Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
id |
⊢ ( 0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾 ) |
2 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑀 = 0 → ( 𝑀 ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾 ) ) |
3 |
2
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0 ) → ( 𝑀 ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾 ) ) |
4 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑀 = 0 → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) = ( 0 lcm 𝑁 ) ) |
5 |
|
0z |
⊢ 0 ∈ ℤ |
6 |
|
lcmcom |
⊢ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 0 lcm 𝑁 ) = ( 𝑁 lcm 0 ) ) |
7 |
5 6
|
mpan |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 0 lcm 𝑁 ) = ( 𝑁 lcm 0 ) ) |
8 |
|
lcm0val |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 lcm 0 ) = 0 ) |
9 |
7 8
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 0 lcm 𝑁 ) = 0 ) |
10 |
4 9
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) = 0 ) |
11 |
10
|
breq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0 ) → ( ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾 ) ) |
12 |
3 11
|
imbi12d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0 ) → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ↔ ( 0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾 ) ) ) |
13 |
1 12
|
mpbiri |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0 ) → ( 𝑀 ∥ 𝐾 → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) |
14 |
13
|
3ad2antl3 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 = 0 ) → ( 𝑀 ∥ 𝐾 → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) |
15 |
14
|
adantrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 = 0 ) → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) |
16 |
15
|
ex |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 = 0 → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) ) |
17 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑁 = 0 → ( 𝑁 ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾 ) ) |
18 |
17
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0 ) → ( 𝑁 ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾 ) ) |
19 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑁 = 0 → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) = ( 𝑀 lcm 0 ) ) |
20 |
|
lcm0val |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝑀 lcm 0 ) = 0 ) |
21 |
19 20
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) = 0 ) |
22 |
21
|
breq1d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0 ) → ( ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾 ) ) |
23 |
18 22
|
imbi12d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0 ) → ( ( 𝑁 ∥ 𝐾 → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ↔ ( 0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾 ) ) ) |
24 |
1 23
|
mpbiri |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0 ) → ( 𝑁 ∥ 𝐾 → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) |
25 |
24
|
3ad2antl2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 = 0 ) → ( 𝑁 ∥ 𝐾 → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) |
26 |
25
|
adantld |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 = 0 ) → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) |
27 |
26
|
ex |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 = 0 → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) ) |
28 |
|
neanior |
⊢ ( ( 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ↔ ¬ ( 𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0 ) ) |
29 |
|
lcmcl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
30 |
29
|
nn0zd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
31 |
|
dvds0 |
⊢ ( ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∈ ℤ → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 0 ) |
32 |
30 31
|
syl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 0 ) |
33 |
32
|
a1d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 0 ) ) |
34 |
33
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 = 0 ) → ( ( 𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 0 ) ) |
35 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝐾 = 0 → ( 𝑀 ∥ 𝐾 ↔ 𝑀 ∥ 0 ) ) |
36 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝐾 = 0 → ( 𝑁 ∥ 𝐾 ↔ 𝑁 ∥ 0 ) ) |
37 |
35 36
|
anbi12d |
⊢ ( 𝐾 = 0 → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) ↔ ( 𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0 ) ) ) |
38 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝐾 = 0 → ( ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ↔ ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 0 ) ) |
39 |
37 38
|
imbi12d |
⊢ ( 𝐾 = 0 → ( ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ↔ ( ( 𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 0 ) ) ) |
40 |
39
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 = 0 ) → ( ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ↔ ( ( 𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 0 ) ) ) |
41 |
34 40
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 = 0 ) → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) |
42 |
41
|
adantrl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0 ) ) → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) |
43 |
42
|
adantllr |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0 ) ) → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) |
44 |
43
|
adantlrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0 ) ) → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) |
45 |
44
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 = 0 ) → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) |
46 |
|
nnabscl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ) → ( abs ‘ 𝑀 ) ∈ ℕ ) |
47 |
|
nnabscl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( abs ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
48 |
|
nnabscl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) → ( abs ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ ) |
49 |
|
lcmgcdlem |
⊢ ( ( ( abs ‘ 𝑀 ) ∈ ℕ ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ ) → ( ( ( ( abs ‘ 𝑀 ) lcm ( abs ‘ 𝑁 ) ) · ( ( abs ‘ 𝑀 ) gcd ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( abs ‘ 𝑀 ) · ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( abs ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ ∧ ( ( abs ‘ 𝑀 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( abs ‘ 𝑀 ) lcm ( abs ‘ 𝑁 ) ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) ) |
50 |
49
|
simprd |
⊢ ( ( ( abs ‘ 𝑀 ) ∈ ℕ ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ ) → ( ( ( abs ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ ∧ ( ( abs ‘ 𝑀 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( abs ‘ 𝑀 ) lcm ( abs ‘ 𝑁 ) ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) |
51 |
48 50
|
sylani |
⊢ ( ( ( abs ‘ 𝑀 ) ∈ ℕ ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑀 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( abs ‘ 𝑀 ) lcm ( abs ‘ 𝑁 ) ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) |
52 |
46 47 51
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ) → ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑀 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( abs ‘ 𝑀 ) lcm ( abs ‘ 𝑁 ) ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) |
53 |
52
|
expdimp |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) → ( ( ( abs ‘ 𝑀 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) → ( ( abs ‘ 𝑀 ) lcm ( abs ‘ 𝑁 ) ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) |
54 |
|
dvdsabsb |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ 𝐾 ↔ 𝑀 ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) |
55 |
|
zabscl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( abs ‘ 𝐾 ) ∈ ℤ ) |
56 |
|
absdvdsb |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( abs ‘ 𝐾 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ↔ ( abs ‘ 𝑀 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) |
57 |
55 56
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ↔ ( abs ‘ 𝑀 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) |
58 |
54 57
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ 𝐾 ↔ ( abs ‘ 𝑀 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) |
59 |
58
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ 𝐾 ↔ ( abs ‘ 𝑀 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) |
60 |
|
dvdsabsb |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 ∥ 𝐾 ↔ 𝑁 ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) |
61 |
|
absdvdsb |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( abs ‘ 𝐾 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑁 ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ↔ ( abs ‘ 𝑁 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) |
62 |
55 61
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ↔ ( abs ‘ 𝑁 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) |
63 |
60 62
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 ∥ 𝐾 ↔ ( abs ‘ 𝑁 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) |
64 |
63
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 ∥ 𝐾 ↔ ( abs ‘ 𝑁 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) |
65 |
59 64
|
anbi12d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) ↔ ( ( abs ‘ 𝑀 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) ) |
66 |
65
|
bicomd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( ( abs ‘ 𝑀 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ↔ ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) ) ) |
67 |
|
lcmabs |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ 𝑀 ) lcm ( abs ‘ 𝑁 ) ) = ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ) |
68 |
67
|
breq1d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( abs ‘ 𝑀 ) lcm ( abs ‘ 𝑁 ) ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ↔ ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) |
69 |
68
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( ( abs ‘ 𝑀 ) lcm ( abs ‘ 𝑁 ) ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ↔ ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) |
70 |
|
dvdsabsb |
⊢ ( ( ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ↔ ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) |
71 |
30 70
|
sylan |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ↔ ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ) |
72 |
69 71
|
bitr4d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( ( abs ‘ 𝑀 ) lcm ( abs ‘ 𝑁 ) ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ↔ ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) |
73 |
66 72
|
imbi12d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( ( ( abs ‘ 𝑀 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) → ( ( abs ‘ 𝑀 ) lcm ( abs ‘ 𝑁 ) ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ↔ ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) ) |
74 |
73
|
adantrr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( abs ‘ 𝑀 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) → ( ( abs ‘ 𝑀 ) lcm ( abs ‘ 𝑁 ) ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ↔ ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) ) |
75 |
74
|
adantllr |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( abs ‘ 𝑀 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) → ( ( abs ‘ 𝑀 ) lcm ( abs ‘ 𝑁 ) ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ↔ ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) ) |
76 |
75
|
adantlrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( abs ‘ 𝑀 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) → ( ( abs ‘ 𝑀 ) lcm ( abs ‘ 𝑁 ) ) ∥ ( abs ‘ 𝐾 ) ) ↔ ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) ) |
77 |
53 76
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) |
78 |
77
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ≠ 0 ) → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) |
79 |
45 78
|
pm2.61dane |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) |
80 |
79
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ) → ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) ) |
81 |
80
|
an4s |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ) → ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) ) |
82 |
28 81
|
sylan2br |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ¬ ( 𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0 ) ) → ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) ) |
83 |
82
|
impancom |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ¬ ( 𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0 ) → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) ) |
84 |
83
|
3impa |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ¬ ( 𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0 ) → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) ) |
85 |
84
|
3comr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ¬ ( 𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0 ) → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) ) |
86 |
16 27 85
|
ecase3d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 lcm 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) |