Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tglineelsb2.p |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
tglineelsb2.i |
⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
tglineelsb2.l |
⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
tglineelsb2.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
5 |
|
tglineelsb2.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵 ) |
6 |
|
tglineelsb2.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵 ) |
7 |
|
tglineelsb2.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄 ) |
8 |
|
tglineelsb2.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐵 ) |
9 |
|
tglineelsb2.5 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑃 ) |
10 |
|
tglineelsb2.6 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ) |
11 |
|
tglineeltr.7 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐵 ) |
12 |
|
tglineeltr.8 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑆 ) ) |
13 |
4
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
14 |
5
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐵 ) |
15 |
6
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐵 ) |
16 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐵 ) |
17 |
|
eqid |
⊢ ( dist ‘ 𝐺 ) = ( dist ‘ 𝐺 ) |
18 |
8
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐵 ) |
19 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) |
20 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) |
21 |
1 17 2 13 14 16 18 15 19 20
|
tgbtwnexch |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) |
22 |
1 3 2 13 14 15 16 21
|
btwncolg1 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
23 |
4
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
24 |
5
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐵 ) |
25 |
6
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐵 ) |
26 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐵 ) |
27 |
8
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐵 ) |
28 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) |
29 |
1 17 2 23 24 26 27 28
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑅 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑃 ) ) |
30 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) |
31 |
1 17 2 23 27 26 24 25 29 30
|
tgbtwnexch3 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑄 ) ) |
32 |
1 3 2 23 24 25 26 31
|
btwncolg2 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
33 |
4
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
34 |
5
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐵 ) |
35 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐵 ) |
36 |
6
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐵 ) |
37 |
8
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐵 ) |
38 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) |
39 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) |
40 |
1 2 33 34 35 36 37 38 39 3
|
tgbtwnconnln3 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
41 |
1 3 2 4 5 6 7 8
|
tgellng |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ↔ ( 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ∨ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ∨ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ) ) |
42 |
10 41
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ∨ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ∨ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ) |
43 |
42
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → ( 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ∨ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ∨ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ) |
44 |
22 32 40 43
|
mpjao3dan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
45 |
44
|
an32s |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
46 |
11 45
|
mpidan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
47 |
4
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
48 |
5
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐵 ) |
49 |
6
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐵 ) |
50 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐵 ) |
51 |
8
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐵 ) |
52 |
9
|
necomd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑆 ) |
53 |
52
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑆 ) |
54 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) |
55 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) |
56 |
1 17 2 47 50 48 51 49 53 54 55
|
tgbtwnouttr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑄 ) ) |
57 |
1 3 2 47 48 49 50 56
|
btwncolg2 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
58 |
4
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
59 |
6
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐵 ) |
60 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐵 ) |
61 |
5
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐵 ) |
62 |
8
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐵 ) |
63 |
9
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆 ≠ 𝑃 ) |
64 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) |
65 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) |
66 |
1 17 2 58 60 61 62 65
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑅 ) ) |
67 |
1 2 58 62 61 59 60 3 63 64 66
|
tgbtwnconnln2 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → ( 𝑃 ∈ ( 𝑄 𝐿 𝑅 ) ∨ 𝑄 = 𝑅 ) ) |
68 |
1 3 2 58 59 60 61 67
|
colrot2 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
69 |
4
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
70 |
6
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐵 ) |
71 |
5
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐵 ) |
72 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐵 ) |
73 |
8
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐵 ) |
74 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) |
75 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) |
76 |
1 17 2 69 70 71 72 73 74 75
|
tgbtwnintr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑄 𝐼 𝑅 ) ) |
77 |
1 3 2 69 70 71 72 76
|
btwncolg3 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑄 𝐿 𝑃 ) ∨ 𝑄 = 𝑃 ) ) |
78 |
1 3 2 69 70 71 72 77
|
colcom |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
79 |
42
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) → ( 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ∨ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ∨ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ) |
80 |
57 68 78 79
|
mpjao3dan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
81 |
80
|
an32s |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
82 |
11 81
|
mpidan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
83 |
4
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
84 |
6
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐵 ) |
85 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐵 ) |
86 |
5
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐵 ) |
87 |
8
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐵 ) |
88 |
52
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑆 ) |
89 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) |
90 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) |
91 |
1 2 83 86 87 84 85 3 88 89 90
|
tgbtwnconnln1 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → ( 𝑃 ∈ ( 𝑄 𝐿 𝑅 ) ∨ 𝑄 = 𝑅 ) ) |
92 |
1 3 2 83 84 85 86 91
|
colrot2 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
93 |
4
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
94 |
5
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐵 ) |
95 |
6
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐵 ) |
96 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐵 ) |
97 |
8
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐵 ) |
98 |
9
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆 ≠ 𝑃 ) |
99 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) |
100 |
1 17 2 93 94 97 96 99
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑃 ) ) |
101 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) |
102 |
1 17 2 93 96 97 94 95 98 100 101
|
tgbtwnouttr2 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑄 ) ) |
103 |
1 3 2 93 94 95 96 102
|
btwncolg2 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
104 |
4
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
105 |
5
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐵 ) |
106 |
6
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐵 ) |
107 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐵 ) |
108 |
8
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐵 ) |
109 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) |
110 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) |
111 |
1 17 2 104 105 106 108 107 109 110
|
tgbtwnexch |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) |
112 |
1 3 2 104 105 106 107 111
|
btwncolg3 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
113 |
42
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) → ( 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ∨ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ∨ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ) |
114 |
92 103 112 113
|
mpjao3dan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
115 |
114
|
an32s |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
116 |
11 115
|
mpidan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
117 |
|
id |
⊢ ( 𝜑 → 𝜑 ) |
118 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
119 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) → 𝑃 ∈ 𝐵 ) |
120 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) → 𝑆 ∈ 𝐵 ) |
121 |
52
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) → 𝑃 ≠ 𝑆 ) |
122 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) → 𝑅 ∈ 𝐵 ) |
123 |
1 3 2 118 119 120 121 122
|
tgellng |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑆 ) ↔ ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ∨ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ∨ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ) ) |
124 |
123
|
biimpa |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑆 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ∨ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ∨ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ) |
125 |
117 11 12 124
|
syl21anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ∨ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ∨ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ) |
126 |
46 82 116 125
|
mpjao3dan |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
127 |
7
|
neneqd |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑃 = 𝑄 ) |
128 |
|
pm5.61 |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄 ) ↔ ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
129 |
128
|
simplbi |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄 ) → 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ) |
130 |
126 127 129
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ) |