Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2lplnja.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
2lplnja.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
2lplnja.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
2lplnja.v |
⊢ 𝑉 = ( LVols ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 ) |
6 |
|
simp11l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
7 |
6
|
hllatd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
8 |
|
simp121 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
9 |
|
simp122 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 ) |
10 |
5 2 3
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
11 |
6 8 9 10
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
12 |
|
simp123 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 ) |
13 |
5 3
|
atbase |
⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
14 |
12 13
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
15 |
5 2
|
latjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
16 |
7 11 14 15
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
17 |
|
simp2l1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 ) |
18 |
|
simp2l2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 ) |
19 |
5 2 3
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
20 |
6 17 18 19
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
21 |
|
simp2l3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 ) |
22 |
5 3
|
atbase |
⊢ ( 𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
23 |
21 22
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
24 |
5 2
|
latjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
25 |
7 20 23 24
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
26 |
5 2
|
latjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
27 |
7 16 25 26
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
28 |
|
simp11r |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝑉 ) |
29 |
5 4
|
lvolbase |
⊢ ( 𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
30 |
28 29
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
31 |
|
simp31 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ) |
32 |
|
simp32 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ) |
33 |
5 1 2
|
latjle12 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ) ↔ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ≤ 𝑊 ) ) |
34 |
7 16 25 30 33
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ) ↔ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ≤ 𝑊 ) ) |
35 |
31 32 34
|
mpbi2and |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ≤ 𝑊 ) |
36 |
5 1 2
|
latlej2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → 𝑈 ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) |
37 |
7 20 23 36
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑈 ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) |
38 |
5 1 7 23 25 30 37 32
|
lattrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑈 ≤ 𝑊 ) |
39 |
5 1 2
|
latjle12 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ↔ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ) ) |
40 |
7 16 23 30 39
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ↔ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ) ) |
41 |
31 38 40
|
mpbi2and |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ) |
42 |
41
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ) |
43 |
6
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
44 |
6 8 9
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ) |
45 |
44
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ) |
46 |
12 21
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) |
47 |
46
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) |
48 |
|
simp13l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 ) |
49 |
48
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 ) |
50 |
|
simp13r |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) |
51 |
50
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) |
52 |
|
simp33 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) |
53 |
52
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) |
54 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) |
55 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) |
56 |
5 3
|
atbase |
⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
57 |
17 56
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
58 |
5 3
|
atbase |
⊢ ( 𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
59 |
18 58
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
60 |
5 1 2
|
latjle12 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ↔ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) |
61 |
7 57 59 16 60
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ↔ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) |
62 |
61
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ↔ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) |
63 |
54 55 62
|
mpbi2and |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) |
64 |
63
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑈 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) |
65 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑈 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑈 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) |
66 |
5 1 2
|
latjle12 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ↔ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) |
67 |
7 20 23 16 66
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ↔ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) |
68 |
67
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑈 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑈 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ↔ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) |
69 |
64 65 68
|
mpbi2and |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑈 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) |
70 |
|
simp2l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) |
71 |
|
simp12 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) |
72 |
|
simp2rr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) |
73 |
|
simp2rl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑆 ≠ 𝑇 ) |
74 |
1 2 3
|
3at |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ↔ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) |
75 |
6 70 71 72 73 74
|
syl32anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ↔ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) |
76 |
75
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑈 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ↔ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) |
77 |
69 76
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑈 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) |
78 |
77
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑈 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) |
79 |
78
|
ex |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑈 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) |
80 |
79
|
necon3ad |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) → ¬ 𝑈 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) |
81 |
53 80
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ¬ 𝑈 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) |
82 |
1 2 3 4
|
lvoli2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑉 ) |
83 |
45 47 49 51 81 82
|
syl113anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑉 ) |
84 |
28
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑊 ∈ 𝑉 ) |
85 |
1 4
|
lvolcmp |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑈 ) ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ↔ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑈 ) = 𝑊 ) ) |
86 |
43 83 84 85
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ↔ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑈 ) = 𝑊 ) ) |
87 |
42 86
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑈 ) = 𝑊 ) |
88 |
5 1 2
|
latjlej2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( 𝑈 ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑈 ) ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ) |
89 |
7 23 25 16 88
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( 𝑈 ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑈 ) ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ) |
90 |
37 89
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑈 ) ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) |
91 |
90
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑈 ) ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) |
92 |
87 91
|
eqbrtrrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑊 ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) |
93 |
5 2 3
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
94 |
6 17 21 93
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
95 |
5 1 2
|
latlej2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑇 ) ) |
96 |
7 94 59 95
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑇 ) ) |
97 |
2 3
|
hlatj32 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑇 ) ) |
98 |
6 17 18 21 97
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑇 ) ) |
99 |
96 98
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) |
100 |
5 1 7 59 25 30 99 32
|
lattrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑇 ≤ 𝑊 ) |
101 |
5 1 2
|
latjle12 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ↔ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑇 ) ≤ 𝑊 ) ) |
102 |
7 16 59 30 101
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ 𝑇 ≤ 𝑊 ) ↔ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑇 ) ≤ 𝑊 ) ) |
103 |
31 100 102
|
mpbi2and |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑇 ) ≤ 𝑊 ) |
104 |
103
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑇 ) ≤ 𝑊 ) |
105 |
6
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
106 |
44
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ) |
107 |
12 18
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) |
108 |
107
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) |
109 |
48
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 ) |
110 |
50
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) |
111 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) |
112 |
1 2 3 4
|
lvoli2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑇 ) ∈ 𝑉 ) |
113 |
106 108 109 110 111 112
|
syl113anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑇 ) ∈ 𝑉 ) |
114 |
28
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑊 ∈ 𝑉 ) |
115 |
1 4
|
lvolcmp |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑇 ) ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑇 ) ≤ 𝑊 ↔ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑇 ) = 𝑊 ) ) |
116 |
105 113 114 115
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑇 ) ≤ 𝑊 ↔ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑇 ) = 𝑊 ) ) |
117 |
104 116
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑇 ) = 𝑊 ) |
118 |
5 1 2
|
latjlej2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( 𝑇 ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ) |
119 |
7 59 25 16 118
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( 𝑇 ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ) |
120 |
99 119
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) |
121 |
120
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) |
122 |
117 121
|
eqbrtrrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ∧ ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑊 ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) |
123 |
92 122
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑊 ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) |
124 |
5 2 3
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
125 |
6 18 21 124
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
126 |
5 1 2
|
latlej1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → 𝑆 ≤ ( 𝑆 ∨ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ) |
127 |
7 57 125 126
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑆 ≤ ( 𝑆 ∨ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ) |
128 |
5 2
|
latjass |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) = ( 𝑆 ∨ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ) |
129 |
7 57 59 23 128
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) = ( 𝑆 ∨ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ) |
130 |
127 129
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑆 ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) |
131 |
5 1 7 57 25 30 130 32
|
lattrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑆 ≤ 𝑊 ) |
132 |
5 1 2
|
latjle12 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ↔ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ≤ 𝑊 ) ) |
133 |
7 16 57 30 132
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ↔ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ≤ 𝑊 ) ) |
134 |
31 131 133
|
mpbi2and |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ≤ 𝑊 ) |
135 |
134
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ≤ 𝑊 ) |
136 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
137 |
44
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ) |
138 |
12 17
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) |
139 |
138
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) |
140 |
48
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 ) |
141 |
50
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) |
142 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) |
143 |
1 2 3 4
|
lvoli2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∈ 𝑉 ) |
144 |
137 139 140 141 142 143
|
syl113anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∈ 𝑉 ) |
145 |
28
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑊 ∈ 𝑉 ) |
146 |
1 4
|
lvolcmp |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ≤ 𝑊 ↔ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) = 𝑊 ) ) |
147 |
136 144 145 146
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ≤ 𝑊 ↔ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) = 𝑊 ) ) |
148 |
135 147
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) = 𝑊 ) |
149 |
5 1 2
|
latjlej2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( 𝑆 ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ) |
150 |
7 57 25 16 149
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( 𝑆 ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ) |
151 |
130 150
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) |
152 |
151
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) |
153 |
148 152
|
eqbrtrrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑊 ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) |
154 |
123 153
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑊 ≤ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) |
155 |
5 1 7 27 30 35 154
|
latasymd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ≤ 𝑊 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≠ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) = 𝑊 ) |