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Theorem hgmapadd

Description: Part 15 of Baer p. 50 line 13. (Contributed by NM, 6-Jun-2015)

Ref Expression
Hypotheses hgmapadd.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
hgmapadd.u 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
hgmapadd.r 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑈 )
hgmapadd.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
hgmapadd.p + = ( +g𝑅 )
hgmapadd.g 𝐺 = ( ( HGMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
hgmapadd.k ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
hgmapadd.x ( 𝜑𝑋𝐵 )
hgmapadd.y ( 𝜑𝑌𝐵 )
Assertion hgmapadd ( 𝜑 → ( 𝐺 ‘ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝐺𝑋 ) + ( 𝐺𝑌 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 hgmapadd.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2 hgmapadd.u 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
3 hgmapadd.r 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑈 )
4 hgmapadd.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
5 hgmapadd.p + = ( +g𝑅 )
6 hgmapadd.g 𝐺 = ( ( HGMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 hgmapadd.k ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
8 hgmapadd.x ( 𝜑𝑋𝐵 )
9 hgmapadd.y ( 𝜑𝑌𝐵 )
10 eqid ( Base ‘ 𝑈 ) = ( Base ‘ 𝑈 )
11 eqid ( 0g𝑈 ) = ( 0g𝑈 )
12 1 2 10 11 7 dvh1dim ( 𝜑 → ∃ 𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) )
13 eqid ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
14 1 13 7 lcdlmod ( 𝜑 → ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ∈ LMod )
15 14 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ∈ LMod )
16 eqid ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) = ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) )
17 eqid ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) )
18 7 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
19 8 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → 𝑋𝐵 )
20 1 2 3 4 13 16 17 6 18 19 hgmapdcl ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( 𝐺𝑋 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) )
21 1 2 3 4 13 16 17 6 7 9 hgmapdcl ( 𝜑 → ( 𝐺𝑌 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) )
22 21 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( 𝐺𝑌 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) )
23 eqid ( Base ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) = ( Base ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) )
24 eqid ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
25 simp2 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → 𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) )
26 1 2 10 13 23 24 18 25 hdmapcl ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( Base ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) )
27 eqid ( +g ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) = ( +g ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) )
28 eqid ( ·𝑠 ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) = ( ·𝑠 ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) )
29 eqid ( +g ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) = ( +g ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) )
30 23 27 16 28 17 29 lmodvsdir ( ( ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ∈ LMod ∧ ( ( 𝐺𝑋 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝐺𝑌 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) ∧ ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( Base ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐺𝑋 ) ( +g ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) ( 𝐺𝑌 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ( ( 𝐺𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ) ( +g ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( 𝐺𝑌 ) ( ·𝑠 ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ) ) )
31 15 20 22 26 30 syl13anc ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( ( ( 𝐺𝑋 ) ( +g ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) ( 𝐺𝑌 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ( ( 𝐺𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ) ( +g ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( 𝐺𝑌 ) ( ·𝑠 ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ) ) )
32 1 2 7 dvhlmod ( 𝜑𝑈 ∈ LMod )
33 32 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → 𝑈 ∈ LMod )
34 9 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → 𝑌𝐵 )
35 eqid ( +g𝑈 ) = ( +g𝑈 )
36 eqid ( ·𝑠𝑈 ) = ( ·𝑠𝑈 )
37 10 35 3 36 4 5 lmodvsdir ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ ( 𝑋𝐵𝑌𝐵𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ) ) → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) = ( ( 𝑋 ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ( +g𝑈 ) ( 𝑌 ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ) )
38 33 19 34 25 37 syl13anc ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) = ( ( 𝑋 ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ( +g𝑈 ) ( 𝑌 ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ) )
39 38 fveq2d ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ) = ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( 𝑋 ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ( +g𝑈 ) ( 𝑌 ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ) ) )
40 10 3 36 4 lmodvscl ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ) → ( 𝑋 ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) )
41 33 19 25 40 syl3anc ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( 𝑋 ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) )
42 10 3 36 4 lmodvscl ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ) → ( 𝑌 ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) )
43 33 34 25 42 syl3anc ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( 𝑌 ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) )
44 1 2 10 35 13 27 24 18 41 43 hdmapadd ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( 𝑋 ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ( +g𝑈 ) ( 𝑌 ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ) ) = ( ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑋 ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ) ( +g ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑌 ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ) ) )
45 1 2 10 36 3 4 13 28 24 6 18 25 19 hgmapvs ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑋 ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ) = ( ( 𝐺𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ) )
46 1 2 10 36 3 4 13 28 24 6 18 25 34 hgmapvs ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑌 ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ) = ( ( 𝐺𝑌 ) ( ·𝑠 ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ) )
47 45 46 oveq12d ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑋 ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ) ( +g ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( 𝑌 ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ) ) = ( ( ( 𝐺𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ) ( +g ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( 𝐺𝑌 ) ( ·𝑠 ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ) ) )
48 39 44 47 3eqtrrd ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( ( ( 𝐺𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ) ( +g ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( 𝐺𝑌 ) ( ·𝑠 ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ) )
49 3 4 5 lmodacl ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵 ) → ( 𝑋 + 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
50 32 8 9 49 syl3anc ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
51 50 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( 𝑋 + 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
52 1 2 10 36 3 4 13 28 24 6 18 25 51 hgmapvs ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) ( ·𝑠𝑈 ) 𝑡 ) ) = ( ( 𝐺 ‘ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ) )
53 31 48 52 3eqtrrd ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ( ( 𝐺𝑋 ) ( +g ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) ( 𝐺𝑌 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ) )
54 eqid ( 0g ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) = ( 0g ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) )
55 1 13 7 lcdlvec ( 𝜑 → ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ∈ LVec )
56 55 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ∈ LVec )
57 1 2 3 4 13 16 17 6 7 50 hgmapdcl ( 𝜑 → ( 𝐺 ‘ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) )
58 57 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) )
59 1 2 3 4 13 16 17 6 7 8 hgmapdcl ( 𝜑 → ( 𝐺𝑋 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) )
60 16 17 29 lmodacl ( ( ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ∈ LMod ∧ ( 𝐺𝑋 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝐺𝑌 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) ) → ( ( 𝐺𝑋 ) ( +g ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) ( 𝐺𝑌 ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) )
61 14 59 21 60 syl3anc ( 𝜑 → ( ( 𝐺𝑋 ) ( +g ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) ( 𝐺𝑌 ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) )
62 61 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( ( 𝐺𝑋 ) ( +g ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) ( 𝐺𝑌 ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) )
63 simp3 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) )
64 1 2 10 11 13 54 24 18 25 hdmapeq0 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) = ( 0g ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ↔ 𝑡 = ( 0g𝑈 ) ) )
65 64 necon3bid ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ≠ ( 0g ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ↔ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) )
66 63 65 mpbird ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ≠ ( 0g ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) )
67 23 28 16 17 54 56 58 62 26 66 lvecvscan2 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ( ( 𝐺𝑋 ) ( +g ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) ( 𝐺𝑌 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( HDMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑡 ) ) ↔ ( 𝐺 ‘ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝐺𝑋 ) ( +g ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) ( 𝐺𝑌 ) ) ) )
68 53 67 mpbid ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ∧ 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝐺𝑋 ) ( +g ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) ( 𝐺𝑌 ) ) )
69 68 rexlimdv3a ( 𝜑 → ( ∃ 𝑡 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) 𝑡 ≠ ( 0g𝑈 ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝐺𝑋 ) ( +g ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) ( 𝐺𝑌 ) ) ) )
70 12 69 mpd ( 𝜑 → ( 𝐺 ‘ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝐺𝑋 ) ( +g ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) ( 𝐺𝑌 ) ) )
71 1 2 3 5 13 16 29 7 lcdsadd ( 𝜑 → ( +g ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) = + )
72 71 oveqd ( 𝜑 → ( ( 𝐺𝑋 ) ( +g ‘ ( Scalar ‘ ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) ( 𝐺𝑌 ) ) = ( ( 𝐺𝑋 ) + ( 𝐺𝑌 ) ) )
73 70 72 eqtrd ( 𝜑 → ( 𝐺 ‘ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝐺𝑋 ) + ( 𝐺𝑌 ) ) )