ( ( 1 ... N ) \ { I } ) /\ y e. ( ( 1 ... N ) \ { J } ) ) -> ( x E y ) = ( x F y ) ) )
162 150 161 mpd
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> ( x E y ) = ( x F y ) )
163 3 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> N e. NN )
164 4 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> I e. ( 1 ... N ) )
165 5 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> J e. ( 1 ... N ) )
166 49 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> E e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
167 141 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> x e. ( 1 ..^ I ) )
168 95 adantlr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> y e. ( 1 ..^ J ) )
169 43 163 163 164 165 166 167 168 smattl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x E y ) )
170 60 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> F e. ( ( Base ` R ) ^m ( ( 1 ... N ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
171 58 163 163 164 165 170 167 168 smattl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) = ( x F y ) )
172 162 169 171 3eqtr4d
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) /\ y < J ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) )
173 109 adantr
 |-  ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) -> ( J <_ y \/ y < J ) )
174 147 172 173 mpjaodan
 |-  ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) /\ x < I ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) )
175 101 4 sselid
 |-  ( ph -> I e. NN )
176 175 nnred
 |-  ( ph -> I e. RR )
177 176 adantr
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> I e. RR )
178 105 9 sselid
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> x e. NN )
179 178 nnred
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
180 lelttric
 |-  ( ( I e. RR /\ x e. RR ) -> ( I <_ x \/ x < I ) )
181 177 179 180 syl2anc
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> ( I <_ x \/ x < I ) )
182 111 174 181 mpjaodan
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) -> ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) )
183 182 ralrimivva
 |-  ( ph -> A. x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) A. y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) )
184 eqid
 |-  ( Base ` ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) ) = ( Base ` ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) )
185 1 2 184 43 3 4 5 6 smatcl
 |-  ( ph -> ( I ( subMat1 ` E ) J ) e. ( Base ` ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) ) )
186 1 2 184 58 3 4 5 7 smatcl
 |-  ( ph -> ( I ( subMat1 ` F ) J ) e. ( Base ` ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) ) )
187 eqid
 |-  ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) = ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R )
188 187 184 eqmat
 |-  ( ( ( I ( subMat1 ` E ) J ) e. ( Base ` ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) ) /\ ( I ( subMat1 ` F ) J ) e. ( Base ` ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) Mat R ) ) ) -> ( ( I ( subMat1 ` E ) J ) = ( I ( subMat1 ` F ) J ) <-> A. x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) A. y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) ) )
189 185 186 188 syl2anc
 |-  ( ph -> ( ( I ( subMat1 ` E ) J ) = ( I ( subMat1 ` F ) J ) <-> A. x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) A. y e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( x ( I ( subMat1 ` E ) J ) y ) = ( x ( I ( subMat1 ` F ) J ) y ) ) )
190 183 189 mpbird
 |-  ( ph -> ( I ( subMat1 ` E ) J ) = ( I ( subMat1 ` F ) J ) )