Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cnllycmp.1 |
|- J = ( TopOpen ` CCfld ) |
2 |
1
|
cnfldtop |
|- J e. Top |
3 |
|
cnxmet |
|- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) |
4 |
1
|
cnfldtopn |
|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) |
5 |
4
|
mopni2 |
|- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ x e. J /\ y e. x ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) |
6 |
3 5
|
mp3an1 |
|- ( ( x e. J /\ y e. x ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) |
7 |
2
|
a1i |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> J e. Top ) |
8 |
3
|
a1i |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) |
9 |
|
elssuni |
|- ( x e. J -> x C_ U. J ) |
10 |
9
|
ad2antrr |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> x C_ U. J ) |
11 |
1
|
cnfldtopon |
|- J e. ( TopOn ` CC ) |
12 |
11
|
toponunii |
|- CC = U. J |
13 |
10 12
|
sseqtrrdi |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> x C_ CC ) |
14 |
|
simplr |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> y e. x ) |
15 |
13 14
|
sseldd |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> y e. CC ) |
16 |
|
rphalfcl |
|- ( r e. RR+ -> ( r / 2 ) e. RR+ ) |
17 |
16
|
ad2antrl |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( r / 2 ) e. RR+ ) |
18 |
17
|
rpxrd |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( r / 2 ) e. RR* ) |
19 |
4
|
blopn |
|- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ ( r / 2 ) e. RR* ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. J ) |
20 |
8 15 18 19
|
syl3anc |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. J ) |
21 |
|
blcntr |
|- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ ( r / 2 ) e. RR+ ) -> y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) |
22 |
8 15 17 21
|
syl3anc |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) |
23 |
|
opnneip |
|- ( ( J e. Top /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. J /\ y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ) |
24 |
7 20 22 23
|
syl3anc |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ) |
25 |
|
blssm |
|- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ ( r / 2 ) e. RR* ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ CC ) |
26 |
8 15 18 25
|
syl3anc |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ CC ) |
27 |
12
|
sscls |
|- ( ( J e. Top /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ CC ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) |
28 |
7 26 27
|
syl2anc |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) |
29 |
|
rpxr |
|- ( r e. RR+ -> r e. RR* ) |
30 |
29
|
ad2antrl |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> r e. RR* ) |
31 |
|
rphalflt |
|- ( r e. RR+ -> ( r / 2 ) < r ) |
32 |
31
|
ad2antrl |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( r / 2 ) < r ) |
33 |
4
|
blsscls |
|- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC ) /\ ( ( r / 2 ) e. RR* /\ r e. RR* /\ ( r / 2 ) < r ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) |
34 |
8 15 18 30 32 33
|
syl23anc |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) |
35 |
|
simprr |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) |
36 |
34 35
|
sstrd |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ x ) |
37 |
36 13
|
sstrd |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ CC ) |
38 |
12
|
ssnei2 |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ) /\ ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ CC ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ) |
39 |
7 24 28 37 38
|
syl22anc |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ) |
40 |
|
vex |
|- x e. _V |
41 |
40
|
elpw2 |
|- ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ~P x <-> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ x ) |
42 |
36 41
|
sylibr |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ~P x ) |
43 |
39 42
|
elind |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ) |
44 |
12
|
clscld |
|- ( ( J e. Top /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ CC ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( Clsd ` J ) ) |
45 |
7 26 44
|
syl2anc |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( Clsd ` J ) ) |
46 |
15
|
abscld |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( abs ` y ) e. RR ) |
47 |
17
|
rpred |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( r / 2 ) e. RR ) |
48 |
46 47
|
readdcld |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) e. RR ) |
49 |
|
eqid |
|- { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } = { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } |
50 |
4 49
|
blcls |
|- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ ( r / 2 ) e. RR* ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } ) |
51 |
8 15 18 50
|
syl3anc |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } ) |
52 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> z e. CC ) |
53 |
15
|
adantr |
|- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> y e. CC ) |
54 |
52 53
|
abs2difd |
|- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( z - y ) ) ) |
55 |
52
|
abscld |
|- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` z ) e. RR ) |
56 |
46
|
adantr |
|- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` y ) e. RR ) |
57 |
55 56
|
resubcld |
|- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) e. RR ) |
58 |
52 53
|
subcld |
|- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( z - y ) e. CC ) |
59 |
58
|
abscld |
|- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( z - y ) ) e. RR ) |
60 |
47
|
adantr |
|- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( r / 2 ) e. RR ) |
61 |
|
letr |
|- ( ( ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) e. RR /\ ( abs ` ( z - y ) ) e. RR /\ ( r / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( z - y ) ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) <_ ( r / 2 ) ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( r / 2 ) ) ) |
62 |
57 59 60 61
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( z - y ) ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) <_ ( r / 2 ) ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( r / 2 ) ) ) |
63 |
54 62
|
mpand |
|- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) <_ ( r / 2 ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( r / 2 ) ) ) |
64 |
52 53
|
abssubd |
|- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) ) |
65 |
|
eqid |
|- ( abs o. - ) = ( abs o. - ) |
66 |
65
|
cnmetdval |
|- ( ( y e. CC /\ z e. CC ) -> ( y ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( y - z ) ) ) |
67 |
15 66
|
sylan |
|- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( y ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( y - z ) ) ) |
68 |
64 67
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( y ( abs o. - ) z ) ) |
69 |
68
|
breq1d |
|- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) <_ ( r / 2 ) <-> ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) ) ) |
70 |
55 56 60
|
lesubadd2d |
|- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( r / 2 ) <-> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) ) |
71 |
63 69 70
|
3imtr3d |
|- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) ) |
72 |
71
|
ralrimiva |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> A. z e. CC ( ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) ) |
73 |
|
oveq2 |
|- ( w = z -> ( y ( abs o. - ) w ) = ( y ( abs o. - ) z ) ) |
74 |
73
|
breq1d |
|- ( w = z -> ( ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) <-> ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) ) ) |
75 |
74
|
ralrab |
|- ( A. z e. { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) <-> A. z e. CC ( ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) ) |
76 |
72 75
|
sylibr |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> A. z e. { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) |
77 |
|
ssralv |
|- ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } -> ( A. z e. { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) -> A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) ) |
78 |
51 76 77
|
sylc |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) |
79 |
|
brralrspcev |
|- ( ( ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) e. RR /\ A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) -> E. s e. RR A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s ) |
80 |
48 78 79
|
syl2anc |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> E. s e. RR A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s ) |
81 |
|
eqid |
|- ( J |`t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) = ( J |`t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) |
82 |
1 81
|
cnheibor |
|- ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ CC -> ( ( J |`t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp <-> ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( Clsd ` J ) /\ E. s e. RR A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s ) ) ) |
83 |
37 82
|
syl |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( J |`t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp <-> ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( Clsd ` J ) /\ E. s e. RR A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s ) ) ) |
84 |
45 80 83
|
mpbir2and |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( J |`t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp ) |
85 |
|
oveq2 |
|- ( u = ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) -> ( J |`t u ) = ( J |`t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) ) |
86 |
85
|
eleq1d |
|- ( u = ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) -> ( ( J |`t u ) e. Comp <-> ( J |`t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp ) ) |
87 |
86
|
rspcev |
|- ( ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) /\ ( J |`t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J |`t u ) e. Comp ) |
88 |
43 84 87
|
syl2anc |
|- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J |`t u ) e. Comp ) |
89 |
6 88
|
rexlimddv |
|- ( ( x e. J /\ y e. x ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J |`t u ) e. Comp ) |
90 |
89
|
rgen2 |
|- A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J |`t u ) e. Comp |
91 |
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isnlly |
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