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Theorem txsconn

Description: The topological product of two simply connected spaces is simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015)

Ref Expression
Assertion txsconn 
|- ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) -> ( R tX S ) e. SConn )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 sconnpconn 
 |-  ( R e. SConn -> R e. PConn )
2 sconnpconn 
 |-  ( S e. SConn -> S e. PConn )
3 txpconn 
 |-  ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) -> ( R tX S ) e. PConn )
4 1 2 3 syl2an 
 |-  ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) -> ( R tX S ) e. PConn )
5 simpll 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> R e. SConn )
6 simprl 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> f e. ( II Cn ( R tX S ) ) )
7 sconntop 
 |-  ( R e. SConn -> R e. Top )
8 7 ad2antrr 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> R e. Top )
9 eqid 
 |-  U. R = U. R
10 9 toptopon 
 |-  ( R e. Top <-> R e. ( TopOn ` U. R ) )
11 8 10 sylib 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> R e. ( TopOn ` U. R ) )
12 sconntop 
 |-  ( S e. SConn -> S e. Top )
13 12 ad2antlr 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> S e. Top )
14 eqid 
 |-  U. S = U. S
15 14 toptopon 
 |-  ( S e. Top <-> S e. ( TopOn ` U. S ) )
16 13 15 sylib 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> S e. ( TopOn ` U. S ) )
17 tx1cn 
 |-  ( ( R e. ( TopOn ` U. R ) /\ S e. ( TopOn ` U. S ) ) -> ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn R ) )
18 11 16 17 syl2anc 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn R ) )
19 cnco 
 |-  ( ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn R ) ) -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) e. ( II Cn R ) )
20 6 18 19 syl2anc 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) e. ( II Cn R ) )
21 simprr 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) )
22 21 fveq2d 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 0 ) ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 1 ) ) )
23 iitopon 
 |-  II e. ( TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
24 23 a1i 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> II e. ( TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
25 txtopon 
 |-  ( ( R e. ( TopOn ` U. R ) /\ S e. ( TopOn ` U. S ) ) -> ( R tX S ) e. ( TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) )
26 11 16 25 syl2anc 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( R tX S ) e. ( TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) )
27 cnf2 
 |-  ( ( II e. ( TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( R tX S ) e. ( TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) /\ f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ) -> f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) )
28 24 26 6 27 syl3anc 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) )
29 0elunit 
 |-  0 e. ( 0 [,] 1 )
30 fvco3 
 |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 0 ) ) )
31 28 29 30 sylancl 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 0 ) ) )
32 1elunit 
 |-  1 e. ( 0 [,] 1 )
33 fvco3 
 |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 1 ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 1 ) ) )
34 28 32 33 sylancl 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 1 ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 1 ) ) )
35 22 31 34 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) = ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 1 ) )
36 sconnpht 
 |-  ( ( R e. SConn /\ ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) e. ( II Cn R ) /\ ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) = ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 1 ) ) -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( ~=ph ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) )
37 5 20 35 36 syl3anc 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( ~=ph ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) )
38 isphtpc 
 |-  ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( ~=ph ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) <-> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) e. ( II Cn R ) /\ ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) e. ( II Cn R ) /\ ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) =/= (/) ) )
39 37 38 sylib 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) e. ( II Cn R ) /\ ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) e. ( II Cn R ) /\ ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) =/= (/) ) )
40 39 simp3d 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) =/= (/) )
41 n0 
 |-  ( ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) =/= (/) <-> E. g g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) )
42 40 41 sylib 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> E. g g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) )
43 simplr 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> S e. SConn )
44 tx2cn 
 |-  ( ( R e. ( TopOn ` U. R ) /\ S e. ( TopOn ` U. S ) ) -> ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn S ) )
45 11 16 44 syl2anc 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn S ) )
46 cnco 
 |-  ( ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn S ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) e. ( II Cn S ) )
47 6 45 46 syl2anc 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) e. ( II Cn S ) )
48 21 fveq2d 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 0 ) ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 1 ) ) )
49 fvco3 
 |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 0 ) ) )
50 28 29 49 sylancl 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 0 ) ) )
51 fvco3 
 |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 1 ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 1 ) ) )
52 28 32 51 sylancl 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 1 ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 1 ) ) )
53 48 50 52 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) = ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 1 ) )
54 sconnpht 
 |-  ( ( S e. SConn /\ ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) e. ( II Cn S ) /\ ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) = ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 1 ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( ~=ph ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) )
55 43 47 53 54 syl3anc 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( ~=ph ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) )
56 isphtpc 
 |-  ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( ~=ph ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) <-> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) e. ( II Cn S ) /\ ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) e. ( II Cn S ) /\ ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) =/= (/) ) )
57 55 56 sylib 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) e. ( II Cn S ) /\ ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) e. ( II Cn S ) /\ ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) =/= (/) ) )
58 57 simp3d 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) =/= (/) )
59 n0 
 |-  ( ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) =/= (/) <-> E. h h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) )
60 58 59 sylib 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> E. h h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) )
61 exdistrv 
 |-  ( E. g E. h ( g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) <-> ( E. g g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ E. h h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) )
62 8 adantr 
 |-  ( ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) /\ ( g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) ) -> R e. Top )
63 13 adantr 
 |-  ( ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) /\ ( g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) ) -> S e. Top )
64 6 adantr 
 |-  ( ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) /\ ( g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) ) -> f e. ( II Cn ( R tX S ) ) )
65 eqid 
 |-  ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f )
66 eqid 
 |-  ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f )
67 simprl 
 |-  ( ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) /\ ( g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) ) -> g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) )
68 simprr 
 |-  ( ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) /\ ( g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) ) -> h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) )
69 62 63 64 65 66 67 68 txsconnlem 
 |-  ( ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) /\ ( g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) ) -> f ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( f ` 0 ) } ) )
70 69 ex 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) -> f ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( f ` 0 ) } ) ) )
71 70 exlimdvv 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( E. g E. h ( g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) -> f ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( f ` 0 ) } ) ) )
72 61 71 syl5bir 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( E. g g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ E. h h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) -> f ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( f ` 0 ) } ) ) )
73 42 60 72 mp2and 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> f ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( f ` 0 ) } ) )
74 73 expr 
 |-  ( ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) /\ f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ) -> ( ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) -> f ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( f ` 0 ) } ) ) )
75 74 ralrimiva 
 |-  ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) -> A. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) -> f ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( f ` 0 ) } ) ) )
76 issconn 
 |-  ( ( R tX S ) e. SConn <-> ( ( R tX S ) e. PConn /\ A. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) -> f ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( f ` 0 ) } ) ) ) )
77 4 75 76 sylanbrc 
 |-  ( ( R e. SConn /\ S e. SConn ) -> ( R tX S ) e. SConn )