Theorem ixxub 11579

Description: Extract the upper bound of an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixx.1
ixxub.2
ixxub.3
ixxub.4
ixxub.5

Assertion

Ref	Expression
ixxub

Distinct variable groups:   ,,,,   ,O   ,,,,   ,,,   ,S,,

Proof of Theorem ixxub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixx.1	. . . . . . . . 9
2	1	elixx1 11567	. . . . . . . 8
3	2	3adant3 1016	. . . . . . 7
4	3	biimpa 484	. . . . . 6
5	4	simp3d 1010	. . . . 5
6	4	simp1d 1008	. . . . . 6
7		simp2 997	. . . . . . 7
8	7	adantr 465	. . . . . 6
9		ixxub.3	. . . . . 6
10	6, 8, 9	syl2anc 661	. . . . 5
11	5, 10	mpd 15	. . . 4
12	11	ralrimiva 2871	. . 3
13	6	ex 434	. . . . 5
14	13	ssrdv 3509	. . . 4
15		supxrleub 11547	. . . 4
16	14, 7, 15	syl2anc 661	. . 3
17	12, 16	mpbird 232	. 2
18		simprl 756	. . . . . 6
19	14	ad2antrr 725	. . . . . . . 8
20		qre 11216	. . . . . . . . . . 11
21	20	rexrd 9664	. . . . . . . . . 10
22	21	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9
23		simp1 996	. . . . . . . . . . . 12
24	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11
25		supxrcl 11535	. . . . . . . . . . . . 13
26	14, 25	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
27	26	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11
28		simp3 998	. . . . . . . . . . . . . 14
29		n0 3794	. . . . . . . . . . . . . 14
30	28, 29	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13
31	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14
32	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14
33	4	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . . . . 15
34		ixxub.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
35	31, 6, 34	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15
36	33, 35	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14
37		supxrub 11545	. . . . . . . . . . . . . . 15
38	14, 37	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . 14
39	31, 6, 32, 36, 38	xrletrd 11394	. . . . . . . . . . . . 13
40	30, 39	exlimddv 1726	. . . . . . . . . . . 12
41	40	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11
42	24, 27, 22, 41, 18	xrlelttrd 11392	. . . . . . . . . 10
43		ixxub.4	. . . . . . . . . . 11
44	24, 22, 43	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
45	42, 44	mpd 15	. . . . . . . . 9
46		simprr 757	. . . . . . . . . 10
47	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11
48		ixxub.2	. . . . . . . . . . 11
49	22, 47, 48	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
50	46, 49	mpd 15	. . . . . . . . 9
51	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9
52	22, 45, 50, 51	mpbir3and 1179	. . . . . . . 8
53	19, 52, 37	syl2anc 661	. . . . . . 7
54		xrlenlt 9673	. . . . . . . 8
55	22, 27, 54	syl2anc 661	. . . . . . 7
56	53, 55	mpbid 210	. . . . . 6
57	18, 56	pm2.65da 576	. . . . 5
58	57	nrexdv 2913	. . . 4
59		qbtwnxr 11428	. . . . . 6
60	59	3expia 1198	. . . . 5
61	26, 7, 60	syl2anc 661	. . . 4
62	58, 61	mtod 177	. . 3
63		xrlenlt 9673	. . . 4
64	7, 26, 63	syl2anc 661	. . 3
65	62, 64	mpbird 232	. 2
66		xrletri3 11387	. . 3
67	26, 7, 66	syl2anc 661	. 2
68	17, 65, 67	mpbir2and 922	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  supcsup 7920  cxr 9648  clt 9649  cle 9650  cq 11211

This theorem is referenced by:  ioopnfsup  11991  icopnfsup  11992  bndth  21458  ioorf  21982  ioorinv2  21984  ioossioobi  31557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212