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Theorem sge0ltfirp

Description: If the sum of nonnegative extended reals is real, then it can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020)

Ref Expression
Hypotheses sge0ltfirp.x ( 𝜑𝑋𝑉 )
sge0ltfirp.f ( 𝜑𝐹 : 𝑋 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) )
sge0ltfirp.y ( 𝜑𝑌 ∈ ℝ+ )
sge0ltfirp.re ( 𝜑 → ( Σ^𝐹 ) ∈ ℝ )
Assertion sge0ltfirp ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ( Σ^𝐹 ) < ( ( Σ^ ‘ ( 𝐹𝑥 ) ) + 𝑌 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 sge0ltfirp.x ( 𝜑𝑋𝑉 )
2 sge0ltfirp.f ( 𝜑𝐹 : 𝑋 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) )
3 sge0ltfirp.y ( 𝜑𝑌 ∈ ℝ+ )
4 sge0ltfirp.re ( 𝜑 → ( Σ^𝐹 ) ∈ ℝ )
5 1 2 4 sge0rern ( 𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹 )
6 2 5 fge0iccico ( 𝜑𝐹 : 𝑋 ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
7 6 sge0rnre ( 𝜑 → ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) ⊆ ℝ )
8 sge0rnn0 ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) ≠ ∅
9 8 a1i ( 𝜑 → ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) ≠ ∅ )
10 1 2 4 sge0rnbnd ( 𝜑 → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑤 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) 𝑤𝑧 )
11 7 9 10 3 suprltrp ( 𝜑 → ∃ 𝑤 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < 𝑤 )
12 nfv 𝑤 𝜑
13 nfv 𝑤𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ( Σ^𝐹 ) < ( ( Σ^ ‘ ( 𝐹𝑥 ) ) + 𝑌 )
14 simp1 ( ( 𝜑𝑤 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) ∧ ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < 𝑤 ) → 𝜑 )
15 vex 𝑤 ∈ V
16 eqid ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) )
17 16 elrnmpt ( 𝑤 ∈ V → ( 𝑤 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) 𝑤 = Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) )
18 15 17 ax-mp ( 𝑤 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) 𝑤 = Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) )
19 18 biimpi ( 𝑤 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) 𝑤 = Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) )
20 19 adantr ( ( 𝑤 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) ∧ ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < 𝑤 ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) 𝑤 = Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) )
21 nfmpt1 𝑥 ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) )
22 21 nfrn 𝑥 ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) )
23 nfcv 𝑥
24 nfcv 𝑥 <
25 22 23 24 nfsup 𝑥 sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < )
26 nfcv 𝑥
27 nfcv 𝑥 𝑌
28 25 26 27 nfov 𝑥 ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 )
29 nfcv 𝑥 𝑤
30 28 24 29 nfbr 𝑥 ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < 𝑤
31 simpl ( ( ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < 𝑤𝑤 = Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) → ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < 𝑤 )
32 simpr ( ( ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < 𝑤𝑤 = Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) → 𝑤 = Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) )
33 31 32 breqtrd ( ( ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < 𝑤𝑤 = Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) → ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) )
34 33 ex ( ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < 𝑤 → ( 𝑤 = Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) → ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) )
35 34 a1d ( ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < 𝑤 → ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) → ( 𝑤 = Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) → ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) ) )
36 30 35 reximdai ( ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < 𝑤 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) 𝑤 = Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) )
37 36 adantl ( ( 𝑤 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) ∧ ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < 𝑤 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) 𝑤 = Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) )
38 20 37 mpd ( ( 𝑤 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) ∧ ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < 𝑤 ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) )
39 38 3adant1 ( ( 𝜑𝑤 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) ∧ ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < 𝑤 ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) )
40 simpl ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) ∧ ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) → ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) )
41 1 2 4 sge0supre ( 𝜑 → ( Σ^𝐹 ) = sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) )
42 41 oveq1d ( 𝜑 → ( ( Σ^𝐹 ) − 𝑌 ) = ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) )
43 42 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) → ( ( Σ^𝐹 ) − 𝑌 ) = ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) )
44 simpr ( ( 𝜑 ∧ ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) → ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) )
45 43 44 eqbrtrd ( ( 𝜑 ∧ ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) → ( ( Σ^𝐹 ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) )
46 45 adantlr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) ∧ ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) → ( ( Σ^𝐹 ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) )
47 simpr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) ∧ ( ( Σ^𝐹 ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) → ( ( Σ^𝐹 ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) )
48 4 adantr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) → ( Σ^𝐹 ) ∈ ℝ )
49 3 rpred ( 𝜑𝑌 ∈ ℝ )
50 49 adantr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) → 𝑌 ∈ ℝ )
51 elinel2 ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) → 𝑥 ∈ Fin )
52 51 adantl ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) → 𝑥 ∈ Fin )
53 rge0ssre ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ℝ
54 6 adantr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) → 𝐹 : 𝑋 ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
55 54 adantr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑦𝑥 ) → 𝐹 : 𝑋 ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
56 elpwinss ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) → 𝑥𝑋 )
57 56 adantl ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) → 𝑥𝑋 )
58 57 sselda ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑦𝑥 ) → 𝑦𝑋 )
59 55 58 ffvelrnd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑦𝑥 ) → ( 𝐹𝑦 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
60 53 59 sseldi ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑦𝑥 ) → ( 𝐹𝑦 ) ∈ ℝ )
61 52 60 fsumrecl ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) → Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ∈ ℝ )
62 48 50 61 ltsubaddd ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) → ( ( ( Σ^𝐹 ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ↔ ( Σ^𝐹 ) < ( Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) + 𝑌 ) ) )
63 62 adantr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) ∧ ( ( Σ^𝐹 ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) → ( ( ( Σ^𝐹 ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ↔ ( Σ^𝐹 ) < ( Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) + 𝑌 ) ) )
64 47 63 mpbid ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) ∧ ( ( Σ^𝐹 ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) → ( Σ^𝐹 ) < ( Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) + 𝑌 ) )
65 54 57 fssresd ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) → ( 𝐹𝑥 ) : 𝑥 ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
66 52 65 sge0fsum ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) → ( Σ^ ‘ ( 𝐹𝑥 ) ) = Σ 𝑦𝑥 ( ( 𝐹𝑥 ) ‘ 𝑦 ) )
67 fvres ( 𝑦𝑥 → ( ( 𝐹𝑥 ) ‘ 𝑦 ) = ( 𝐹𝑦 ) )
68 67 sumeq2i Σ 𝑦𝑥 ( ( 𝐹𝑥 ) ‘ 𝑦 ) = Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 )
69 68 a1i ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) → Σ 𝑦𝑥 ( ( 𝐹𝑥 ) ‘ 𝑦 ) = Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) )
70 66 69 eqtr2d ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) → Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) = ( Σ^ ‘ ( 𝐹𝑥 ) ) )
71 70 oveq1d ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) → ( Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) + 𝑌 ) = ( ( Σ^ ‘ ( 𝐹𝑥 ) ) + 𝑌 ) )
72 71 adantr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) ∧ ( ( Σ^𝐹 ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) → ( Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) + 𝑌 ) = ( ( Σ^ ‘ ( 𝐹𝑥 ) ) + 𝑌 ) )
73 64 72 breqtrd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) ∧ ( ( Σ^𝐹 ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) → ( Σ^𝐹 ) < ( ( Σ^ ‘ ( 𝐹𝑥 ) ) + 𝑌 ) )
74 40 46 73 syl2anc ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) ∧ ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) → ( Σ^𝐹 ) < ( ( Σ^ ‘ ( 𝐹𝑥 ) ) + 𝑌 ) )
75 74 ex ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) → ( ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) → ( Σ^𝐹 ) < ( ( Σ^ ‘ ( 𝐹𝑥 ) ) + 𝑌 ) ) )
76 75 reximdva ( 𝜑 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ( Σ^𝐹 ) < ( ( Σ^ ‘ ( 𝐹𝑥 ) ) + 𝑌 ) ) )
77 76 imp ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ( Σ^𝐹 ) < ( ( Σ^ ‘ ( 𝐹𝑥 ) ) + 𝑌 ) )
78 14 39 77 syl2anc ( ( 𝜑𝑤 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) ∧ ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < 𝑤 ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ( Σ^𝐹 ) < ( ( Σ^ ‘ ( 𝐹𝑥 ) ) + 𝑌 ) )
79 78 3exp ( 𝜑 → ( 𝑤 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) → ( ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < 𝑤 → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ( Σ^𝐹 ) < ( ( Σ^ ‘ ( 𝐹𝑥 ) ) + 𝑌 ) ) ) )
80 12 13 79 rexlimd ( 𝜑 → ( ∃ 𝑤 ∈ ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) ( sup ( ran ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↦ Σ 𝑦𝑥 ( 𝐹𝑦 ) ) , ℝ , < ) − 𝑌 ) < 𝑤 → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ( Σ^𝐹 ) < ( ( Σ^ ‘ ( 𝐹𝑥 ) ) + 𝑌 ) ) )
81 11 80 mpd ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ( Σ^𝐹 ) < ( ( Σ^ ‘ ( 𝐹𝑥 ) ) + 𝑌 ) )