Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cncfco.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ( 𝐴 –cn→ 𝐵 ) ) |
2 |
|
cncfco.5 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ ( 𝐵 –cn→ 𝐶 ) ) |
3 |
|
cncff |
⊢ ( 𝐺 ∈ ( 𝐵 –cn→ 𝐶 ) → 𝐺 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ) |
4 |
2 3
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ) |
5 |
|
cncff |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( 𝐴 –cn→ 𝐵 ) → 𝐹 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) |
6 |
1 5
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) |
7 |
|
fco |
⊢ ( ( 𝐺 : 𝐵 ⟶ 𝐶 ∧ 𝐹 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) → ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) : 𝐴 ⟶ 𝐶 ) |
8 |
4 6 7
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) : 𝐴 ⟶ 𝐶 ) |
9 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) → 𝐺 ∈ ( 𝐵 –cn→ 𝐶 ) ) |
10 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) → 𝐹 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) |
11 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) |
12 |
10 11
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) |
13 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑦 ∈ ℝ+ ) |
14 |
|
cncfi |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ ( 𝐵 –cn→ 𝐶 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑢 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑣 − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) ) |
15 |
9 12 13 14
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) → ∃ 𝑢 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑣 − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) ) |
16 |
1
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) → 𝐹 ∈ ( 𝐴 –cn→ 𝐵 ) ) |
17 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) |
18 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) → 𝑢 ∈ ℝ+ ) |
19 |
|
cncfi |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐴 –cn→ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑤 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 ) ) |
20 |
16 17 18 19
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑤 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 ) ) |
21 |
6
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐹 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) |
22 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐴 ) |
23 |
21 22
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) ∈ 𝐵 ) |
24 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) → ( abs ‘ ( 𝑣 − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
25 |
24
|
breq1d |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) → ( ( abs ‘ ( 𝑣 − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 ) ) |
26 |
25
|
imbrov2fvoveq |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑣 − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) ↔ ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) ) ) |
27 |
26
|
rspcv |
⊢ ( ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) ∈ 𝐵 → ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑣 − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) ) ) |
28 |
23 27
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ) → ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑣 − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) ) ) |
29 |
|
fvco3 |
⊢ ( ( 𝐹 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑤 ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) ) |
30 |
21 22 29
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑤 ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) ) |
31 |
17
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) |
32 |
|
fvco3 |
⊢ ( ( 𝐹 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) |
33 |
21 31 32
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) |
34 |
30 33
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑤 ) − ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
35 |
34
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑤 ) − ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
36 |
35
|
breq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑤 ) − ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑦 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) ) |
37 |
36
|
imbi2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑤 ) − ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑦 ) ↔ ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) ) ) |
38 |
28 37
|
sylibrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ) → ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑣 − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑤 ) − ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑦 ) ) ) |
39 |
38
|
imp |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑣 − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑤 ) − ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑦 ) ) |
40 |
39
|
an32s |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑣 − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑤 ) − ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑦 ) ) |
41 |
40
|
imim2d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑣 − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 ) → ( ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑤 ) − ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑦 ) ) ) |
42 |
41
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑣 − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 ) → ( ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑤 ) − ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑦 ) ) ) |
43 |
42
|
ralimdva |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑣 − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ) → ( ∀ 𝑤 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 ) → ∀ 𝑤 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑤 ) − ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑦 ) ) ) |
44 |
43
|
reximdva |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑣 − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑤 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑤 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑤 ) − ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑦 ) ) ) |
45 |
44
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) → ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑣 − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑤 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑤 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑤 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑤 ) − ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑦 ) ) ) ) |
46 |
20 45
|
mpid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+ ) → ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑣 − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑤 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑤 ) − ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑦 ) ) ) |
47 |
46
|
rexlimdva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) → ( ∃ 𝑢 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( abs ‘ ( 𝑣 − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑢 → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) < 𝑦 ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑤 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑤 ) − ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑦 ) ) ) |
48 |
15 47
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑤 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑤 ) − ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑦 ) ) |
49 |
48
|
ralrimivva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑤 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑤 ) − ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑦 ) ) |
50 |
|
cncfrss |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( 𝐴 –cn→ 𝐵 ) → 𝐴 ⊆ ℂ ) |
51 |
1 50
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ ) |
52 |
|
cncfrss2 |
⊢ ( 𝐺 ∈ ( 𝐵 –cn→ 𝐶 ) → 𝐶 ⊆ ℂ ) |
53 |
2 52
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ ) |
54 |
|
elcncf2 |
⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ⊆ ℂ ) → ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ∈ ( 𝐴 –cn→ 𝐶 ) ↔ ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) : 𝐴 ⟶ 𝐶 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑤 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑤 ) − ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑦 ) ) ) ) |
55 |
51 53 54
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ∈ ( 𝐴 –cn→ 𝐶 ) ↔ ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) : 𝐴 ⟶ 𝐶 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑤 ∈ 𝐴 ( ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) < 𝑧 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑤 ) − ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑦 ) ) ) ) |
56 |
8 49 55
|
mpbir2and |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ∈ ( 𝐴 –cn→ 𝐶 ) ) |