| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
gpg5nbgrvtx03starlem1.j |
⊢ 𝐽 = ( 1 ..^ ( ⌈ ‘ ( 𝑁 / 2 ) ) ) |
| 2 |
|
gpg5nbgrvtx03starlem1.g |
⊢ 𝐺 = ( 𝑁 gPetersenGr 𝐾 ) |
| 3 |
|
gpg5nbgrvtx03starlem1.v |
⊢ 𝑉 = ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
| 4 |
|
gpg5nbgrvtx03starlem1.e |
⊢ 𝐸 = ( Edg ‘ 𝐺 ) |
| 5 |
|
opex |
⊢ ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ∈ V |
| 6 |
|
opex |
⊢ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V |
| 7 |
5 6
|
pm3.2i |
⊢ ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) |
| 8 |
|
opex |
⊢ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V |
| 9 |
|
opex |
⊢ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V |
| 10 |
8 9
|
pm3.2i |
⊢ ( ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) |
| 11 |
7 10
|
pm3.2i |
⊢ ( ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ∧ ( ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ) |
| 12 |
|
ax-1ne0 |
⊢ 1 ≠ 0 |
| 13 |
12
|
orci |
⊢ ( 1 ≠ 0 ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) |
| 14 |
|
1ex |
⊢ 1 ∈ V |
| 15 |
|
ovex |
⊢ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ∈ V |
| 16 |
14 15
|
opthne |
⊢ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ↔ ( 1 ≠ 0 ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 17 |
13 16
|
mpbir |
⊢ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ |
| 18 |
12
|
orci |
⊢ ( 1 ≠ 0 ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
| 19 |
14 15
|
opthne |
⊢ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ↔ ( 1 ≠ 0 ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ) ) |
| 20 |
18 19
|
mpbir |
⊢ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ |
| 21 |
17 20
|
pm3.2i |
⊢ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) |
| 22 |
21
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ) |
| 23 |
22
|
olcd |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ∨ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ) ) |
| 24 |
|
prneimg |
⊢ ( ( ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ∧ ( ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ) → ( ( ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ∨ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ) → { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 25 |
11 23 24
|
mpsyl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) |
| 26 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑋 = 𝑥 → ( 𝑋 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ↔ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) |
| 27 |
26
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑋 = 𝑥 ∧ ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ) → ( 𝑋 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ↔ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) |
| 28 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) → 𝑁 = 5 ) |
| 29 |
28
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) → ( 0 ..^ 𝑁 ) = ( 0 ..^ 5 ) ) |
| 30 |
29
|
eleq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) → ( 𝑋 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ↔ 𝑋 ∈ ( 0 ..^ 5 ) ) ) |
| 31 |
30
|
biimpa |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑋 ∈ ( 0 ..^ 5 ) ) |
| 32 |
|
5nn |
⊢ 5 ∈ ℕ |
| 33 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑁 = 5 → ( 𝑁 ∈ ℕ ↔ 5 ∈ ℕ ) ) |
| 34 |
32 33
|
mpbiri |
⊢ ( 𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
| 35 |
1
|
ceilhalfelfzo1 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) |
| 36 |
34 35
|
syl |
⊢ ( 𝑁 = 5 → ( 𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) ) |
| 37 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑁 = 5 → ( 1 ..^ 𝑁 ) = ( 1 ..^ 5 ) ) |
| 38 |
37
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑁 = 5 → ( 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ↔ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 5 ) ) ) |
| 39 |
36 38
|
sylibd |
⊢ ( 𝑁 = 5 → ( 𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 5 ) ) ) |
| 40 |
39
|
imp |
⊢ ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) → 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 5 ) ) |
| 41 |
40
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 5 ) ) |
| 42 |
|
minusmod5ne |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ( 0 ..^ 5 ) ∧ 𝐾 ∈ ( 1 ..^ 5 ) ) → ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 5 ) ≠ 𝑋 ) |
| 43 |
31 41 42
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 5 ) ≠ 𝑋 ) |
| 44 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑁 = 5 → ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 5 ) ) |
| 45 |
44
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑁 = 5 → ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑋 ↔ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 5 ) ≠ 𝑋 ) ) |
| 46 |
45
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) → ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑋 ↔ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 5 ) ≠ 𝑋 ) ) |
| 47 |
46
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑋 ↔ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 5 ) ≠ 𝑋 ) ) |
| 48 |
43 47
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑋 ) |
| 49 |
48
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) → ( 𝑋 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑋 ) ) |
| 50 |
49
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑋 = 𝑥 ∧ ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ) → ( 𝑋 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑋 ) ) |
| 51 |
27 50
|
sylbird |
⊢ ( ( 𝑋 = 𝑥 ∧ ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑋 ) ) |
| 52 |
51
|
impr |
⊢ ( ( 𝑋 = 𝑥 ∧ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑋 ) |
| 53 |
|
neeq2 |
⊢ ( 𝑋 = 𝑥 → ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑋 ↔ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 54 |
53
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑋 = 𝑥 ∧ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑋 ↔ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 55 |
52 54
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑋 = 𝑥 ∧ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) |
| 56 |
55
|
orcd |
⊢ ( ( 𝑋 = 𝑥 ∧ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥 ) ) |
| 57 |
56
|
ex |
⊢ ( 𝑋 = 𝑥 → ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥 ) ) ) |
| 58 |
|
olc |
⊢ ( 𝑋 ≠ 𝑥 → ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥 ) ) |
| 59 |
58
|
a1d |
⊢ ( 𝑋 ≠ 𝑥 → ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥 ) ) ) |
| 60 |
57 59
|
pm2.61ine |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥 ) ) |
| 61 |
14 15
|
opthne |
⊢ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ↔ ( 1 ≠ 1 ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 62 |
|
neirr |
⊢ ¬ 1 ≠ 1 |
| 63 |
62
|
biorfi |
⊢ ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ↔ ( 1 ≠ 1 ∨ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 64 |
61 63
|
bitr4i |
⊢ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ↔ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) |
| 65 |
64
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ↔ ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ) ) |
| 66 |
|
c0ex |
⊢ 0 ∈ V |
| 67 |
66
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) → 0 ∈ V ) |
| 68 |
67
|
anim1i |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) → ( 0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ) |
| 69 |
68
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ) |
| 70 |
|
opthneg |
⊢ ( ( 0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) → ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ↔ ( 0 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥 ) ) ) |
| 71 |
69 70
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ↔ ( 0 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥 ) ) ) |
| 72 |
|
neirr |
⊢ ¬ 0 ≠ 0 |
| 73 |
72
|
biorfi |
⊢ ( 𝑋 ≠ 𝑥 ↔ ( 0 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥 ) ) |
| 74 |
71 73
|
bitr4di |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ↔ 𝑋 ≠ 𝑥 ) ) |
| 75 |
65 74
|
orbi12d |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ) ↔ ( ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥 ) ) ) |
| 76 |
60 75
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ) ) |
| 77 |
76
|
orcomd |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ) ) |
| 78 |
|
0ne1 |
⊢ 0 ≠ 1 |
| 79 |
78
|
orci |
⊢ ( 0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥 ) |
| 80 |
|
opthneg |
⊢ ( ( 0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) → ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ↔ ( 0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥 ) ) ) |
| 81 |
69 80
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ↔ ( 0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥 ) ) ) |
| 82 |
79 81
|
mpbiri |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ) |
| 83 |
82
|
orcd |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ) ) |
| 84 |
77 83
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ) ) ) |
| 85 |
|
opex |
⊢ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V |
| 86 |
8 85
|
pm3.2i |
⊢ ( ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V ) |
| 87 |
7 86
|
pm3.2i |
⊢ ( ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ∧ ( ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V ) ) |
| 88 |
|
prneimg2 |
⊢ ( ( ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ∧ ( ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V ) ) → ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ↔ ( ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ) ) ) ) |
| 89 |
87 88
|
mp1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ↔ ( ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ) ∧ ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∨ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ ) ) ) ) |
| 90 |
84 89
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ) |
| 91 |
|
opex |
⊢ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V |
| 92 |
85 91
|
pm3.2i |
⊢ ( ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) |
| 93 |
7 92
|
pm3.2i |
⊢ ( ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ∧ ( ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ) |
| 94 |
78
|
orci |
⊢ ( 0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) |
| 95 |
|
opthneg |
⊢ ( ( 0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) → ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ↔ ( 0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) ) ) |
| 96 |
69 95
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ↔ ( 0 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ) ) ) |
| 97 |
94 96
|
mpbiri |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) |
| 98 |
82 97
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ) |
| 99 |
98
|
orcd |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ∨ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ) ) |
| 100 |
|
prneimg |
⊢ ( ( ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ∧ ( ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∈ V ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ∈ V ) ) → ( ( ( ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ∨ ( ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ≠ ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ ) ) → { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 101 |
93 99 100
|
mpsyl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) |
| 102 |
25 90 101
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 103 |
102
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 104 |
|
ralnex |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ¬ ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ↔ ¬ ∃ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 105 |
|
3ioran |
⊢ ( ¬ ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ↔ ( ¬ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ ¬ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ ¬ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 106 |
|
df-ne |
⊢ ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ↔ ¬ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) |
| 107 |
|
df-ne |
⊢ ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ↔ ¬ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ) |
| 108 |
|
df-ne |
⊢ ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ↔ ¬ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) |
| 109 |
106 107 108
|
3anbi123i |
⊢ ( ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ↔ ( ¬ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ ¬ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ ¬ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 110 |
105 109
|
bitr4i |
⊢ ( ¬ ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ↔ ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 111 |
110
|
ralbii |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ¬ ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 112 |
104 111
|
bitr3i |
⊢ ( ¬ ∃ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∧ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ≠ { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 113 |
103 112
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) → ¬ ∃ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) |
| 114 |
|
5eluz3 |
⊢ 5 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) |
| 115 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑁 = 5 → ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ↔ 5 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) |
| 116 |
114 115
|
mpbiri |
⊢ ( 𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) |
| 117 |
|
eqid |
⊢ ( 0 ..^ 𝑁 ) = ( 0 ..^ 𝑁 ) |
| 118 |
117 1 2 4
|
gpgedgel |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) → ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∈ 𝐸 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) ) |
| 119 |
116 118
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) → ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∈ 𝐸 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) ) |
| 120 |
119
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) → ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∈ 𝐸 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 0 , ( ( 𝑥 + 1 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 0 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ } ∨ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } = { ⟨ 1 , 𝑥 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑥 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ) ) ) |
| 121 |
113 120
|
mtbird |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) → ¬ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∈ 𝐸 ) |
| 122 |
|
df-nel |
⊢ ( { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∉ 𝐸 ↔ ¬ { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∈ 𝐸 ) |
| 123 |
121 122
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝑁 = 5 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ) → { ⟨ 0 , 𝑋 ⟩ , ⟨ 1 , ( ( 𝑋 − 𝐾 ) mod 𝑁 ) ⟩ } ∉ 𝐸 ) |