Theorem ixpfi2 7838

Description: A Cartesian product of finite sets such that all but finitely many are singletons is finite. (Note that (x) and (x) are both possibly dependent on . ) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixpfi2.1
ixpfi2.2
ixpfi2.3

Assertion

Ref	Expression
ixpfi2

Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem ixpfi2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpfi2.1	. . . 4
2		inss2 3718	. . . 4
3		ssfi 7760	. . . 4
4	1, 2, 3	sylancl 662	. . 3
5		inss1 3717	. . . 4
6		ixpfi2.2	. . . . 5
7	6	ralrimiva 2871	. . . 4
8		ssralv 3563	. . . 4
9	5, 7, 8	mpsyl 63	. . 3
10		ixpfi 7837	. . 3
11	4, 9, 10	syl2anc 661	. 2
12		resixp 7524	. . . . 5
13	5, 12	mpan 670	. . . 4
14	13	a1i 11	. . 3
15		simprl 756	. . . . . . . . . 10
16		vex 3112	. . . . . . . . . . 11
17	16	elixp 7496	. . . . . . . . . 10
18	15, 17	sylib 196	. . . . . . . . 9
19	18	simprd 463	. . . . . . . 8
20		simprr 757	. . . . . . . . . 10
21		vex 3112	. . . . . . . . . . 11
22	21	elixp 7496	. . . . . . . . . 10
23	20, 22	sylib 196	. . . . . . . . 9
24	23	simprd 463	. . . . . . . 8
25		r19.26 2984	. . . . . . . . 9
26		difss 3630	. . . . . . . . . . 11
27		ssralv 3563	. . . . . . . . . . 11
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
29		ixpfi2.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16
30	29	sseld 3502	. . . . . . . . . . . . . . 15
31		elsni 4054	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	30, 31	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . 14
33	29	sseld 3502	. . . . . . . . . . . . . . 15
34		elsni 4054	. . . . . . . . . . . . . . 15
35	33, 34	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . 14
36	32, 35	anim12d 563	. . . . . . . . . . . . 13
37		eqtr3 2485	. . . . . . . . . . . . 13
38	36, 37	syl6 33	. . . . . . . . . . . 12
39	38	ralimdva 2865	. . . . . . . . . . 11
40	39	adantr 465	. . . . . . . . . 10
41	28, 40	syl5 32	. . . . . . . . 9
42	25, 41	syl5bir 218	. . . . . . . 8
43	19, 24, 42	mp2and 679	. . . . . . 7
44	43	biantrud 507	. . . . . 6
45		fvres 5885	. . . . . . . 8
46		fvres 5885	. . . . . . . 8
47	45, 46	eqeq12d 2479	. . . . . . 7
48	47	ralbiia 2887	. . . . . 6
49		inundif 3906	. . . . . . . 8
50	49	raleqi 3058	. . . . . . 7
51		ralunb 3684	. . . . . . 7
52	50, 51	bitr3i 251	. . . . . 6
53	44, 48, 52	3bitr4g 288	. . . . 5
54	18	simpld 459	. . . . . . 7
55		fnssres 5699	. . . . . . 7
56	54, 5, 55	sylancl 662	. . . . . 6
57	23	simpld 459	. . . . . . 7
58		fnssres 5699	. . . . . . 7
59	57, 5, 58	sylancl 662	. . . . . 6
60		eqfnfv 5981	. . . . . 6
61	56, 59, 60	syl2anc 661	. . . . 5
62		eqfnfv 5981	. . . . . 6
63	54, 57, 62	syl2anc 661	. . . . 5
64	53, 61, 63	3bitr4d 285	. . . 4
65	64	ex 434	. . 3
66	14, 65	dom2lem 7575	. 2
67		f1fi 7827	. 2
68	11, 66, 67	syl2anc 661	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  {csn 4029  e.cmpt 4510  |`cres 5006  Fnwfn 5588  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593  X_cixp 7489  cfn 7536

This theorem is referenced by:  psrbaglefi  18023  psrbaglefiOLD  18024  eulerpartlemb  28307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-pm 7442  df-ixp 7490  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540