Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
submateq.a |
⊢ 𝐴 = ( ( 1 ... 𝑁 ) Mat 𝑅 ) |
2 |
|
submateq.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 ) |
3 |
|
submateq.n |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
4 |
|
submateq.i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
5 |
|
submateq.j |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
6 |
|
submateq.e |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵 ) |
7 |
|
submateq.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵 ) |
8 |
|
submateq.1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) → ( 𝑖 𝐸 𝑗 ) = ( 𝑖 𝐹 𝑗 ) ) |
9 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
10 |
3
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
11 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) → 𝐼 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
12 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
13 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) → 𝐼 ≤ 𝑥 ) |
14 |
10 11 12 13
|
submateqlem1 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑥 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ) ) |
15 |
14
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) → ( 𝑥 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ) |
16 |
9 15
|
syldanl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) → ( 𝑥 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ) |
17 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → ( 𝑥 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ) |
18 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
19 |
3
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
20 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝐽 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
21 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
22 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝐽 ≤ 𝑦 ) |
23 |
19 20 21 22
|
submateqlem1 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝐽 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑦 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) ) |
24 |
23
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → ( 𝑦 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) |
25 |
18 24
|
syldanl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → ( 𝑦 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) |
26 |
25
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → ( 𝑦 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) |
27 |
17 26
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → ( ( 𝑥 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ ( 𝑦 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) ) |
28 |
|
ovexd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 + 1 ) ∈ V ) |
29 |
|
ovexd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 + 1 ) ∈ V ) |
30 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑦 + 1 ) ) → 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ) |
31 |
30
|
eleq1d |
⊢ ( ( 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑦 + 1 ) ) → ( 𝑖 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ↔ ( 𝑥 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ) ) |
32 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑦 + 1 ) ) → 𝑗 = ( 𝑦 + 1 ) ) |
33 |
32
|
eleq1d |
⊢ ( ( 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑦 + 1 ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ↔ ( 𝑦 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) ) |
34 |
31 33
|
anbi12d |
⊢ ( ( 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑦 + 1 ) ) → ( ( 𝑖 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) ↔ ( ( 𝑥 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ ( 𝑦 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) ) ) |
35 |
|
oveq12 |
⊢ ( ( 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑦 + 1 ) ) → ( 𝑖 𝐸 𝑗 ) = ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐸 ( 𝑦 + 1 ) ) ) |
36 |
|
oveq12 |
⊢ ( ( 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑦 + 1 ) ) → ( 𝑖 𝐹 𝑗 ) = ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐹 ( 𝑦 + 1 ) ) ) |
37 |
35 36
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑦 + 1 ) ) → ( ( 𝑖 𝐸 𝑗 ) = ( 𝑖 𝐹 𝑗 ) ↔ ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐸 ( 𝑦 + 1 ) ) = ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐹 ( 𝑦 + 1 ) ) ) ) |
38 |
34 37
|
imbi12d |
⊢ ( ( 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑦 + 1 ) ) → ( ( ( 𝑖 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) → ( 𝑖 𝐸 𝑗 ) = ( 𝑖 𝐹 𝑗 ) ) ↔ ( ( ( 𝑥 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ ( 𝑦 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) → ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐸 ( 𝑦 + 1 ) ) = ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐹 ( 𝑦 + 1 ) ) ) ) ) |
39 |
8
|
3expib |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑖 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) → ( 𝑖 𝐸 𝑗 ) = ( 𝑖 𝐹 𝑗 ) ) ) |
40 |
28 29 38 39
|
vtocl2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑥 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ ( 𝑦 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) → ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐸 ( 𝑦 + 1 ) ) = ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐹 ( 𝑦 + 1 ) ) ) ) |
41 |
40
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → ( ( ( 𝑥 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ ( 𝑦 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) → ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐸 ( 𝑦 + 1 ) ) = ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐹 ( 𝑦 + 1 ) ) ) ) |
42 |
27 41
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐸 ( 𝑦 + 1 ) ) = ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐹 ( 𝑦 + 1 ) ) ) |
43 |
|
eqid |
⊢ ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) = ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) |
44 |
3
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
45 |
4
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝐼 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
46 |
5
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝐽 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
47 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 ) |
48 |
1 47 2
|
matbas2i |
⊢ ( 𝐸 ∈ 𝐵 → 𝐸 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m ( ( 1 ... 𝑁 ) × ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ) |
49 |
6 48
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m ( ( 1 ... 𝑁 ) × ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ) |
50 |
49
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝐸 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m ( ( 1 ... 𝑁 ) × ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ) |
51 |
14
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ( 𝐼 ... 𝑁 ) ) |
52 |
9 51
|
syldanl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ( 𝐼 ... 𝑁 ) ) |
53 |
52
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝑥 ∈ ( 𝐼 ... 𝑁 ) ) |
54 |
23
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝑦 ∈ ( 𝐽 ... 𝑁 ) ) |
55 |
18 54
|
syldanl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝑦 ∈ ( 𝐽 ... 𝑁 ) ) |
56 |
55
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝑦 ∈ ( 𝐽 ... 𝑁 ) ) |
57 |
43 44 44 45 46 50 53 56
|
smatbr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐸 ( 𝑦 + 1 ) ) ) |
58 |
|
eqid |
⊢ ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) = ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) |
59 |
1 47 2
|
matbas2i |
⊢ ( 𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m ( ( 1 ... 𝑁 ) × ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ) |
60 |
7 59
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m ( ( 1 ... 𝑁 ) × ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ) |
61 |
60
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝐹 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m ( ( 1 ... 𝑁 ) × ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ) |
62 |
58 44 44 45 46 61 53 56
|
smatbr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐹 ( 𝑦 + 1 ) ) ) |
63 |
42 57 62
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) 𝑦 ) ) |
64 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → ( 𝑥 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ) |
65 |
3
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
66 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝐽 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
67 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
68 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝑦 < 𝐽 ) |
69 |
65 66 67 68
|
submateqlem2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → ( 𝑦 ∈ ( 1 ..^ 𝐽 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) ) |
70 |
69
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝑦 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) |
71 |
18 70
|
syldanl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝑦 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) |
72 |
71
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝑦 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) |
73 |
64 72
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → ( ( 𝑥 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) ) |
74 |
|
vex |
⊢ 𝑦 ∈ V |
75 |
74
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝑦 ∈ V ) |
76 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ∧ 𝑗 = 𝑦 ) → 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ) |
77 |
76
|
eleq1d |
⊢ ( ( 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ∧ 𝑗 = 𝑦 ) → ( 𝑖 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ↔ ( 𝑥 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ) ) |
78 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ∧ 𝑗 = 𝑦 ) → 𝑗 = 𝑦 ) |
79 |
|
eqidd |
⊢ ( ( 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ∧ 𝑗 = 𝑦 ) → ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) = ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) |
80 |
78 79
|
eleq12d |
⊢ ( ( 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ∧ 𝑗 = 𝑦 ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ↔ 𝑦 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) ) |
81 |
77 80
|
anbi12d |
⊢ ( ( 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ∧ 𝑗 = 𝑦 ) → ( ( 𝑖 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) ↔ ( ( 𝑥 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) ) ) |
82 |
|
oveq12 |
⊢ ( ( 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ∧ 𝑗 = 𝑦 ) → ( 𝑖 𝐸 𝑗 ) = ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐸 𝑦 ) ) |
83 |
|
oveq12 |
⊢ ( ( 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ∧ 𝑗 = 𝑦 ) → ( 𝑖 𝐹 𝑗 ) = ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐹 𝑦 ) ) |
84 |
82 83
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ∧ 𝑗 = 𝑦 ) → ( ( 𝑖 𝐸 𝑗 ) = ( 𝑖 𝐹 𝑗 ) ↔ ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐸 𝑦 ) = ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐹 𝑦 ) ) ) |
85 |
81 84
|
imbi12d |
⊢ ( ( 𝑖 = ( 𝑥 + 1 ) ∧ 𝑗 = 𝑦 ) → ( ( ( 𝑖 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) → ( 𝑖 𝐸 𝑗 ) = ( 𝑖 𝐹 𝑗 ) ) ↔ ( ( ( 𝑥 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) → ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐸 𝑦 ) = ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐹 𝑦 ) ) ) ) |
86 |
28 75 85 39
|
vtocl2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑥 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) → ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐸 𝑦 ) = ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐹 𝑦 ) ) ) |
87 |
86
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → ( ( ( 𝑥 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) → ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐸 𝑦 ) = ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐹 𝑦 ) ) ) |
88 |
73 87
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐸 𝑦 ) = ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐹 𝑦 ) ) |
89 |
3
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
90 |
4
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝐼 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
91 |
5
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝐽 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
92 |
49
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝐸 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m ( ( 1 ... 𝑁 ) × ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ) |
93 |
52
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝑥 ∈ ( 𝐼 ... 𝑁 ) ) |
94 |
69
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝑦 ∈ ( 1 ..^ 𝐽 ) ) |
95 |
18 94
|
syldanl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝑦 ∈ ( 1 ..^ 𝐽 ) ) |
96 |
95
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝑦 ∈ ( 1 ..^ 𝐽 ) ) |
97 |
43 89 89 90 91 92 93 96
|
smattr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐸 𝑦 ) ) |
98 |
60
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝐹 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m ( ( 1 ... 𝑁 ) × ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ) |
99 |
58 89 89 90 91 98 93 96
|
smattr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑥 + 1 ) 𝐹 𝑦 ) ) |
100 |
88 97 99
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) 𝑦 ) ) |
101 |
|
fz1ssnn |
⊢ ( 1 ... 𝑁 ) ⊆ ℕ |
102 |
101 5
|
sselid |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ ) |
103 |
102
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ ) |
104 |
103
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝐽 ∈ ℝ ) |
105 |
|
fz1ssnn |
⊢ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ℕ |
106 |
105 18
|
sselid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℕ ) |
107 |
106
|
nnred |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
108 |
|
lelttric |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝐽 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝐽 ) ) |
109 |
104 107 108
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝐽 ) ) |
110 |
109
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) → ( 𝐽 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝐽 ) ) |
111 |
63 100 110
|
mpjaodan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝐼 ≤ 𝑥 ) → ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) 𝑦 ) ) |
112 |
3
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
113 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) → 𝐼 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
114 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) → 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
115 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) → 𝑥 < 𝐼 ) |
116 |
112 113 114 115
|
submateqlem2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) → ( 𝑥 ∈ ( 1 ..^ 𝐼 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ) ) |
117 |
116
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) → 𝑥 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ) |
118 |
9 117
|
syldanl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) → 𝑥 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ) |
119 |
118
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝑥 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ) |
120 |
25
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → ( 𝑦 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) |
121 |
119 120
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ ( 𝑦 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) ) |
122 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
123 |
122
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝑥 ∈ V ) |
124 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = ( 𝑦 + 1 ) ) → 𝑖 = 𝑥 ) |
125 |
124
|
eleq1d |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = ( 𝑦 + 1 ) ) → ( 𝑖 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ) ) |
126 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = ( 𝑦 + 1 ) ) → 𝑗 = ( 𝑦 + 1 ) ) |
127 |
126
|
eleq1d |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = ( 𝑦 + 1 ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ↔ ( 𝑦 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) ) |
128 |
125 127
|
anbi12d |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = ( 𝑦 + 1 ) ) → ( ( 𝑖 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ ( 𝑦 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) ) ) |
129 |
|
oveq12 |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = ( 𝑦 + 1 ) ) → ( 𝑖 𝐸 𝑗 ) = ( 𝑥 𝐸 ( 𝑦 + 1 ) ) ) |
130 |
|
oveq12 |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = ( 𝑦 + 1 ) ) → ( 𝑖 𝐹 𝑗 ) = ( 𝑥 𝐹 ( 𝑦 + 1 ) ) ) |
131 |
129 130
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = ( 𝑦 + 1 ) ) → ( ( 𝑖 𝐸 𝑗 ) = ( 𝑖 𝐹 𝑗 ) ↔ ( 𝑥 𝐸 ( 𝑦 + 1 ) ) = ( 𝑥 𝐹 ( 𝑦 + 1 ) ) ) ) |
132 |
128 131
|
imbi12d |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = ( 𝑦 + 1 ) ) → ( ( ( 𝑖 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) → ( 𝑖 𝐸 𝑗 ) = ( 𝑖 𝐹 𝑗 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ ( 𝑦 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) → ( 𝑥 𝐸 ( 𝑦 + 1 ) ) = ( 𝑥 𝐹 ( 𝑦 + 1 ) ) ) ) ) |
133 |
123 29 132 39
|
vtocl2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ ( 𝑦 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) → ( 𝑥 𝐸 ( 𝑦 + 1 ) ) = ( 𝑥 𝐹 ( 𝑦 + 1 ) ) ) ) |
134 |
133
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ ( 𝑦 + 1 ) ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) → ( 𝑥 𝐸 ( 𝑦 + 1 ) ) = ( 𝑥 𝐹 ( 𝑦 + 1 ) ) ) ) |
135 |
121 134
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → ( 𝑥 𝐸 ( 𝑦 + 1 ) ) = ( 𝑥 𝐹 ( 𝑦 + 1 ) ) ) |
136 |
3
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
137 |
4
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝐼 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
138 |
5
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝐽 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
139 |
49
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝐸 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m ( ( 1 ... 𝑁 ) × ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ) |
140 |
116
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) → 𝑥 ∈ ( 1 ..^ 𝐼 ) ) |
141 |
9 140
|
syldanl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) → 𝑥 ∈ ( 1 ..^ 𝐼 ) ) |
142 |
141
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝑥 ∈ ( 1 ..^ 𝐼 ) ) |
143 |
55
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝑦 ∈ ( 𝐽 ... 𝑁 ) ) |
144 |
43 136 136 137 138 139 142 143
|
smatbl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 𝐸 ( 𝑦 + 1 ) ) ) |
145 |
60
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → 𝐹 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m ( ( 1 ... 𝑁 ) × ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ) |
146 |
58 136 136 137 138 145 142 143
|
smatbl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 𝐹 ( 𝑦 + 1 ) ) ) |
147 |
135 144 146
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝐽 ≤ 𝑦 ) → ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) 𝑦 ) ) |
148 |
118
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝑥 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ) |
149 |
71
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝑦 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) |
150 |
148 149
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) ) |
151 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = 𝑦 ) → 𝑖 = 𝑥 ) |
152 |
151
|
eleq1d |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = 𝑦 ) → ( 𝑖 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ) ) |
153 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = 𝑦 ) → 𝑗 = 𝑦 ) |
154 |
153
|
eleq1d |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = 𝑦 ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ↔ 𝑦 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) ) |
155 |
152 154
|
anbi12d |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = 𝑦 ) → ( ( 𝑖 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) ) ) |
156 |
|
oveq12 |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = 𝑦 ) → ( 𝑖 𝐸 𝑗 ) = ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) ) |
157 |
|
oveq12 |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = 𝑦 ) → ( 𝑖 𝐹 𝑗 ) = ( 𝑥 𝐹 𝑦 ) ) |
158 |
156 157
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = 𝑦 ) → ( ( 𝑖 𝐸 𝑗 ) = ( 𝑖 𝐹 𝑗 ) ↔ ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑥 𝐹 𝑦 ) ) ) |
159 |
155 158
|
imbi12d |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝑥 ∧ 𝑗 = 𝑦 ) → ( ( ( 𝑖 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) → ( 𝑖 𝐸 𝑗 ) = ( 𝑖 𝐹 𝑗 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) → ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑥 𝐹 𝑦 ) ) ) ) |
160 |
123 75 159 39
|
vtocl2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) → ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑥 𝐹 𝑦 ) ) ) |
161 |
160
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐼 } ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 𝐽 } ) ) → ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑥 𝐹 𝑦 ) ) ) |
162 |
150 161
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑥 𝐹 𝑦 ) ) |
163 |
3
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
164 |
4
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝐼 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
165 |
5
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝐽 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
166 |
49
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝐸 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m ( ( 1 ... 𝑁 ) × ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ) |
167 |
141
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝑥 ∈ ( 1 ..^ 𝐼 ) ) |
168 |
95
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝑦 ∈ ( 1 ..^ 𝐽 ) ) |
169 |
43 163 163 164 165 166 167 168
|
smattl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) ) |
170 |
60
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → 𝐹 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m ( ( 1 ... 𝑁 ) × ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ) |
171 |
58 163 163 164 165 170 167 168
|
smattl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 𝐹 𝑦 ) ) |
172 |
162 169 171
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) ∧ 𝑦 < 𝐽 ) → ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) 𝑦 ) ) |
173 |
109
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) → ( 𝐽 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝐽 ) ) |
174 |
147 172 173
|
mpjaodan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 < 𝐼 ) → ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) 𝑦 ) ) |
175 |
101 4
|
sselid |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ ) |
176 |
175
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ ) |
177 |
176
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝐼 ∈ ℝ ) |
178 |
105 9
|
sselid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℕ ) |
179 |
178
|
nnred |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
180 |
|
lelttric |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐼 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐼 ) ) |
181 |
177 179 180
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝐼 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐼 ) ) |
182 |
111 174 181
|
mpjaodan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) 𝑦 ) ) |
183 |
182
|
ralrimivva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) 𝑦 ) ) |
184 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) Mat 𝑅 ) ) = ( Base ‘ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) Mat 𝑅 ) ) |
185 |
1 2 184 43 3 4 5 6
|
smatcl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) ∈ ( Base ‘ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) Mat 𝑅 ) ) ) |
186 |
1 2 184 58 3 4 5 7
|
smatcl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) ∈ ( Base ‘ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) Mat 𝑅 ) ) ) |
187 |
|
eqid |
⊢ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) Mat 𝑅 ) = ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) Mat 𝑅 ) |
188 |
187 184
|
eqmat |
⊢ ( ( ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) ∈ ( Base ‘ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) Mat 𝑅 ) ) ∧ ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) ∈ ( Base ‘ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) Mat 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) = ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) 𝑦 ) ) ) |
189 |
185 186 188
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) = ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) 𝑦 ) ) ) |
190 |
183 189
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐸 ) 𝐽 ) = ( 𝐼 ( subMat1 ‘ 𝐹 ) 𝐽 ) ) |