Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
coe1tm.z |
|- .0. = ( 0g ` R ) |
2 |
|
coe1tm.k |
|- K = ( Base ` R ) |
3 |
|
coe1tm.p |
|- P = ( Poly1 ` R ) |
4 |
|
coe1tm.x |
|- X = ( var1 ` R ) |
5 |
|
coe1tm.m |
|- .x. = ( .s ` P ) |
6 |
|
coe1tm.n |
|- N = ( mulGrp ` P ) |
7 |
|
coe1tm.e |
|- .^ = ( .g ` N ) |
8 |
|
coe1tmmul.b |
|- B = ( Base ` P ) |
9 |
|
coe1tmmul.t |
|- .xb = ( .r ` P ) |
10 |
|
coe1tmmul.u |
|- .X. = ( .r ` R ) |
11 |
|
coe1tmmul.a |
|- ( ph -> A e. B ) |
12 |
|
coe1tmmul.r |
|- ( ph -> R e. Ring ) |
13 |
|
coe1tmmul.c |
|- ( ph -> C e. K ) |
14 |
|
coe1tmmul.d |
|- ( ph -> D e. NN0 ) |
15 |
2 3 4 5 6 7 8
|
ply1tmcl |
|- ( ( R e. Ring /\ C e. K /\ D e. NN0 ) -> ( C .x. ( D .^ X ) ) e. B ) |
16 |
12 13 14 15
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( C .x. ( D .^ X ) ) e. B ) |
17 |
3 9 10 8
|
coe1mul |
|- ( ( R e. Ring /\ A e. B /\ ( C .x. ( D .^ X ) ) e. B ) -> ( coe1 ` ( A .xb ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ) = ( x e. NN0 |-> ( R gsum ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) ) ) |
18 |
12 11 16 17
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( coe1 ` ( A .xb ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ) = ( x e. NN0 |-> ( R gsum ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) ) ) |
19 |
|
eqeq2 |
|- ( ( ( ( coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) = if ( D <_ x , ( ( ( coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) , .0. ) -> ( ( R gsum ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = ( ( ( coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) <-> ( R gsum ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = if ( D <_ x , ( ( ( coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) , .0. ) ) ) |
20 |
|
eqeq2 |
|- ( .0. = if ( D <_ x , ( ( ( coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) , .0. ) -> ( ( R gsum ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = .0. <-> ( R gsum ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = if ( D <_ x , ( ( ( coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) , .0. ) ) ) |
21 |
12
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> R e. Ring ) |
22 |
|
ringmnd |
|- ( R e. Ring -> R e. Mnd ) |
23 |
21 22
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> R e. Mnd ) |
24 |
|
ovex |
|- ( 0 ... x ) e. _V |
25 |
24
|
a1i |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( 0 ... x ) e. _V ) |
26 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> D <_ x ) |
27 |
14
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> D e. NN0 ) |
28 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> x e. NN0 ) |
29 |
|
nn0sub |
|- ( ( D e. NN0 /\ x e. NN0 ) -> ( D <_ x <-> ( x - D ) e. NN0 ) ) |
30 |
27 28 29
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( D <_ x <-> ( x - D ) e. NN0 ) ) |
31 |
26 30
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( x - D ) e. NN0 ) |
32 |
27
|
nn0ge0d |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> 0 <_ D ) |
33 |
|
nn0re |
|- ( x e. NN0 -> x e. RR ) |
34 |
33
|
ad2antrl |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> x e. RR ) |
35 |
14
|
nn0red |
|- ( ph -> D e. RR ) |
36 |
35
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> D e. RR ) |
37 |
34 36
|
subge02d |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( 0 <_ D <-> ( x - D ) <_ x ) ) |
38 |
32 37
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( x - D ) <_ x ) |
39 |
|
fznn0 |
|- ( x e. NN0 -> ( ( x - D ) e. ( 0 ... x ) <-> ( ( x - D ) e. NN0 /\ ( x - D ) <_ x ) ) ) |
40 |
39
|
ad2antrl |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( ( x - D ) e. ( 0 ... x ) <-> ( ( x - D ) e. NN0 /\ ( x - D ) <_ x ) ) ) |
41 |
31 38 40
|
mpbir2and |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( x - D ) e. ( 0 ... x ) ) |
42 |
12
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> R e. Ring ) |
43 |
|
eqid |
|- ( coe1 ` A ) = ( coe1 ` A ) |
44 |
43 8 3 2
|
coe1f |
|- ( A e. B -> ( coe1 ` A ) : NN0 --> K ) |
45 |
11 44
|
syl |
|- ( ph -> ( coe1 ` A ) : NN0 --> K ) |
46 |
45
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( coe1 ` A ) : NN0 --> K ) |
47 |
|
elfznn0 |
|- ( y e. ( 0 ... x ) -> y e. NN0 ) |
48 |
47
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> y e. NN0 ) |
49 |
46 48
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( ( coe1 ` A ) ` y ) e. K ) |
50 |
|
eqid |
|- ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) = ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) |
51 |
50 8 3 2
|
coe1f |
|- ( ( C .x. ( D .^ X ) ) e. B -> ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) : NN0 --> K ) |
52 |
16 51
|
syl |
|- ( ph -> ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) : NN0 --> K ) |
53 |
52
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) : NN0 --> K ) |
54 |
|
fznn0sub |
|- ( y e. ( 0 ... x ) -> ( x - y ) e. NN0 ) |
55 |
54
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( x - y ) e. NN0 ) |
56 |
53 55
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) e. K ) |
57 |
2 10
|
ringcl |
|- ( ( R e. Ring /\ ( ( coe1 ` A ) ` y ) e. K /\ ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) e. K ) -> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) e. K ) |
58 |
42 49 56 57
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) e. K ) |
59 |
58
|
fmpttd |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) : ( 0 ... x ) --> K ) |
60 |
12
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) ) -> R e. Ring ) |
61 |
13
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) ) -> C e. K ) |
62 |
14
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) ) -> D e. NN0 ) |
63 |
|
eldifi |
|- ( y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) -> y e. ( 0 ... x ) ) |
64 |
63 54
|
syl |
|- ( y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) -> ( x - y ) e. NN0 ) |
65 |
64
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) ) -> ( x - y ) e. NN0 ) |
66 |
|
eldifsn |
|- ( y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) <-> ( y e. ( 0 ... x ) /\ y =/= ( x - D ) ) ) |
67 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> x e. NN0 ) |
68 |
67
|
nn0cnd |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> x e. CC ) |
69 |
47
|
nn0cnd |
|- ( y e. ( 0 ... x ) -> y e. CC ) |
70 |
69
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> y e. CC ) |
71 |
68 70
|
nncand |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( x - ( x - y ) ) = y ) |
72 |
71
|
eqcomd |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> y = ( x - ( x - y ) ) ) |
73 |
|
oveq2 |
|- ( D = ( x - y ) -> ( x - D ) = ( x - ( x - y ) ) ) |
74 |
73
|
eqeq2d |
|- ( D = ( x - y ) -> ( y = ( x - D ) <-> y = ( x - ( x - y ) ) ) ) |
75 |
72 74
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( D = ( x - y ) -> y = ( x - D ) ) ) |
76 |
75
|
necon3d |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( y =/= ( x - D ) -> D =/= ( x - y ) ) ) |
77 |
76
|
impr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ ( y e. ( 0 ... x ) /\ y =/= ( x - D ) ) ) -> D =/= ( x - y ) ) |
78 |
66 77
|
sylan2b |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) ) -> D =/= ( x - y ) ) |
79 |
1 2 3 4 5 6 7 60 61 62 65 78
|
coe1tmfv2 |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) ) -> ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) = .0. ) |
80 |
79
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) ) -> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) = ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. .0. ) ) |
81 |
2 10 1
|
ringrz |
|- ( ( R e. Ring /\ ( ( coe1 ` A ) ` y ) e. K ) -> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. .0. ) = .0. ) |
82 |
42 49 81
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. .0. ) = .0. ) |
83 |
63 82
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) ) -> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. .0. ) = .0. ) |
84 |
80 83
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) \ { ( x - D ) } ) ) -> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) = .0. ) |
85 |
84 25
|
suppss2 |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) supp .0. ) C_ { ( x - D ) } ) |
86 |
2 1 23 25 41 59 85
|
gsumpt |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( R gsum ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = ( ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ` ( x - D ) ) ) |
87 |
|
fveq2 |
|- ( y = ( x - D ) -> ( ( coe1 ` A ) ` y ) = ( ( coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) ) |
88 |
|
oveq2 |
|- ( y = ( x - D ) -> ( x - y ) = ( x - ( x - D ) ) ) |
89 |
88
|
fveq2d |
|- ( y = ( x - D ) -> ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) = ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - ( x - D ) ) ) ) |
90 |
87 89
|
oveq12d |
|- ( y = ( x - D ) -> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) = ( ( ( coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - ( x - D ) ) ) ) ) |
91 |
|
eqid |
|- ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) = ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) |
92 |
|
ovex |
|- ( ( ( coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - ( x - D ) ) ) ) e. _V |
93 |
90 91 92
|
fvmpt |
|- ( ( x - D ) e. ( 0 ... x ) -> ( ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ` ( x - D ) ) = ( ( ( coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - ( x - D ) ) ) ) ) |
94 |
41 93
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ` ( x - D ) ) = ( ( ( coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - ( x - D ) ) ) ) ) |
95 |
28
|
nn0cnd |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> x e. CC ) |
96 |
27
|
nn0cnd |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> D e. CC ) |
97 |
95 96
|
nncand |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( x - ( x - D ) ) = D ) |
98 |
97
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - ( x - D ) ) ) = ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` D ) ) |
99 |
13
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> C e. K ) |
100 |
1 2 3 4 5 6 7
|
coe1tmfv1 |
|- ( ( R e. Ring /\ C e. K /\ D e. NN0 ) -> ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` D ) = C ) |
101 |
21 99 27 100
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` D ) = C ) |
102 |
98 101
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - ( x - D ) ) ) = C ) |
103 |
102
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( ( ( coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - ( x - D ) ) ) ) = ( ( ( coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) ) |
104 |
86 94 103
|
3eqtrd |
|- ( ( ph /\ ( x e. NN0 /\ D <_ x ) ) -> ( R gsum ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = ( ( ( coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) ) |
105 |
104
|
anassrs |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ D <_ x ) -> ( R gsum ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = ( ( ( coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) ) |
106 |
12
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> R e. Ring ) |
107 |
13
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> C e. K ) |
108 |
14
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> D e. NN0 ) |
109 |
54
|
ad2antll |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( x - y ) e. NN0 ) |
110 |
54
|
nn0red |
|- ( y e. ( 0 ... x ) -> ( x - y ) e. RR ) |
111 |
110
|
ad2antll |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( x - y ) e. RR ) |
112 |
33
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> x e. RR ) |
113 |
35
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> D e. RR ) |
114 |
47
|
ad2antll |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> y e. NN0 ) |
115 |
114
|
nn0ge0d |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> 0 <_ y ) |
116 |
47
|
nn0red |
|- ( y e. ( 0 ... x ) -> y e. RR ) |
117 |
116
|
ad2antll |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> y e. RR ) |
118 |
112 117
|
subge02d |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( 0 <_ y <-> ( x - y ) <_ x ) ) |
119 |
115 118
|
mpbid |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( x - y ) <_ x ) |
120 |
|
simprl |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> -. D <_ x ) |
121 |
112 113
|
ltnled |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( x < D <-> -. D <_ x ) ) |
122 |
120 121
|
mpbird |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> x < D ) |
123 |
111 112 113 119 122
|
lelttrd |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( x - y ) < D ) |
124 |
111 123
|
gtned |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> D =/= ( x - y ) ) |
125 |
1 2 3 4 5 6 7 106 107 108 109 124
|
coe1tmfv2 |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) = .0. ) |
126 |
125
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) = ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. .0. ) ) |
127 |
45
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( coe1 ` A ) : NN0 --> K ) |
128 |
127 114
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( ( coe1 ` A ) ` y ) e. K ) |
129 |
106 128 81
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. .0. ) = .0. ) |
130 |
126 129
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ ( -. D <_ x /\ y e. ( 0 ... x ) ) ) -> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) = .0. ) |
131 |
130
|
anassrs |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) /\ y e. ( 0 ... x ) ) -> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) = .0. ) |
132 |
131
|
mpteq2dva |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) -> ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) = ( y e. ( 0 ... x ) |-> .0. ) ) |
133 |
132
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) -> ( R gsum ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = ( R gsum ( y e. ( 0 ... x ) |-> .0. ) ) ) |
134 |
12 22
|
syl |
|- ( ph -> R e. Mnd ) |
135 |
1
|
gsumz |
|- ( ( R e. Mnd /\ ( 0 ... x ) e. _V ) -> ( R gsum ( y e. ( 0 ... x ) |-> .0. ) ) = .0. ) |
136 |
134 24 135
|
sylancl |
|- ( ph -> ( R gsum ( y e. ( 0 ... x ) |-> .0. ) ) = .0. ) |
137 |
136
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) -> ( R gsum ( y e. ( 0 ... x ) |-> .0. ) ) = .0. ) |
138 |
133 137
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) /\ -. D <_ x ) -> ( R gsum ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = .0. ) |
139 |
19 20 105 138
|
ifbothda |
|- ( ( ph /\ x e. NN0 ) -> ( R gsum ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) = if ( D <_ x , ( ( ( coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) , .0. ) ) |
140 |
139
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( x e. NN0 |-> ( R gsum ( y e. ( 0 ... x ) |-> ( ( ( coe1 ` A ) ` y ) .X. ( ( coe1 ` ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ` ( x - y ) ) ) ) ) ) = ( x e. NN0 |-> if ( D <_ x , ( ( ( coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) , .0. ) ) ) |
141 |
18 140
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( coe1 ` ( A .xb ( C .x. ( D .^ X ) ) ) ) = ( x e. NN0 |-> if ( D <_ x , ( ( ( coe1 ` A ) ` ( x - D ) ) .X. C ) , .0. ) ) ) |