Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fveere |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
2 |
1
|
3ad2antl1 |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
3 |
|
fveere |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
4 |
3
|
3ad2antl2 |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
5 |
|
fveere |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
6 |
5
|
3ad2antl3 |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
7 |
4 6
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ ) |
8 |
2 7
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ ℝ ) |
9 |
8
|
ralrimiva |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ ℝ ) |
10 |
|
eleenn |
⊢ ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
11 |
|
mptelee |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ ℝ ) ) |
12 |
10 11
|
syl |
⊢ ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ ℝ ) ) |
13 |
12
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ ℝ ) ) |
14 |
9 13
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
15 |
|
fveecn |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
16 |
15
|
3ad2antl1 |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
17 |
|
fveecn |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
18 |
17
|
3ad2antl2 |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
19 |
|
fveecn |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
20 |
19
|
3ad2antl3 |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
21 |
|
1m0e1 |
⊢ ( 1 − 0 ) = 1 |
22 |
21
|
oveq1i |
⊢ ( ( 1 − 0 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) = ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) |
23 |
|
mulid2 |
⊢ ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ → ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) |
24 |
23
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) → ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) |
25 |
22 24
|
syl5eq |
⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 0 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) |
26 |
|
subcl |
⊢ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ ) |
27 |
|
subcl |
⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℂ ) |
28 |
26 27
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℂ ) |
29 |
28
|
3impb |
⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℂ ) |
30 |
29
|
mul02d |
⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) → ( 0 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = 0 ) |
31 |
25 30
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 1 − 0 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 0 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) + 0 ) ) |
32 |
|
addid1 |
⊢ ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) + 0 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) |
33 |
32
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) + 0 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) |
34 |
31 33
|
eqtr2d |
⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 0 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 0 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) |
35 |
16 18 20 34
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 0 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 0 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) |
36 |
35
|
ralrimiva |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 0 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 0 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) |
37 |
18 20
|
subcld |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ ) |
38 |
16 37
|
nncand |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) |
39 |
38
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) |
40 |
39
|
sumeq2dv |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) |
41 |
|
0elunit |
⊢ 0 ∈ ( 0 [,] 1 ) |
42 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) → ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) |
43 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) |
44 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) |
45 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) |
46 |
44 45
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) |
47 |
43 46
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
48 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
49 |
|
ovex |
⊢ ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ V |
50 |
47 48 49
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
51 |
42 50
|
sylan9eq |
⊢ ( ( 𝑥 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
52 |
51
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑥 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
53 |
52
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑥 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) |
54 |
53
|
eqeq2d |
⊢ ( ( 𝑥 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) |
55 |
54
|
ralbidva |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) |
56 |
51
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑥 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
57 |
56
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑥 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) |
58 |
57
|
sumeq2dv |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) |
59 |
58
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) → ( Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ↔ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
60 |
55 59
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
61 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑡 = 0 → ( 1 − 𝑡 ) = ( 1 − 0 ) ) |
62 |
61
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑡 = 0 → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 1 − 0 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) |
63 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑡 = 0 → ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( 0 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
64 |
62 63
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑡 = 0 → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 − 0 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 0 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) |
65 |
64
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑡 = 0 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 0 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 0 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) |
66 |
65
|
ralbidv |
⊢ ( 𝑡 = 0 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 0 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 0 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) |
67 |
66
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑡 = 0 → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 0 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 0 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
68 |
60 67
|
rspc2ev |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 0 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 0 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 0 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
69 |
41 68
|
mp3an2 |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 0 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 0 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
70 |
14 36 40 69
|
syl12anc |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
71 |
70
|
3expb |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
72 |
71
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
73 |
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fveq1 |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) |
74 |
73
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) |
75 |
74
|
oveq1d |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
76 |
75
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
77 |
76
|
ralbidv |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
78 |
77
|
anbi1d |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
79 |
78
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
80 |
72 79
|
syl5ibr |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
81 |
80
|
imp |
⊢ ( ( 𝐴 = 𝐵 ∧ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) |