Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemc3.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdlemc3.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdlemc3.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdlemc3.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdlemc3.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdlemc3.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
7 |
|
cdlemc3.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
8 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> K e. HL ) |
9 |
|
simp23l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> Q e. A ) |
10 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
11 |
|
simp21 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> F e. T ) |
12 |
1 4 5 6
|
ltrnat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ Q e. A ) -> ( F ` Q ) e. A ) |
13 |
10 11 9 12
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` Q ) e. A ) |
14 |
1 2 4
|
hlatlej2 |
|- ( ( K e. HL /\ Q e. A /\ ( F ` Q ) e. A ) -> ( F ` Q ) .<_ ( Q .\/ ( F ` Q ) ) ) |
15 |
8 9 13 14
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` Q ) .<_ ( Q .\/ ( F ` Q ) ) ) |
16 |
|
simp23 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
17 |
1 2 4 5 6 7
|
trljat1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) = ( Q .\/ ( F ` Q ) ) ) |
18 |
10 11 16 17
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) = ( Q .\/ ( F ` Q ) ) ) |
19 |
15 18
|
breqtrrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` Q ) .<_ ( Q .\/ ( R ` F ) ) ) |
20 |
|
simp22 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
21 |
1 2 3 4 5 6
|
cdlemc2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( F ` Q ) .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) |
22 |
10 11 20 16 21
|
syl112anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` Q ) .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) |
23 |
8
|
hllatd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> K e. Lat ) |
24 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
25 |
24 4
|
atbase |
|- ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) ) |
26 |
9 25
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> Q e. ( Base ` K ) ) |
27 |
24 5 6
|
ltrncl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ Q e. ( Base ` K ) ) -> ( F ` Q ) e. ( Base ` K ) ) |
28 |
10 11 26 27
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` Q ) e. ( Base ` K ) ) |
29 |
24 5 6 7
|
trlcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` F ) e. ( Base ` K ) ) |
30 |
10 11 29
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( R ` F ) e. ( Base ` K ) ) |
31 |
24 2
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ Q e. ( Base ` K ) /\ ( R ` F ) e. ( Base ` K ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) e. ( Base ` K ) ) |
32 |
23 26 30 31
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) e. ( Base ` K ) ) |
33 |
|
simp22l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> P e. A ) |
34 |
24 4
|
atbase |
|- ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) ) |
35 |
33 34
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> P e. ( Base ` K ) ) |
36 |
24 5 6
|
ltrncl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. ( Base ` K ) ) -> ( F ` P ) e. ( Base ` K ) ) |
37 |
10 11 35 36
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` P ) e. ( Base ` K ) ) |
38 |
24 2 4
|
hlatjcl |
|- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) ) |
39 |
8 33 9 38
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) ) |
40 |
|
simp1r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> W e. H ) |
41 |
24 5
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) ) |
42 |
40 41
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> W e. ( Base ` K ) ) |
43 |
24 3
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) |
44 |
23 39 42 43
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) |
45 |
24 2
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( F ` P ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) ) |
46 |
23 37 44 45
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) ) |
47 |
24 1 3
|
latlem12 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( ( F ` Q ) e. ( Base ` K ) /\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( ( F ` Q ) .<_ ( Q .\/ ( R ` F ) ) /\ ( F ` Q ) .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) <-> ( F ` Q ) .<_ ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) ) ) |
48 |
23 28 32 46 47
|
syl13anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( ( ( F ` Q ) .<_ ( Q .\/ ( R ` F ) ) /\ ( F ` Q ) .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) <-> ( F ` Q ) .<_ ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) ) ) |
49 |
19 22 48
|
mpbi2and |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` Q ) .<_ ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) ) |
50 |
|
hlatl |
|- ( K e. HL -> K e. AtLat ) |
51 |
8 50
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> K e. AtLat ) |
52 |
|
simp3r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` P ) =/= P ) |
53 |
1 4 5 6 7
|
trlat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F e. T /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( R ` F ) e. A ) |
54 |
10 20 11 52 53
|
syl112anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( R ` F ) e. A ) |
55 |
1 5 6 7
|
trlle |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` F ) .<_ W ) |
56 |
10 11 55
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( R ` F ) .<_ W ) |
57 |
|
simp23r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> -. Q .<_ W ) |
58 |
|
nbrne2 |
|- ( ( ( R ` F ) .<_ W /\ -. Q .<_ W ) -> ( R ` F ) =/= Q ) |
59 |
58
|
necomd |
|- ( ( ( R ` F ) .<_ W /\ -. Q .<_ W ) -> Q =/= ( R ` F ) ) |
60 |
56 57 59
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> Q =/= ( R ` F ) ) |
61 |
|
eqid |
|- ( LLines ` K ) = ( LLines ` K ) |
62 |
2 4 61
|
llni2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ Q e. A /\ ( R ` F ) e. A ) /\ Q =/= ( R ` F ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) e. ( LLines ` K ) ) |
63 |
8 9 54 60 62
|
syl31anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) e. ( LLines ` K ) ) |
64 |
1 4 5 6
|
ltrnat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. A ) -> ( F ` P ) e. A ) |
65 |
10 11 33 64
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` P ) e. A ) |
66 |
1 2 4
|
hlatlej1 |
|- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ ( F ` P ) e. A ) -> P .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) |
67 |
8 33 65 66
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> P .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) |
68 |
|
simp3l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) |
69 |
|
nbrne2 |
|- ( ( P .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) -> P =/= Q ) |
70 |
67 68 69
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> P =/= Q ) |
71 |
1 2 3 4 5
|
lhpat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. A ) |
72 |
10 20 9 70 71
|
syl112anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. A ) |
73 |
24 1 3
|
latmle2 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W ) |
74 |
23 39 42 73
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W ) |
75 |
1 4 5 6
|
ltrnel |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( F ` P ) e. A /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) ) |
76 |
75
|
simprd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> -. ( F ` P ) .<_ W ) |
77 |
10 11 20 76
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> -. ( F ` P ) .<_ W ) |
78 |
|
nbrne2 |
|- ( ( ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) =/= ( F ` P ) ) |
79 |
78
|
necomd |
|- ( ( ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) -> ( F ` P ) =/= ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) |
80 |
74 77 79
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` P ) =/= ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) |
81 |
2 4 61
|
llni2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ ( F ` P ) e. A /\ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. A ) /\ ( F ` P ) =/= ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) e. ( LLines ` K ) ) |
82 |
8 65 72 80 81
|
syl31anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) e. ( LLines ` K ) ) |
83 |
1 2 3 4 5 6 7
|
cdlemc4 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) =/= ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) |
84 |
83
|
3adant3r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) =/= ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) |
85 |
24 3
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) e. ( Base ` K ) ) |
86 |
23 32 46 85
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) e. ( Base ` K ) ) |
87 |
|
eqid |
|- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K ) |
88 |
24 1 87 4
|
atlen0 |
|- ( ( ( K e. AtLat /\ ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) e. ( Base ` K ) /\ ( F ` Q ) e. A ) /\ ( F ` Q ) .<_ ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) ) -> ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) =/= ( 0. ` K ) ) |
89 |
51 86 13 49 88
|
syl31anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) =/= ( 0. ` K ) ) |
90 |
3 87 4 61
|
2llnmat |
|- ( ( ( K e. HL /\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) e. ( LLines ` K ) /\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) e. ( LLines ` K ) ) /\ ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) =/= ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) /\ ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) =/= ( 0. ` K ) ) ) -> ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) e. A ) |
91 |
8 63 82 84 89 90
|
syl32anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) e. A ) |
92 |
1 4
|
atcmp |
|- ( ( K e. AtLat /\ ( F ` Q ) e. A /\ ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) e. A ) -> ( ( F ` Q ) .<_ ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) <-> ( F ` Q ) = ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) ) ) |
93 |
51 13 91 92
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( ( F ` Q ) .<_ ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) <-> ( F ` Q ) = ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) ) ) |
94 |
49 93
|
mpbid |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) ) -> ( F ` Q ) = ( ( Q .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) ) ) |