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Theorem kgentopon

Description: The compact generator generates a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015)

Ref Expression
Assertion kgentopon ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 uniss ( 𝑥 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) → 𝑥 ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) )
2 kgenval ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) = { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀ 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ( ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp → ( 𝑥𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) ) } )
3 ssrab2 { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀ 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ( ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp → ( 𝑥𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) ) } ⊆ 𝒫 𝑋
4 2 3 eqsstrdi ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ⊆ 𝒫 𝑋 )
5 sspwuni ( ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ⊆ 𝒫 𝑋 ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ⊆ 𝑋 )
6 4 5 sylib ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ⊆ 𝑋 )
7 1 6 sylan9ssr ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) → 𝑥𝑋 )
8 iunin2 𝑦𝑥 ( 𝑘𝑦 ) = ( 𝑘 𝑦𝑥 𝑦 )
9 uniiun 𝑥 = 𝑦𝑥 𝑦
10 9 ineq2i ( 𝑘 𝑥 ) = ( 𝑘 𝑦𝑥 𝑦 )
11 incom ( 𝑘 𝑥 ) = ( 𝑥𝑘 )
12 8 10 11 3eqtr2i 𝑦𝑥 ( 𝑘𝑦 ) = ( 𝑥𝑘 )
13 cmptop ( ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp → ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Top )
14 13 ad2antll ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Top )
15 incom ( 𝑦𝑘 ) = ( 𝑘𝑦 )
16 simplr ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → 𝑥 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) )
17 16 sselda ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) ∧ 𝑦𝑥 ) → 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) )
18 simplrr ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) ∧ 𝑦𝑥 ) → ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp )
19 kgeni ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) → ( 𝑦𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) )
20 17 18 19 syl2anc ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) ∧ 𝑦𝑥 ) → ( 𝑦𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) )
21 15 20 eqeltrrid ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) ∧ 𝑦𝑥 ) → ( 𝑘𝑦 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) )
22 21 ralrimiva ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ∀ 𝑦𝑥 ( 𝑘𝑦 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) )
23 iunopn ( ( ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Top ∧ ∀ 𝑦𝑥 ( 𝑘𝑦 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) ) → 𝑦𝑥 ( 𝑘𝑦 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) )
24 14 22 23 syl2anc ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → 𝑦𝑥 ( 𝑘𝑦 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) )
25 12 24 eqeltrrid ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( 𝑥𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) )
26 25 expr ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ) → ( ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp → ( 𝑥𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) ) )
27 26 ralrimiva ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ( ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp → ( 𝑥𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) ) )
28 elkgen ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ↔ ( 𝑥𝑋 ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ( ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp → ( 𝑥𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) ) ) ) )
29 28 adantr ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ↔ ( 𝑥𝑋 ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ( ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp → ( 𝑥𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) ) ) ) )
30 7 27 29 mpbir2and ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) )
31 30 ex ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → ( 𝑥 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) )
32 31 alrimiv ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → ∀ 𝑥 ( 𝑥 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) )
33 inss1 ( 𝑥𝑦 ) ⊆ 𝑥
34 elssuni ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) → 𝑥 ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) )
35 34 ad2antrl ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑥 ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) )
36 ssidd ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → 𝑋𝑋 )
37 elpwi ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋𝑘𝑋 )
38 37 ad2antrl ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → 𝑘𝑋 )
39 sseqin2 ( 𝑘𝑋 ↔ ( 𝑋𝑘 ) = 𝑘 )
40 38 39 sylib ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( 𝑋𝑘 ) = 𝑘 )
41 37 adantr ( ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) → 𝑘𝑋 )
42 resttopon ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑘𝑋 ) → ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑘 ) )
43 41 42 sylan2 ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑘 ) )
44 toponmax ( ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑘 ) → 𝑘 ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) )
45 43 44 syl ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) )
46 40 45 eqeltrd ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( 𝑋𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) )
47 46 expr ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ) → ( ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp → ( 𝑋𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) ) )
48 47 ralrimiva ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ( ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp → ( 𝑋𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) ) )
49 elkgen ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ↔ ( 𝑋𝑋 ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ( ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp → ( 𝑋𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) ) ) ) )
50 36 48 49 mpbir2and ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) )
51 elssuni ( 𝑋 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) → 𝑋 ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) )
52 50 51 syl ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → 𝑋 ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) )
53 52 6 eqssd ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → 𝑋 = ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) )
54 53 adantr ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑋 = ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) )
55 35 54 sseqtrrd ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑥𝑋 )
56 33 55 sstrid ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑥𝑦 ) ⊆ 𝑋 )
57 inindir ( ( 𝑥𝑦 ) ∩ 𝑘 ) = ( ( 𝑥𝑘 ) ∩ ( 𝑦𝑘 ) )
58 13 ad2antll ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Top )
59 simplrl ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) )
60 simprr ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp )
61 kgeni ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) → ( 𝑥𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) )
62 59 60 61 syl2anc ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( 𝑥𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) )
63 simplrr ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) )
64 63 60 19 syl2anc ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( 𝑦𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) )
65 inopn ( ( ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Top ∧ ( 𝑥𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) ∧ ( 𝑦𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) ) → ( ( 𝑥𝑘 ) ∩ ( 𝑦𝑘 ) ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) )
66 58 62 64 65 syl3anc ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( ( 𝑥𝑘 ) ∩ ( 𝑦𝑘 ) ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) )
67 57 66 eqeltrid ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( ( 𝑥𝑦 ) ∩ 𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) )
68 67 expr ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ) → ( ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp → ( ( 𝑥𝑦 ) ∩ 𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) ) )
69 68 ralrimiva ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ( ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp → ( ( 𝑥𝑦 ) ∩ 𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) ) )
70 elkgen ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → ( ( 𝑥𝑦 ) ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ↔ ( ( 𝑥𝑦 ) ⊆ 𝑋 ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ( ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp → ( ( 𝑥𝑦 ) ∩ 𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) ) ) ) )
71 70 adantr ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝑥𝑦 ) ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ↔ ( ( 𝑥𝑦 ) ⊆ 𝑋 ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝒫 𝑋 ( ( 𝐽t 𝑘 ) ∈ Comp → ( ( 𝑥𝑦 ) ∩ 𝑘 ) ∈ ( 𝐽t 𝑘 ) ) ) ) )
72 56 69 71 mpbir2and ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑥𝑦 ) ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) )
73 72 ralrimivva ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ( 𝑥𝑦 ) ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) )
74 fvex ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∈ V
75 istopg ( ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∈ V → ( ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∈ Top ↔ ( ∀ 𝑥 ( 𝑥 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ( 𝑥𝑦 ) ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ) )
76 74 75 ax-mp ( ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∈ Top ↔ ( ∀ 𝑥 ( 𝑥 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ( 𝑥𝑦 ) ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) )
77 32 73 76 sylanbrc ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∈ Top )
78 istopon ( ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ↔ ( ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∈ Top ∧ 𝑋 = ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) )
79 77 53 78 sylanbrc ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) )