Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iprodmul Unicode version

Theorem iprodmul 13796
 Description: Multiplication of infinite sums. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodmul.1
iprodmul.2
iprodmul.3
iprodmul.4
iprodmul.5
iprodmul.6
iprodmul.7
iprodmul.8
Assertion
Ref Expression
iprodmul
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,   ,M,,   ,,   ,M   ,,M   ,,,   ,,,,,

Proof of Theorem iprodmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodmul.1 . 2
2 iprodmul.2 . 2
3 iprodmul.3 . . . 4
4 iprodmul.4 . . . . 5
5 iprodmul.5 . . . . 5
64, 5eqeltrd 2545 . . . 4
7 iprodmul.6 . . . 4
8 iprodmul.7 . . . . 5
9 iprodmul.8 . . . . 5
108, 9eqeltrd 2545 . . . 4
11 fveq2 5871 . . . . . . 7
12 fveq2 5871 . . . . . . 7
1311, 12oveq12d 6314 . . . . . 6
14 eqid 2457 . . . . . 6
15 ovex 6324 . . . . . 6
1613, 14, 15fvmpt 5956 . . . . 5
1716adantl 466 . . . 4
181, 3, 6, 7, 10, 17ntrivcvgmul 13711 . . 3
19 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
20 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
2119, 20oveq12d 6314 . . . . . . . . 9
2221cbvmptv 4543 . . . . . . . 8
23 seqeq3 12112 . . . . . . . 8
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7
2524breq1i 4459 . . . . . 6
2625anbi2i 694 . . . . 5
2726exbii 1667 . . . 4
2827rexbii 2959 . . 3
2918, 28sylibr 212 . 2
30 simpr 461 . . . 4
316, 10mulcld 9637 . . . 4
32 fveq2 5871 . . . . . 6
33 fveq2 5871 . . . . . 6
3432, 33oveq12d 6314 . . . . 5
35 eqid 2457 . . . . 5
3634, 35fvmptg 5954 . . . 4
3730, 31, 36syl2anc 661 . . 3
384, 8oveq12d 6314 . . 3
3937, 38eqtrd 2498 . 2
405, 9mulcld 9637 . 2
411, 2, 3, 4, 5iprodclim2 13792 . . 3
42 seqex 12109 . . . 4
4342a1i 11 . . 3
441, 2, 7, 8, 9iprodclim2 13792 . . 3
451, 2, 6prodf 13696 . . . 4
4645ffvelrnda 6031 . . 3
471, 2, 10prodf 13696 . . . 4
4847ffvelrnda 6031 . . 3
49 simpr 461 . . . . 5
5049, 1syl6eleq 2555 . . . 4
51 elfzuz 11713 . . . . . . 7
5251, 1syl6eleqr 2556 . . . . . 6
5352, 6sylan2 474 . . . . 5
5453adantlr 714 . . . 4
5552, 10sylan2 474 . . . . 5
5655adantlr 714 . . . 4
5737adantlr 714 . . . . 5
5852, 57sylan2 474 . . . 4
5950, 54, 56, 58prodfmul 13699 . . 3
601, 2, 41, 43, 44, 46, 48, 59climmul 13455 . 2
611, 2, 29, 39, 40, 60iprodclim 13791 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808   cvv 3109   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513   cmul 9518   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107   cli 13307  prod_`cprod 13712 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-prod 13713
 Copyright terms: Public domain W3C validator