| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
ccatfval |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( 𝐴 ++ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 2 |
1
|
eleq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( ( 𝐴 ++ 𝐵 ) ∈ Word 𝑆 ↔ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ∈ Word 𝑆 ) ) |
| 3 |
|
wrdf |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ∈ Word 𝑆 → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) ⟶ 𝑆 ) |
| 4 |
|
funmpt |
⊢ Fun ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
| 5 |
|
fzofi |
⊢ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ∈ Fin |
| 6 |
|
mptfi |
⊢ ( ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ∈ Fin → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ∈ Fin ) |
| 7 |
5 6
|
ax-mp |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ∈ Fin |
| 8 |
|
hashfun |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ∈ Fin → ( Fun ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ↔ ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ♯ ‘ dom ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 9 |
7 8
|
mp1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( Fun ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ↔ ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ♯ ‘ dom ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 10 |
4 9
|
mpbii |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ♯ ‘ dom ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
| 11 |
|
dmmptg |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ V → dom ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) = ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
| 12 |
|
fvex |
⊢ ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) ∈ V |
| 13 |
|
fvex |
⊢ ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ V |
| 14 |
12 13
|
ifex |
⊢ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ V |
| 15 |
14
|
a1i |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ V ) |
| 16 |
11 15
|
mprg |
⊢ dom ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) = ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) |
| 17 |
16
|
fveq2i |
⊢ ( ♯ ‘ dom ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ♯ ‘ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
| 18 |
|
lencl |
⊢ ( 𝐴 ∈ Word V → ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℕ0 ) |
| 19 |
|
lencl |
⊢ ( 𝐵 ∈ Word V → ( ♯ ‘ 𝐵 ) ∈ ℕ0 ) |
| 20 |
|
nn0addcl |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℕ0 ) |
| 21 |
18 19 20
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℕ0 ) |
| 22 |
|
hashfzo0 |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) |
| 23 |
21 22
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( ♯ ‘ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) |
| 24 |
17 23
|
eqtrid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( ♯ ‘ dom ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) |
| 25 |
10 24
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) |
| 26 |
25
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) = ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
| 27 |
26
|
feq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) ⟶ 𝑆 ↔ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) : ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ⟶ 𝑆 ) ) |
| 28 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
| 29 |
28
|
fmpt |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 ↔ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) : ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ⟶ 𝑆 ) |
| 30 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → 𝐴 ∈ Word V ) |
| 31 |
|
nn0cn |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 32 |
|
nn0cn |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝐵 ) ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
| 33 |
|
addcom |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ∈ ℂ ) → ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐵 ) + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 34 |
31 32 33
|
syl2an |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐵 ) + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 35 |
|
nn0z |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℤ ) |
| 36 |
35
|
anim1ci |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ♯ ‘ 𝐵 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℤ ) ) |
| 37 |
|
nn0pzuz |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝐵 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℤ ) → ( ( ♯ ‘ 𝐵 ) + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 38 |
36 37
|
syl |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ♯ ‘ 𝐵 ) + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 39 |
34 38
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 40 |
18 19 39
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 41 |
|
fzoss2 |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
| 42 |
40 41
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
| 43 |
42
|
sselda |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
| 44 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ↔ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
| 45 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑦 ) ) |
| 46 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) = ( 𝐵 ‘ ( 𝑦 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
| 47 |
44 45 46
|
ifbieq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) = if ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑦 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑦 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
| 48 |
47
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 ↔ if ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑦 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑦 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 ) ) |
| 49 |
48
|
rspcv |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 → if ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑦 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑦 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 ) ) |
| 50 |
43 49
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 → if ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑦 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑦 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 ) ) |
| 51 |
|
iftrue |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → if ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑦 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑦 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( 𝐴 ‘ 𝑦 ) ) |
| 52 |
51
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) → if ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑦 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑦 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( 𝐴 ‘ 𝑦 ) ) |
| 53 |
52
|
eleq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) → ( if ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑦 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑦 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 ↔ ( 𝐴 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) ) |
| 54 |
50 53
|
sylibd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 → ( 𝐴 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) ) |
| 55 |
54
|
impancom |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 ) → ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) ) |
| 56 |
55
|
ralrimiv |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) |
| 57 |
|
iswrdsymb |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ ∀ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) → 𝐴 ∈ Word 𝑆 ) |
| 58 |
30 56 57
|
syl2an2r |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 ) → 𝐴 ∈ Word 𝑆 ) |
| 59 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → 𝐵 ∈ Word V ) |
| 60 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) |
| 61 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℕ0 ) |
| 62 |
61
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℕ0 ) |
| 63 |
|
elincfzoext |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐵 ) + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
| 64 |
60 62 63
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐵 ) + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
| 65 |
18
|
nn0cnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ Word V → ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 66 |
19
|
nn0cnd |
⊢ ( 𝐵 ∈ Word V → ( ♯ ‘ 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
| 67 |
65 66 33
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐵 ) + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 68 |
67
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) = ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐵 ) + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
| 69 |
68
|
eleq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↔ ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐵 ) + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
| 70 |
69
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↔ ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐵 ) + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
| 71 |
64 70
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
| 72 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ↔ ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
| 73 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐴 ‘ ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
| 74 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) = ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
| 75 |
72 73 74
|
ifbieq12d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) = if ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) , ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
| 76 |
75
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 ↔ if ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) , ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 ) ) |
| 77 |
76
|
rspcv |
⊢ ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 → if ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) , ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 ) ) |
| 78 |
71 77
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 → if ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) , ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 ) ) |
| 79 |
18
|
nn0red |
⊢ ( 𝐴 ∈ Word V → ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
| 80 |
79
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
| 81 |
80
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
| 82 |
|
elfzoelz |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) → 𝑦 ∈ ℤ ) |
| 83 |
82
|
zred |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
| 84 |
83
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
| 85 |
80
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ) → ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
| 86 |
84 85
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ) → ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
| 87 |
86
|
ancoms |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
| 88 |
|
elfzole1 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) → 0 ≤ 𝑦 ) |
| 89 |
88
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → 0 ≤ 𝑦 ) |
| 90 |
|
addge02 |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ 𝑦 ↔ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ≤ ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
| 91 |
80 83 90
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ( 0 ≤ 𝑦 ↔ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ≤ ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
| 92 |
89 91
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ♯ ‘ 𝐴 ) ≤ ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 93 |
81 87 92
|
lensymd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ¬ ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) |
| 94 |
93
|
intn3an3d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ¬ ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℕ ∧ ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 95 |
|
elfzo0 |
⊢ ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℕ ∧ ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 96 |
94 95
|
sylnibr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ¬ ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 97 |
96
|
iffalsed |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → if ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) , ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
| 98 |
97
|
eleq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ( if ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) , ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 ↔ ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ 𝑆 ) ) |
| 99 |
82
|
zcnd |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) → 𝑦 ∈ ℂ ) |
| 100 |
65
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 101 |
|
pncan |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) = 𝑦 ) |
| 102 |
99 100 101
|
syl2anr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) = 𝑦 ) |
| 103 |
102
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) = ( 𝐵 ‘ 𝑦 ) ) |
| 104 |
103
|
eleq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ 𝑆 ↔ ( 𝐵 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) ) |
| 105 |
104
|
biimpd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ 𝑆 → ( 𝐵 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) ) |
| 106 |
98 105
|
sylbid |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ( if ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) , ( 𝐵 ‘ ( ( 𝑦 + ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 → ( 𝐵 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) ) |
| 107 |
78 106
|
syld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 → ( 𝐵 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) ) |
| 108 |
107
|
impancom |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 ) → ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) ) |
| 109 |
108
|
ralrimiv |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ( 𝐵 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) |
| 110 |
|
iswrdsymb |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Word V ∧ ∀ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ( 𝐵 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) → 𝐵 ∈ Word 𝑆 ) |
| 111 |
59 109 110
|
syl2an2r |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 ) → 𝐵 ∈ Word 𝑆 ) |
| 112 |
58 111
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 ) → ( 𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆 ) ) |
| 113 |
112
|
ex |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ 𝑆 → ( 𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆 ) ) ) |
| 114 |
29 113
|
syl5bir |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) : ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ⟶ 𝑆 → ( 𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆 ) ) ) |
| 115 |
27 114
|
sylbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) ⟶ 𝑆 → ( 𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆 ) ) ) |
| 116 |
3 115
|
syl5 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) + ( ♯ ‘ 𝐵 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , ( 𝐴 ‘ 𝑥 ) , ( 𝐵 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ∈ Word 𝑆 → ( 𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆 ) ) ) |
| 117 |
2 116
|
sylbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( ( 𝐴 ++ 𝐵 ) ∈ Word 𝑆 → ( 𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆 ) ) ) |
| 118 |
|
ccatcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆 ) → ( 𝐴 ++ 𝐵 ) ∈ Word 𝑆 ) |
| 119 |
117 118
|
impbid1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ) → ( ( 𝐴 ++ 𝐵 ) ∈ Word 𝑆 ↔ ( 𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆 ) ) ) |