Metamath Proof Explorer


Theorem tglineeltr

Description: Transitivity law for lines, one half of tglineelsb2 . (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019)

Ref Expression
Hypotheses tglineelsb2.p 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
tglineelsb2.i 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
tglineelsb2.l 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
tglineelsb2.g ( 𝜑𝐺 ∈ TarskiG )
tglineelsb2.1 ( 𝜑𝑃𝐵 )
tglineelsb2.2 ( 𝜑𝑄𝐵 )
tglineelsb2.4 ( 𝜑𝑃𝑄 )
tglineelsb2.3 ( 𝜑𝑆𝐵 )
tglineelsb2.5 ( 𝜑𝑆𝑃 )
tglineelsb2.6 ( 𝜑𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) )
tglineeltr.7 ( 𝜑𝑅𝐵 )
tglineeltr.8 ( 𝜑𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑆 ) )
Assertion tglineeltr ( 𝜑𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tglineelsb2.p 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
2 tglineelsb2.i 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
3 tglineelsb2.l 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
4 tglineelsb2.g ( 𝜑𝐺 ∈ TarskiG )
5 tglineelsb2.1 ( 𝜑𝑃𝐵 )
6 tglineelsb2.2 ( 𝜑𝑄𝐵 )
7 tglineelsb2.4 ( 𝜑𝑃𝑄 )
8 tglineelsb2.3 ( 𝜑𝑆𝐵 )
9 tglineelsb2.5 ( 𝜑𝑆𝑃 )
10 tglineelsb2.6 ( 𝜑𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) )
11 tglineeltr.7 ( 𝜑𝑅𝐵 )
12 tglineeltr.8 ( 𝜑𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑆 ) )
13 4 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
14 5 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃𝐵 )
15 6 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑄𝐵 )
16 simpllr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑅𝐵 )
17 eqid ( dist ‘ 𝐺 ) = ( dist ‘ 𝐺 )
18 8 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆𝐵 )
19 simplr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) )
20 simpr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) )
21 1 17 2 13 14 16 18 15 19 20 tgbtwnexch ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) )
22 1 3 2 13 14 15 16 21 btwncolg1 ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) )
23 4 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
24 5 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃𝐵 )
25 6 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑄𝐵 )
26 simpllr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑅𝐵 )
27 8 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆𝐵 )
28 simplr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) )
29 1 17 2 23 24 26 27 28 tgbtwncom ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑅 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑃 ) )
30 simpr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) )
31 1 17 2 23 27 26 24 25 29 30 tgbtwnexch3 ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑄 ) )
32 1 3 2 23 24 25 26 31 btwncolg2 ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) )
33 4 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
34 5 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑃𝐵 )
35 simpllr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑅𝐵 )
36 6 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑄𝐵 )
37 8 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑆𝐵 )
38 simplr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) )
39 simpr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) )
40 1 2 33 34 35 36 37 38 39 3 tgbtwnconnln3 ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) )
41 1 3 2 4 5 6 7 8 tgellng ( 𝜑 → ( 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ↔ ( 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ∨ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ∨ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ) )
42 10 41 mpbid ( 𝜑 → ( 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ∨ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ∨ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) )
43 42 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → ( 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ∨ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ∨ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) )
44 22 32 40 43 mpjao3dan ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) )
45 44 an32s ( ( ( 𝜑𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑅𝐵 ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) )
46 11 45 mpidan ( ( 𝜑𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) )
47 4 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
48 5 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃𝐵 )
49 6 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑄𝐵 )
50 simpllr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑅𝐵 )
51 8 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆𝐵 )
52 9 necomd ( 𝜑𝑃𝑆 )
53 52 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃𝑆 )
54 simplr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) )
55 simpr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) )
56 1 17 2 47 50 48 51 49 53 54 55 tgbtwnouttr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑄 ) )
57 1 3 2 47 48 49 50 56 btwncolg2 ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) )
58 4 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
59 6 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑄𝐵 )
60 simpllr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑅𝐵 )
61 5 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃𝐵 )
62 8 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆𝐵 )
63 9 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆𝑃 )
64 simpr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) )
65 simplr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) )
66 1 17 2 58 60 61 62 65 tgbtwncom ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑅 ) )
67 1 2 58 62 61 59 60 3 63 64 66 tgbtwnconnln2 ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → ( 𝑃 ∈ ( 𝑄 𝐿 𝑅 ) ∨ 𝑄 = 𝑅 ) )
68 1 3 2 58 59 60 61 67 colrot2 ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) )
69 4 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
70 6 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑄𝐵 )
71 5 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑃𝐵 )
72 simpllr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑅𝐵 )
73 8 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑆𝐵 )
74 simpr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) )
75 simplr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) )
76 1 17 2 69 70 71 72 73 74 75 tgbtwnintr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑄 𝐼 𝑅 ) )
77 1 3 2 69 70 71 72 76 btwncolg3 ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑄 𝐿 𝑃 ) ∨ 𝑄 = 𝑃 ) )
78 1 3 2 69 70 71 72 77 colcom ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) )
79 42 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) → ( 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ∨ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ∨ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) )
80 57 68 78 79 mpjao3dan ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) )
81 80 an32s ( ( ( 𝜑𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) ∧ 𝑅𝐵 ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) )
82 11 81 mpidan ( ( 𝜑𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) )
83 4 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
84 6 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑄𝐵 )
85 simpllr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑅𝐵 )
86 5 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃𝐵 )
87 8 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆𝐵 )
88 52 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃𝑆 )
89 simpr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) )
90 simplr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) )
91 1 2 83 86 87 84 85 3 88 89 90 tgbtwnconnln1 ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → ( 𝑃 ∈ ( 𝑄 𝐿 𝑅 ) ∨ 𝑄 = 𝑅 ) )
92 1 3 2 83 84 85 86 91 colrot2 ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) )
93 4 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
94 5 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃𝐵 )
95 6 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑄𝐵 )
96 simpllr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑅𝐵 )
97 8 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆𝐵 )
98 9 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆𝑃 )
99 simplr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) )
100 1 17 2 93 94 97 96 99 tgbtwncom ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑆 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑃 ) )
101 simpr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) )
102 1 17 2 93 96 97 94 95 98 100 101 tgbtwnouttr2 ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑄 ) )
103 1 3 2 93 94 95 96 102 btwncolg2 ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) )
104 4 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
105 5 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑃𝐵 )
106 6 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑄𝐵 )
107 simpllr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑅𝐵 )
108 8 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑆𝐵 )
109 simpr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) )
110 simplr ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) )
111 1 17 2 104 105 106 108 107 109 110 tgbtwnexch ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) )
112 1 3 2 104 105 106 107 111 btwncolg3 ( ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) )
113 42 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) → ( 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑄 ) ∨ 𝑃 ∈ ( 𝑆 𝐼 𝑄 ) ∨ 𝑄 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ) )
114 92 103 112 113 mpjao3dan ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) )
115 114 an32s ( ( ( 𝜑𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ∧ 𝑅𝐵 ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) )
116 11 115 mpidan ( ( 𝜑𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) )
117 id ( 𝜑𝜑 )
118 4 adantr ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
119 5 adantr ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) → 𝑃𝐵 )
120 8 adantr ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) → 𝑆𝐵 )
121 52 adantr ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) → 𝑃𝑆 )
122 simpr ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) → 𝑅𝐵 )
123 1 3 2 118 119 120 121 122 tgellng ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑆 ) ↔ ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ∨ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ∨ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) ) )
124 123 biimpa ( ( ( 𝜑𝑅𝐵 ) ∧ 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑆 ) ) → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ∨ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ∨ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) )
125 117 11 12 124 syl21anc ( 𝜑 → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑆 ) ∨ 𝑃 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝑆 ) ∨ 𝑆 ∈ ( 𝑃 𝐼 𝑅 ) ) )
126 46 82 116 125 mpjao3dan ( 𝜑 → ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) )
127 7 neneqd ( 𝜑 → ¬ 𝑃 = 𝑄 )
128 pm5.61 ( ( ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄 ) ↔ ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄 ) )
129 128 simplbi ( ( ( 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) ∨ 𝑃 = 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄 ) → 𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) )
130 126 127 129 syl2anc ( 𝜑𝑅 ∈ ( 𝑃 𝐿 𝑄 ) )