Theorem infpssrlem4 8707

Description: Lemma for infpssr 8709. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
infpssrlem.a
infpssrlem.c
infpssrlem.d
infpssrlem.e

Assertion

Ref	Expression
infpssrlem4

Proof of Theorem infpssrlem4

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5871	. . . . . . . 8
2	1	neeq1d 2734	. . . . . . 7
3	2	raleqbi1dv 3062	. . . . . 6
4	3	imbi2d 316	. . . . 5
5		fveq2 5871	. . . . . . . 8
6	5	neeq1d 2734	. . . . . . 7
7	6	raleqbi1dv 3062	. . . . . 6
8	7	imbi2d 316	. . . . 5
9		fveq2 5871	. . . . . . . 8
10	9	neeq1d 2734	. . . . . . 7
11	10	raleqbi1dv 3062	. . . . . 6
12	11	imbi2d 316	. . . . 5
13		fveq2 5871	. . . . . . . 8
14	13	neeq1d 2734	. . . . . . 7
15	14	raleqbi1dv 3062	. . . . . 6
16	15	imbi2d 316	. . . . 5
17		ral0 3934	. . . . . 6
18	17	a1i 11	. . . . 5
19		infpssrlem.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
20		f1ocnv 5833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21		f1of 5821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22	19, 20, 21	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
23	22	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24		infpssrlem.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25		infpssrlem.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
26		infpssrlem.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
27	24, 19, 25, 26	infpssrlem3 8706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28	27	ffvelrnda 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
29	28	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16
30	23, 29	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . . . . . . 15
31	25	eldifbd 3488	. . . . . . . . . . . . . . . 16
32	31	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15
33		nelne2 2787	. . . . . . . . . . . . . . 15
34	30, 32, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14
35	24, 19, 25, 26	infpssrlem2 8705	. . . . . . . . . . . . . . 15
36	35	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14
37	24, 19, 25, 26	infpssrlem1 8704	. . . . . . . . . . . . . . 15
38	37	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14
39	34, 36, 38	3netr4d 2762	. . . . . . . . . . . . 13
40	39	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . 12
41	1	neeq2d 2735	. . . . . . . . . . . 12
42	40, 41	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . 11
43	42	adantrd 468	. . . . . . . . . 10
44		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16
45		peano2 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	45	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47		elnn 6710	. . . . . . . . . . . . . . . 16
48	44, 46, 47	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15
49	48	3ad2antl1 1158	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13
51		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13
52		nnsuc 6717	. . . . . . . . . . . . 13
53	50, 51, 52	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
54		nfv 1707	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55		nfv 1707	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56		nfra1 2838	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	54, 55, 56	nf3an 1930	. . . . . . . . . . . . . . 15
58		nfv 1707	. . . . . . . . . . . . . . 15
59	57, 58	nfan 1928	. . . . . . . . . . . . . 14
60		nfv 1707	. . . . . . . . . . . . . 14
61		simpl3 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
62		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
63		nnord 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
64	63	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
65		ordsucelsuc 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
66	64, 65	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
67	62, 66	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
68	67	3ad2antl1 1158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
69	68	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
70		rsp 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
71	61, 69, 70	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72		f1of1 5820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
73	19, 20, 72	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
74	73	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
75	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
76	27	ffvelrnda 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
77	76	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
78		f1fveq 6170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
79	74, 75, 77, 78	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
80	79	necon3bid 2715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
81	80	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
82	35	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
83	24, 19, 25, 26	infpssrlem2 8705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
84	83	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
85	82, 84	neeq12d 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
86	85	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
87	81, 86	sylibrd 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
88	87	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
89	88	3adantl3 1154	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90	71, 89	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
91	90	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . 16
92		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
93	92	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
94		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
95	94	neeq2d 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96	95	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
97	93, 96	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . 16
98	91, 97	mpbiri 233	. . . . . . . . . . . . . . 15
99	98	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . 14
100	59, 60, 99	rexlimd 2941	. . . . . . . . . . . . 13
101	100	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
102	53, 101	mpd 15	. . . . . . . . . . 11
103	102	ex 434	. . . . . . . . . 10
104	43, 103	pm2.61ine 2770	. . . . . . . . 9
105	104	ralrimiva 2871	. . . . . . . 8
106		fveq2 5871	. . . . . . . . . 10
107	106	neeq2d 2735	. . . . . . . . 9
108	107	cbvralv 3084	. . . . . . . 8
109	105, 108	sylib 196	. . . . . . 7
110	109	3exp 1195	. . . . . 6
111	110	a2d 26	. . . . 5
112	4, 8, 12, 16, 18, 111	finds 6726	. . . 4
113	112	impcom 430	. . 3
114		fveq2 5871	. . . . 5
115	114	neeq2d 2735	. . . 4
116	115	rspccv 3207	. . 3
117	113, 116	syl 16	. 2
118	117	3impia 1193	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  \cdif 3472  C_wss 3475  c0 3784  Ordword 4882  succsuc 4885  `'ccnv 5003  |`cres 5006  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  com 6700  reccrdg 7094

This theorem is referenced by:  infpssrlem5  8708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095