Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
itgsplitioo.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
2 |
|
itgsplitioo.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ ) |
3 |
|
itgsplitioo.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐶 ) ) |
4 |
|
itgsplitioo.4 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ) → 𝐷 ∈ ℂ ) |
5 |
|
itgsplitioo.5 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝐷 ) ∈ 𝐿1 ) |
6 |
|
itgsplitioo.6 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ↦ 𝐷 ) ∈ 𝐿1 ) |
7 |
|
elicc2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐶 ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) |
8 |
1 2 7
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐶 ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) |
9 |
3 8
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) |
10 |
9
|
simp2d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵 ) |
11 |
9
|
simp1d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
12 |
1 11
|
leloed |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ( 𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ) ) ) |
13 |
10 12
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ) ) |
14 |
13
|
ord |
⊢ ( 𝜑 → ( ¬ 𝐴 < 𝐵 → 𝐴 = 𝐵 ) ) |
15 |
1
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
16 |
|
iooss1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ⊆ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ) |
17 |
15 10 16
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ⊆ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ) |
18 |
17
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ) |
19 |
18 4
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) → 𝐷 ∈ ℂ ) |
20 |
19 6
|
itgcl |
⊢ ( 𝜑 → ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ∈ ℂ ) |
21 |
20
|
addid2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 + ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) = ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) |
22 |
21
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 = ( 0 + ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) ) |
23 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( 𝐴 (,) 𝐶 ) = ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) |
24 |
|
itgeq1 |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐶 ) = ( 𝐵 (,) 𝐶 ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 = ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) |
25 |
23 24
|
syl |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 = ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) |
26 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) = ( 𝐵 (,) 𝐵 ) ) |
27 |
|
iooid |
⊢ ( 𝐵 (,) 𝐵 ) = ∅ |
28 |
26 27
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) = ∅ ) |
29 |
|
itgeq1 |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) = ∅ → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 = ∫ ∅ 𝐷 d 𝑥 ) |
30 |
28 29
|
syl |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 = ∫ ∅ 𝐷 d 𝑥 ) |
31 |
|
itg0 |
⊢ ∫ ∅ 𝐷 d 𝑥 = 0 |
32 |
30 31
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 = 0 ) |
33 |
32
|
oveq1d |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 + ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) = ( 0 + ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) ) |
34 |
25 33
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( ∫ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 = ( ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 + ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) ↔ ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 = ( 0 + ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) ) ) |
35 |
22 34
|
syl5ibrcom |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 = 𝐵 → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 = ( ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 + ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) ) ) |
36 |
14 35
|
syld |
⊢ ( 𝜑 → ( ¬ 𝐴 < 𝐵 → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 = ( ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 + ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) ) ) |
37 |
9
|
simp3d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶 ) |
38 |
11 2
|
leloed |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ( 𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ) ) ) |
39 |
37 38
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ) ) |
40 |
39
|
ord |
⊢ ( 𝜑 → ( ¬ 𝐵 < 𝐶 → 𝐵 = 𝐶 ) ) |
41 |
2
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ* ) |
42 |
|
iooss2 |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ) |
43 |
41 37 42
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ) |
44 |
43
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ) |
45 |
44 4
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐷 ∈ ℂ ) |
46 |
45 5
|
itgcl |
⊢ ( 𝜑 → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 ∈ ℂ ) |
47 |
46
|
addid1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 + 0 ) = ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 ) |
48 |
47
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 = ( ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 + 0 ) ) |
49 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝐵 = 𝐶 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) = ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ) |
50 |
|
itgeq1 |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) = ( 𝐴 (,) 𝐶 ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 = ∫ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) |
51 |
49 50
|
syl |
⊢ ( 𝐵 = 𝐶 → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 = ∫ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) |
52 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝐵 = 𝐶 → ( 𝐵 (,) 𝐵 ) = ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) |
53 |
27 52
|
eqtr3id |
⊢ ( 𝐵 = 𝐶 → ∅ = ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) |
54 |
|
itgeq1 |
⊢ ( ∅ = ( 𝐵 (,) 𝐶 ) → ∫ ∅ 𝐷 d 𝑥 = ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) |
55 |
53 54
|
syl |
⊢ ( 𝐵 = 𝐶 → ∫ ∅ 𝐷 d 𝑥 = ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) |
56 |
31 55
|
eqtr3id |
⊢ ( 𝐵 = 𝐶 → 0 = ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) |
57 |
56
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐵 = 𝐶 → ( ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 + 0 ) = ( ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 + ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) ) |
58 |
51 57
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝐵 = 𝐶 → ( ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 = ( ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 + 0 ) ↔ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 = ( ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 + ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) ) ) |
59 |
48 58
|
syl5ibcom |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 = 𝐶 → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 = ( ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 + ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) ) ) |
60 |
40 59
|
syld |
⊢ ( 𝜑 → ( ¬ 𝐵 < 𝐶 → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 = ( ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 + ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) ) ) |
61 |
|
indir |
⊢ ( ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ∩ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) = ( ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∩ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) ∪ ( { 𝐵 } ∩ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) ) |
62 |
11
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
63 |
15 62
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ) |
64 |
63
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ) |
65 |
62 41
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ) |
66 |
65
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ) |
67 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
68 |
67
|
leidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → 𝐵 ≤ 𝐵 ) |
69 |
|
ioodisj |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐵 ) → ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∩ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) = ∅ ) |
70 |
64 66 68 69
|
syl21anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∩ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) = ∅ ) |
71 |
|
incom |
⊢ ( { 𝐵 } ∩ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) = ( ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ∩ { 𝐵 } ) |
72 |
67
|
ltnrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ¬ 𝐵 < 𝐵 ) |
73 |
|
eliooord |
⊢ ( 𝐵 ∈ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) → ( 𝐵 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) |
74 |
73
|
simpld |
⊢ ( 𝐵 ∈ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) → 𝐵 < 𝐵 ) |
75 |
72 74
|
nsyl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) |
76 |
|
disjsn |
⊢ ( ( ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ∩ { 𝐵 } ) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) |
77 |
75 76
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ∩ { 𝐵 } ) = ∅ ) |
78 |
71 77
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( { 𝐵 } ∩ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) = ∅ ) |
79 |
70 78
|
uneq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∩ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) ∪ ( { 𝐵 } ∩ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) ) = ( ∅ ∪ ∅ ) ) |
80 |
|
un0 |
⊢ ( ∅ ∪ ∅ ) = ∅ |
81 |
79 80
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∩ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) ∪ ( { 𝐵 } ∩ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) ) = ∅ ) |
82 |
61 81
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ∩ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) = ∅ ) |
83 |
82
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( vol* ‘ ( ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ∩ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) ) = ( vol* ‘ ∅ ) ) |
84 |
|
ovol0 |
⊢ ( vol* ‘ ∅ ) = 0 |
85 |
83 84
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( vol* ‘ ( ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ∩ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) ) = 0 ) |
86 |
15 62 41
|
3jca |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ) |
87 |
|
ioojoin |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ∪ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ) |
88 |
86 87
|
sylan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ∪ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ) |
89 |
88
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 (,) 𝐶 ) = ( ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ∪ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) ) |
90 |
4
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ) → 𝐷 ∈ ℂ ) |
91 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝐷 ) ∈ 𝐿1 ) |
92 |
|
ssun1 |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) |
93 |
92
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ) |
94 |
|
ioossre |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ |
95 |
94
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ ) |
96 |
67
|
snssd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → { 𝐵 } ⊆ ℝ ) |
97 |
95 96
|
unssd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ⊆ ℝ ) |
98 |
|
uncom |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) = ( { 𝐵 } ∪ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
99 |
98
|
difeq1i |
⊢ ( ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ∖ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( ( { 𝐵 } ∪ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∖ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
100 |
|
difun2 |
⊢ ( ( { 𝐵 } ∪ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∖ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( { 𝐵 } ∖ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
101 |
99 100
|
eqtri |
⊢ ( ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ∖ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( { 𝐵 } ∖ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
102 |
|
difss |
⊢ ( { 𝐵 } ∖ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ⊆ { 𝐵 } |
103 |
101 102
|
eqsstri |
⊢ ( ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ∖ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ⊆ { 𝐵 } |
104 |
|
ovolsn |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( vol* ‘ { 𝐵 } ) = 0 ) |
105 |
67 104
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( vol* ‘ { 𝐵 } ) = 0 ) |
106 |
|
ovolssnul |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ∖ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ⊆ { 𝐵 } ∧ { 𝐵 } ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ { 𝐵 } ) = 0 ) → ( vol* ‘ ( ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ∖ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ) = 0 ) |
107 |
103 96 105 106
|
mp3an2i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( vol* ‘ ( ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ∖ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ) = 0 ) |
108 |
|
ssun1 |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ⊆ ( ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ∪ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ) |
109 |
108 88
|
sseqtrid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ⊆ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ) |
110 |
109
|
sselda |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) ) |
111 |
110 90
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ) → 𝐷 ∈ ℂ ) |
112 |
93 97 107 111
|
itgss3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝐷 ) ∈ 𝐿1 ↔ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ↦ 𝐷 ) ∈ 𝐿1 ) ∧ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 = ∫ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) 𝐷 d 𝑥 ) ) |
113 |
112
|
simpld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝐷 ) ∈ 𝐿1 ↔ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ↦ 𝐷 ) ∈ 𝐿1 ) ) |
114 |
91 113
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) ↦ 𝐷 ) ∈ 𝐿1 ) |
115 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) ↦ 𝐷 ) ∈ 𝐿1 ) |
116 |
85 89 90 114 115
|
itgsplit |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 = ( ∫ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) 𝐷 d 𝑥 + ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) ) |
117 |
112
|
simprd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 = ∫ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) 𝐷 d 𝑥 ) |
118 |
117
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 + ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) = ( ∫ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∪ { 𝐵 } ) 𝐷 d 𝑥 + ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) ) |
119 |
116 118
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 = ( ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 + ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) ) |
120 |
119
|
ex |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 = ( ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 + ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) ) ) |
121 |
36 60 120
|
ecased |
⊢ ( 𝜑 → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 = ( ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) 𝐷 d 𝑥 + ∫ ( 𝐵 (,) 𝐶 ) 𝐷 d 𝑥 ) ) |