Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpfi2 Unicode version

Theorem ixpfi2 7838
 Description: A Cartesian product of finite sets such that all but finitely many are singletons is finite. (Note that (x) and (x) are both possibly dependent on . ) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ixpfi2.1
ixpfi2.2
ixpfi2.3
Assertion
Ref Expression
ixpfi2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem ixpfi2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ixpfi2.1 . . . 4
2 inss2 3718 . . . 4
3 ssfi 7760 . . . 4
41, 2, 3sylancl 662 . . 3
5 inss1 3717 . . . 4
6 ixpfi2.2 . . . . 5
76ralrimiva 2871 . . . 4
8 ssralv 3563 . . . 4
95, 7, 8mpsyl 63 . . 3
10 ixpfi 7837 . . 3
114, 9, 10syl2anc 661 . 2
12 resixp 7524 . . . . 5
135, 12mpan 670 . . . 4
1413a1i 11 . . 3
15 simprl 756 . . . . . . . . . 10
16 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
1716elixp 7496 . . . . . . . . . 10
1815, 17sylib 196 . . . . . . . . 9
1918simprd 463 . . . . . . . 8
20 simprr 757 . . . . . . . . . 10
21 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
2221elixp 7496 . . . . . . . . . 10
2320, 22sylib 196 . . . . . . . . 9
2423simprd 463 . . . . . . . 8
25 r19.26 2984 . . . . . . . . 9
26 difss 3630 . . . . . . . . . . 11
27 ssralv 3563 . . . . . . . . . . 11
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
29 ixpfi2.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3029sseld 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 elsni 4054 . . . . . . . . . . . . . . 15
3230, 31syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14
3329sseld 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 elsni 4054 . . . . . . . . . . . . . . 15
3533, 34syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14
3632, 35anim12d 563 . . . . . . . . . . . . 13
37 eqtr3 2485 . . . . . . . . . . . . 13
3836, 37syl6 33 . . . . . . . . . . . 12
3938ralimdva 2865 . . . . . . . . . . 11
4039adantr 465 . . . . . . . . . 10
4128, 40syl5 32 . . . . . . . . 9
4225, 41syl5bir 218 . . . . . . . 8
4319, 24, 42mp2and 679 . . . . . . 7
4443biantrud 507 . . . . . 6
45 fvres 5885 . . . . . . . 8
46 fvres 5885 . . . . . . . 8
4745, 46eqeq12d 2479 . . . . . . 7
4847ralbiia 2887 . . . . . 6
49 inundif 3906 . . . . . . . 8
5049raleqi 3058 . . . . . . 7
51 ralunb 3684 . . . . . . 7
5250, 51bitr3i 251 . . . . . 6
5344, 48, 523bitr4g 288 . . . . 5
5418simpld 459 . . . . . . 7
55 fnssres 5699 . . . . . . 7
5654, 5, 55sylancl 662 . . . . . 6
5723simpld 459 . . . . . . 7
58 fnssres 5699 . . . . . . 7
5957, 5, 58sylancl 662 . . . . . 6
60 eqfnfv 5981 . . . . . 6
6156, 59, 60syl2anc 661 . . . . 5
62 eqfnfv 5981 . . . . . 6
6354, 57, 62syl2anc 661 . . . . 5
6453, 61, 633bitr4d 285 . . . 4
6564ex 434 . . 3
6614, 65dom2lem 7575 . 2
67 f1fi 7827 . 2
6811, 66, 67syl2anc 661 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  {csn 4029  e.cmpt 4510  |cres 5006  Fnwfn 5588  -1-1->wf1 5590  cfv 5593  X_cixp 7489   cfn 7536 This theorem is referenced by:  psrbaglefi  18023  psrbaglefiOLD  18024  eulerpartlemb  28307 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-pm 7442  df-ixp 7490  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540
 Copyright terms: Public domain W3C validator