Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
unxpdomlem1.1 |
|- F = ( x e. ( a u. b ) |-> G ) |
2 |
|
unxpdomlem1.2 |
|- G = if ( x e. a , <. x , if ( x = m , t , s ) >. , <. if ( x = t , n , m ) , x >. ) |
3 |
|
1sdom |
|- ( a e. _V -> ( 1o ~< a <-> E. m e. a E. n e. a -. m = n ) ) |
4 |
3
|
elv |
|- ( 1o ~< a <-> E. m e. a E. n e. a -. m = n ) |
5 |
|
1sdom |
|- ( b e. _V -> ( 1o ~< b <-> E. s e. b E. t e. b -. s = t ) ) |
6 |
5
|
elv |
|- ( 1o ~< b <-> E. s e. b E. t e. b -. s = t ) |
7 |
|
reeanv |
|- ( E. m e. a E. s e. b ( E. n e. a -. m = n /\ E. t e. b -. s = t ) <-> ( E. m e. a E. n e. a -. m = n /\ E. s e. b E. t e. b -. s = t ) ) |
8 |
|
reeanv |
|- ( E. n e. a E. t e. b ( -. m = n /\ -. s = t ) <-> ( E. n e. a -. m = n /\ E. t e. b -. s = t ) ) |
9 |
|
vex |
|- a e. _V |
10 |
|
vex |
|- b e. _V |
11 |
9 10
|
unex |
|- ( a u. b ) e. _V |
12 |
9 10
|
xpex |
|- ( a X. b ) e. _V |
13 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) /\ x e. ( a u. b ) ) /\ x e. a ) -> x e. a ) |
14 |
|
simp2r |
|- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) -> t e. b ) |
15 |
|
simp1r |
|- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) -> s e. b ) |
16 |
14 15
|
ifcld |
|- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) -> if ( x = m , t , s ) e. b ) |
17 |
16
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) /\ x e. ( a u. b ) ) /\ x e. a ) -> if ( x = m , t , s ) e. b ) |
18 |
13 17
|
opelxpd |
|- ( ( ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) /\ x e. ( a u. b ) ) /\ x e. a ) -> <. x , if ( x = m , t , s ) >. e. ( a X. b ) ) |
19 |
|
simp2l |
|- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) -> n e. a ) |
20 |
|
simp1l |
|- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) -> m e. a ) |
21 |
19 20
|
ifcld |
|- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) -> if ( x = t , n , m ) e. a ) |
22 |
21
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) /\ x e. ( a u. b ) ) /\ -. x e. a ) -> if ( x = t , n , m ) e. a ) |
23 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) /\ x e. ( a u. b ) ) -> x e. ( a u. b ) ) |
24 |
|
elun |
|- ( x e. ( a u. b ) <-> ( x e. a \/ x e. b ) ) |
25 |
23 24
|
sylib |
|- ( ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) /\ x e. ( a u. b ) ) -> ( x e. a \/ x e. b ) ) |
26 |
25
|
orcanai |
|- ( ( ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) /\ x e. ( a u. b ) ) /\ -. x e. a ) -> x e. b ) |
27 |
22 26
|
opelxpd |
|- ( ( ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) /\ x e. ( a u. b ) ) /\ -. x e. a ) -> <. if ( x = t , n , m ) , x >. e. ( a X. b ) ) |
28 |
18 27
|
ifclda |
|- ( ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) /\ x e. ( a u. b ) ) -> if ( x e. a , <. x , if ( x = m , t , s ) >. , <. if ( x = t , n , m ) , x >. ) e. ( a X. b ) ) |
29 |
2 28
|
eqeltrid |
|- ( ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) /\ x e. ( a u. b ) ) -> G e. ( a X. b ) ) |
30 |
29 1
|
fmptd |
|- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) -> F : ( a u. b ) --> ( a X. b ) ) |
31 |
1 2
|
unxpdomlem1 |
|- ( z e. ( a u. b ) -> ( F ` z ) = if ( z e. a , <. z , if ( z = m , t , s ) >. , <. if ( z = t , n , m ) , z >. ) ) |
32 |
31
|
ad2antrl |
|- ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) -> ( F ` z ) = if ( z e. a , <. z , if ( z = m , t , s ) >. , <. if ( z = t , n , m ) , z >. ) ) |
33 |
|
iftrue |
|- ( z e. a -> if ( z e. a , <. z , if ( z = m , t , s ) >. , <. if ( z = t , n , m ) , z >. ) = <. z , if ( z = m , t , s ) >. ) |
34 |
33
|
adantr |
|- ( ( z e. a /\ w e. a ) -> if ( z e. a , <. z , if ( z = m , t , s ) >. , <. if ( z = t , n , m ) , z >. ) = <. z , if ( z = m , t , s ) >. ) |
35 |
32 34
|
sylan9eq |
|- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( z e. a /\ w e. a ) ) -> ( F ` z ) = <. z , if ( z = m , t , s ) >. ) |
36 |
1 2
|
unxpdomlem1 |
|- ( w e. ( a u. b ) -> ( F ` w ) = if ( w e. a , <. w , if ( w = m , t , s ) >. , <. if ( w = t , n , m ) , w >. ) ) |
37 |
36
|
ad2antll |
|- ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) -> ( F ` w ) = if ( w e. a , <. w , if ( w = m , t , s ) >. , <. if ( w = t , n , m ) , w >. ) ) |
38 |
|
iftrue |
|- ( w e. a -> if ( w e. a , <. w , if ( w = m , t , s ) >. , <. if ( w = t , n , m ) , w >. ) = <. w , if ( w = m , t , s ) >. ) |
39 |
38
|
adantl |
|- ( ( z e. a /\ w e. a ) -> if ( w e. a , <. w , if ( w = m , t , s ) >. , <. if ( w = t , n , m ) , w >. ) = <. w , if ( w = m , t , s ) >. ) |
40 |
37 39
|
sylan9eq |
|- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( z e. a /\ w e. a ) ) -> ( F ` w ) = <. w , if ( w = m , t , s ) >. ) |
41 |
35 40
|
eqeq12d |
|- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( z e. a /\ w e. a ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> <. z , if ( z = m , t , s ) >. = <. w , if ( w = m , t , s ) >. ) ) |
42 |
|
vex |
|- z e. _V |
43 |
|
vex |
|- t e. _V |
44 |
|
vex |
|- s e. _V |
45 |
43 44
|
ifex |
|- if ( z = m , t , s ) e. _V |
46 |
42 45
|
opth1 |
|- ( <. z , if ( z = m , t , s ) >. = <. w , if ( w = m , t , s ) >. -> z = w ) |
47 |
41 46
|
syl6bi |
|- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( z e. a /\ w e. a ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) ) |
48 |
|
simprr |
|- ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) -> w e. ( a u. b ) ) |
49 |
|
simpll |
|- ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) -> -. m = n ) |
50 |
|
simplr |
|- ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) -> -. s = t ) |
51 |
1 2 48 49 50
|
unxpdomlem2 |
|- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( z e. a /\ -. w e. a ) ) -> -. ( F ` z ) = ( F ` w ) ) |
52 |
51
|
pm2.21d |
|- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( z e. a /\ -. w e. a ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) ) |
53 |
|
eqcom |
|- ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> ( F ` w ) = ( F ` z ) ) |
54 |
|
simprl |
|- ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) -> z e. ( a u. b ) ) |
55 |
1 2 54 49 50
|
unxpdomlem2 |
|- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( w e. a /\ -. z e. a ) ) -> -. ( F ` w ) = ( F ` z ) ) |
56 |
55
|
ancom2s |
|- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( -. z e. a /\ w e. a ) ) -> -. ( F ` w ) = ( F ` z ) ) |
57 |
56
|
pm2.21d |
|- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( -. z e. a /\ w e. a ) ) -> ( ( F ` w ) = ( F ` z ) -> z = w ) ) |
58 |
53 57
|
syl5bi |
|- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( -. z e. a /\ w e. a ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) ) |
59 |
|
iffalse |
|- ( -. z e. a -> if ( z e. a , <. z , if ( z = m , t , s ) >. , <. if ( z = t , n , m ) , z >. ) = <. if ( z = t , n , m ) , z >. ) |
60 |
59
|
adantr |
|- ( ( -. z e. a /\ -. w e. a ) -> if ( z e. a , <. z , if ( z = m , t , s ) >. , <. if ( z = t , n , m ) , z >. ) = <. if ( z = t , n , m ) , z >. ) |
61 |
32 60
|
sylan9eq |
|- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( -. z e. a /\ -. w e. a ) ) -> ( F ` z ) = <. if ( z = t , n , m ) , z >. ) |
62 |
|
iffalse |
|- ( -. w e. a -> if ( w e. a , <. w , if ( w = m , t , s ) >. , <. if ( w = t , n , m ) , w >. ) = <. if ( w = t , n , m ) , w >. ) |
63 |
62
|
adantl |
|- ( ( -. z e. a /\ -. w e. a ) -> if ( w e. a , <. w , if ( w = m , t , s ) >. , <. if ( w = t , n , m ) , w >. ) = <. if ( w = t , n , m ) , w >. ) |
64 |
37 63
|
sylan9eq |
|- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( -. z e. a /\ -. w e. a ) ) -> ( F ` w ) = <. if ( w = t , n , m ) , w >. ) |
65 |
61 64
|
eqeq12d |
|- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( -. z e. a /\ -. w e. a ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> <. if ( z = t , n , m ) , z >. = <. if ( w = t , n , m ) , w >. ) ) |
66 |
|
vex |
|- n e. _V |
67 |
|
vex |
|- m e. _V |
68 |
66 67
|
ifex |
|- if ( z = t , n , m ) e. _V |
69 |
68 42
|
opth |
|- ( <. if ( z = t , n , m ) , z >. = <. if ( w = t , n , m ) , w >. <-> ( if ( z = t , n , m ) = if ( w = t , n , m ) /\ z = w ) ) |
70 |
69
|
simprbi |
|- ( <. if ( z = t , n , m ) , z >. = <. if ( w = t , n , m ) , w >. -> z = w ) |
71 |
65 70
|
syl6bi |
|- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( -. z e. a /\ -. w e. a ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) ) |
72 |
47 52 58 71
|
4casesdan |
|- ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) ) |
73 |
72
|
ralrimivva |
|- ( ( -. m = n /\ -. s = t ) -> A. z e. ( a u. b ) A. w e. ( a u. b ) ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) ) |
74 |
73
|
3ad2ant3 |
|- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) -> A. z e. ( a u. b ) A. w e. ( a u. b ) ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) ) |
75 |
|
dff13 |
|- ( F : ( a u. b ) -1-1-> ( a X. b ) <-> ( F : ( a u. b ) --> ( a X. b ) /\ A. z e. ( a u. b ) A. w e. ( a u. b ) ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) ) ) |
76 |
30 74 75
|
sylanbrc |
|- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) -> F : ( a u. b ) -1-1-> ( a X. b ) ) |
77 |
|
f1dom2g |
|- ( ( ( a u. b ) e. _V /\ ( a X. b ) e. _V /\ F : ( a u. b ) -1-1-> ( a X. b ) ) -> ( a u. b ) ~<_ ( a X. b ) ) |
78 |
11 12 76 77
|
mp3an12i |
|- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) -> ( a u. b ) ~<_ ( a X. b ) ) |
79 |
78
|
3expia |
|- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) ) -> ( ( -. m = n /\ -. s = t ) -> ( a u. b ) ~<_ ( a X. b ) ) ) |
80 |
79
|
rexlimdvva |
|- ( ( m e. a /\ s e. b ) -> ( E. n e. a E. t e. b ( -. m = n /\ -. s = t ) -> ( a u. b ) ~<_ ( a X. b ) ) ) |
81 |
8 80
|
syl5bir |
|- ( ( m e. a /\ s e. b ) -> ( ( E. n e. a -. m = n /\ E. t e. b -. s = t ) -> ( a u. b ) ~<_ ( a X. b ) ) ) |
82 |
81
|
rexlimivv |
|- ( E. m e. a E. s e. b ( E. n e. a -. m = n /\ E. t e. b -. s = t ) -> ( a u. b ) ~<_ ( a X. b ) ) |
83 |
7 82
|
sylbir |
|- ( ( E. m e. a E. n e. a -. m = n /\ E. s e. b E. t e. b -. s = t ) -> ( a u. b ) ~<_ ( a X. b ) ) |
84 |
4 6 83
|
syl2anb |
|- ( ( 1o ~< a /\ 1o ~< b ) -> ( a u. b ) ~<_ ( a X. b ) ) |