Theorem hdmapglem7

Description: Lemma for hdmapg . Line 15 in Baer p. 111, f(x,y) alpha = f(y,x). In the proof, our E , ( O{ E } ) , X , Y , k , u , l , and v correspond respectively to Baer's w, H, x, y, x', x'', y', and y'', and our ( ( SY )X ) corresponds to Baer's f(x,y). (Contributed by NM, 14-Jun-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	hdmapglem7.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	hdmapglem7.e	⊢ 𝐸 = ⟨ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) , ( I ↾ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ⟩
	hdmapglem7.o	⊢ 𝑂 = ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	hdmapglem7.u	⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	hdmapglem7.v	⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 )
	hdmapglem7.p	⊢ + = ( +g ‘ 𝑈 )
	hdmapglem7.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑈 )
	hdmapglem7.r	⊢ 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑈 )
	hdmapglem7.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
	hdmapglem7.a	⊢ ⊕ = ( LSSum ‘ 𝑈 )
	hdmapglem7.n	⊢ 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑈 )
	hdmapglem7.k	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
	hdmapglem7.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉 )
	hdmapglem7.t	⊢ × = ( .r ‘ 𝑅 )
	hdmapglem7.z	⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 )
	hdmapglem7.c	⊢ ✚ = ( +g ‘ 𝑅 )
	hdmapglem7.s	⊢ 𝑆 = ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	hdmapglem7.g	⊢ 𝐺 = ( ( HGMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	hdmapglem7.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉 )
Assertion	hdmapglem7	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝑆 ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑌 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapglem7.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2		hdmapglem7.e	⊢ 𝐸 = ⟨ ( I ↾ ( Base ‘ 𝐾 ) ) , ( I ↾ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ⟩
3		hdmapglem7.o	⊢ 𝑂 = ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4		hdmapglem7.u	⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5		hdmapglem7.v	⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 )
6		hdmapglem7.p	⊢ + = ( +g ‘ 𝑈 )
7		hdmapglem7.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑈 )
8		hdmapglem7.r	⊢ 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑈 )
9		hdmapglem7.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
10		hdmapglem7.a	⊢ ⊕ = ( LSSum ‘ 𝑈 )
11		hdmapglem7.n	⊢ 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑈 )
12		hdmapglem7.k	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
13		hdmapglem7.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉 )
14		hdmapglem7.t	⊢ × = ( .r ‘ 𝑅 )
15		hdmapglem7.z	⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 )
16		hdmapglem7.c	⊢ ✚ = ( +g ‘ 𝑅 )
17		hdmapglem7.s	⊢ 𝑆 = ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
18		hdmapglem7.g	⊢ 𝐺 = ( ( HGMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
19		hdmapglem7.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉 )
20	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13	hdmapglem7a	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∃ 𝑘 ∈ 𝐵 𝑋 = ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) )
21	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19	hdmapglem7a	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∃ 𝑙 ∈ 𝐵 𝑌 = ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) )
22	12	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
23	1 4 12	dvhlmod	⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ LMod )
24	8	lmodring	⊢ ( 𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring )
25	23 24	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
26	25	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
27		simplrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑘 ∈ 𝐵 )
28		simprr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑙 ∈ 𝐵 )
29	1 4 8 9 18 22 28	hgmapcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑙 ) ∈ 𝐵 )
30	9 14	ringcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑙 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑘 × ( 𝐺 ‘ 𝑙 ) ) ∈ 𝐵 )
31	26 27 29 30	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑘 × ( 𝐺 ‘ 𝑙 ) ) ∈ 𝐵 )
32		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
33		eqid	⊢ ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
34		eqid	⊢ ( 0g ‘ 𝑈 ) = ( 0g ‘ 𝑈 )
35	1 32 33 4 5 34 2 12	dvheveccl	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ( 𝑉 ∖ { ( 0g ‘ 𝑈 ) } ) )
36	35	eldifad	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉 )
37	36	snssd	⊢ ( 𝜑 → { 𝐸 } ⊆ 𝑉 )
38	1 4 5 3	dochssv	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ { 𝐸 } ⊆ 𝑉 ) → ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ⊆ 𝑉 )
39	12 37 38	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ⊆ 𝑉 )
40	39	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ⊆ 𝑉 )
41		simplrl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) )
42	40 41	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑢 ∈ 𝑉 )
43		simprl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) )
44	40 43	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑣 ∈ 𝑉 )
45	1 4 5 8 9 17 22 42 44	hdmapipcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑣 ) ‘ 𝑢 ) ∈ 𝐵 )
46	1 4 8 9 16 18 22 31 45	hgmapadd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝑘 × ( 𝐺 ‘ 𝑙 ) ) ✚ ( ( 𝑆 ‘ 𝑣 ) ‘ 𝑢 ) ) ) = ( ( 𝐺 ‘ ( 𝑘 × ( 𝐺 ‘ 𝑙 ) ) ) ✚ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝑆 ‘ 𝑣 ) ‘ 𝑢 ) ) ) )
47	1 4 8 9 14 18 22 27 29	hgmapmul	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝑘 × ( 𝐺 ‘ 𝑙 ) ) ) = ( ( 𝐺 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑙 ) ) × ( 𝐺 ‘ 𝑘 ) ) )
48	1 4 8 9 18 22 28	hgmapvv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑙 ) ) = 𝑙 )
49	48	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑙 ) ) × ( 𝐺 ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑙 × ( 𝐺 ‘ 𝑘 ) ) )
50	47 49	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝑘 × ( 𝐺 ‘ 𝑙 ) ) ) = ( 𝑙 × ( 𝐺 ‘ 𝑘 ) ) )
51		eqid	⊢ ( -g ‘ 𝑈 ) = ( -g ‘ 𝑈 )
52	1 2 3 4 5 6 51 7 8 9 14 15 17 18 22 41 43 27 27	hdmapglem5	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝑆 ‘ 𝑣 ) ‘ 𝑢 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑢 ) ‘ 𝑣 ) )
53	50 52	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ ( 𝑘 × ( 𝐺 ‘ 𝑙 ) ) ) ✚ ( 𝐺 ‘ ( ( 𝑆 ‘ 𝑣 ) ‘ 𝑢 ) ) ) = ( ( 𝑙 × ( 𝐺 ‘ 𝑘 ) ) ✚ ( ( 𝑆 ‘ 𝑢 ) ‘ 𝑣 ) ) )
54	46 53	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝑘 × ( 𝐺 ‘ 𝑙 ) ) ✚ ( ( 𝑆 ‘ 𝑣 ) ‘ 𝑢 ) ) ) = ( ( 𝑙 × ( 𝐺 ‘ 𝑘 ) ) ✚ ( ( 𝑆 ‘ 𝑢 ) ‘ 𝑣 ) ) )
55	13	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑉 )
56	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 22 55 14 15 16 17 18 43 41 28 27	hdmapglem7b	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) ‘ ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) = ( ( 𝑘 × ( 𝐺 ‘ 𝑙 ) ) ✚ ( ( 𝑆 ‘ 𝑣 ) ‘ 𝑢 ) ) )
57	56	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) ‘ ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) ) = ( 𝐺 ‘ ( ( 𝑘 × ( 𝐺 ‘ 𝑙 ) ) ✚ ( ( 𝑆 ‘ 𝑣 ) ‘ 𝑢 ) ) ) )
58	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 22 55 14 15 16 17 18 41 43 27 28	hdmapglem7b	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) ‘ ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) = ( ( 𝑙 × ( 𝐺 ‘ 𝑘 ) ) ✚ ( ( 𝑆 ‘ 𝑢 ) ‘ 𝑣 ) ) )
59	54 57 58	3eqtr4d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) ‘ ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) ) = ( ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) ‘ ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) )
60	59	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) ‘ ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) ) = ( ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) ‘ ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) )
61	60	3adant3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 = ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) ‘ ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) ) = ( ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) ‘ ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) )
62		simp3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 = ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) → 𝑌 = ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) )
63	62	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 = ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑌 ) = ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) )
64		simp13	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 = ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) → 𝑋 = ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) )
65	63 64	fveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 = ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑋 ) = ( ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) ‘ ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) )
66	65	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 = ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝑆 ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝐺 ‘ ( ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) ‘ ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) ) )
67	64	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 = ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) )
68	67 62	fveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 = ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑌 ) = ( ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) ‘ ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) )
69	61 66 68	3eqtr4d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑌 = ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝑆 ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑌 ) )
70	69	3exp	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) → ( ( 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 = ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝑆 ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑌 ) ) ) )
71	70	rexlimdvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) ) → ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∃ 𝑙 ∈ 𝐵 𝑌 = ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝑆 ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑌 ) ) )
72	71	3exp	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 = ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) → ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∃ 𝑙 ∈ 𝐵 𝑌 = ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝑆 ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑌 ) ) ) ) )
73	72	rexlimdvv	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∃ 𝑘 ∈ 𝐵 𝑋 = ( ( 𝑘 · 𝐸 ) + 𝑢 ) → ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝐸 } ) ∃ 𝑙 ∈ 𝐵 𝑌 = ( ( 𝑙 · 𝐸 ) + 𝑣 ) → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝑆 ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑌 ) ) ) )
74	20 21 73	mp2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ‘ ( ( 𝑆 ‘ 𝑌 ) ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑋 ) ‘ 𝑌 ) )