Theorem iprodmul 13796

Description: Multiplication of infinite sums. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iprodmul.1
iprodmul.2
iprodmul.3
iprodmul.4
iprodmul.5
iprodmul.6
iprodmul.7
iprodmul.8

Assertion

Ref	Expression
iprodmul

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,   ,M,,   ,,   ,M   ,,M   ,,,   ,,,,,

Proof of Theorem iprodmul

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iprodmul.1	. 2
2		iprodmul.2	. 2
3		iprodmul.3	. . . 4
4		iprodmul.4	. . . . 5
5		iprodmul.5	. . . . 5
6	4, 5	eqeltrd 2545	. . . 4
7		iprodmul.6	. . . 4
8		iprodmul.7	. . . . 5
9		iprodmul.8	. . . . 5
10	8, 9	eqeltrd 2545	. . . 4
11		fveq2 5871	. . . . . . 7
12		fveq2 5871	. . . . . . 7
13	11, 12	oveq12d 6314	. . . . . 6
14		eqid 2457	. . . . . 6
15		ovex 6324	. . . . . 6
16	13, 14, 15	fvmpt 5956	. . . . 5
17	16	adantl 466	. . . 4
18	1, 3, 6, 7, 10, 17	ntrivcvgmul 13711	. . 3
19		fveq2 5871	. . . . . . . . . 10
20		fveq2 5871	. . . . . . . . . 10
21	19, 20	oveq12d 6314	. . . . . . . . 9
22	21	cbvmptv 4543	. . . . . . . 8
23		seqeq3 12112	. . . . . . . 8
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7
25	24	breq1i 4459	. . . . . 6
26	25	anbi2i 694	. . . . 5
27	26	exbii 1667	. . . 4
28	27	rexbii 2959	. . 3
29	18, 28	sylibr 212	. 2
30		simpr 461	. . . 4
31	6, 10	mulcld 9637	. . . 4
32		fveq2 5871	. . . . . 6
33		fveq2 5871	. . . . . 6
34	32, 33	oveq12d 6314	. . . . 5
35		eqid 2457	. . . . 5
36	34, 35	fvmptg 5954	. . . 4
37	30, 31, 36	syl2anc 661	. . 3
38	4, 8	oveq12d 6314	. . 3
39	37, 38	eqtrd 2498	. 2
40	5, 9	mulcld 9637	. 2
41	1, 2, 3, 4, 5	iprodclim2 13792	. . 3
42		seqex 12109	. . . 4
43	42	a1i 11	. . 3
44	1, 2, 7, 8, 9	iprodclim2 13792	. . 3
45	1, 2, 6	prodf 13696	. . . 4
46	45	ffvelrnda 6031	. . 3
47	1, 2, 10	prodf 13696	. . . 4
48	47	ffvelrnda 6031	. . 3
49		simpr 461	. . . . 5
50	49, 1	syl6eleq 2555	. . . 4
51		elfzuz 11713	. . . . . . 7
52	51, 1	syl6eleqr 2556	. . . . . 6
53	52, 6	sylan2 474	. . . . 5
54	53	adantlr 714	. . . 4
55	52, 10	sylan2 474	. . . . 5
56	55	adantlr 714	. . . 4
57	37	adantlr 714	. . . . 5
58	52, 57	sylan2 474	. . . 4
59	50, 54, 56, 58	prodfmul 13699	. . 3
60	1, 2, 41, 43, 44, 46, 48, 59	climmul 13455	. 2
61	1, 2, 29, 39, 40, 60	iprodclim 13791	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  cvv 3109   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  cmul 9518  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107  cli 13307  prod_cprod 13712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-prod 13713