Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dgrco.1 |
|- M = ( deg ` F ) |
2 |
|
dgrco.2 |
|- N = ( deg ` G ) |
3 |
|
dgrco.3 |
|- ( ph -> F e. ( Poly ` S ) ) |
4 |
|
dgrco.4 |
|- ( ph -> G e. ( Poly ` S ) ) |
5 |
|
plyssc |
|- ( Poly ` S ) C_ ( Poly ` CC ) |
6 |
5 3
|
sselid |
|- ( ph -> F e. ( Poly ` CC ) ) |
7 |
|
dgrcl |
|- ( F e. ( Poly ` S ) -> ( deg ` F ) e. NN0 ) |
8 |
3 7
|
syl |
|- ( ph -> ( deg ` F ) e. NN0 ) |
9 |
1 8
|
eqeltrid |
|- ( ph -> M e. NN0 ) |
10 |
|
breq2 |
|- ( x = 0 -> ( ( deg ` f ) <_ x <-> ( deg ` f ) <_ 0 ) ) |
11 |
10
|
imbi1d |
|- ( x = 0 -> ( ( ( deg ` f ) <_ x -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) <-> ( ( deg ` f ) <_ 0 -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) ) |
12 |
11
|
ralbidv |
|- ( x = 0 -> ( A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ x -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ 0 -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) ) |
13 |
12
|
imbi2d |
|- ( x = 0 -> ( ( ph -> A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ x -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ 0 -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) ) ) |
14 |
|
breq2 |
|- ( x = d -> ( ( deg ` f ) <_ x <-> ( deg ` f ) <_ d ) ) |
15 |
14
|
imbi1d |
|- ( x = d -> ( ( ( deg ` f ) <_ x -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) <-> ( ( deg ` f ) <_ d -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) ) |
16 |
15
|
ralbidv |
|- ( x = d -> ( A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ x -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ d -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) ) |
17 |
16
|
imbi2d |
|- ( x = d -> ( ( ph -> A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ x -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ d -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) ) ) |
18 |
|
breq2 |
|- ( x = ( d + 1 ) -> ( ( deg ` f ) <_ x <-> ( deg ` f ) <_ ( d + 1 ) ) ) |
19 |
18
|
imbi1d |
|- ( x = ( d + 1 ) -> ( ( ( deg ` f ) <_ x -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) <-> ( ( deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) ) |
20 |
19
|
ralbidv |
|- ( x = ( d + 1 ) -> ( A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ x -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) ) |
21 |
20
|
imbi2d |
|- ( x = ( d + 1 ) -> ( ( ph -> A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ x -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) ) ) |
22 |
|
breq2 |
|- ( x = M -> ( ( deg ` f ) <_ x <-> ( deg ` f ) <_ M ) ) |
23 |
22
|
imbi1d |
|- ( x = M -> ( ( ( deg ` f ) <_ x -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) <-> ( ( deg ` f ) <_ M -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) ) |
24 |
23
|
ralbidv |
|- ( x = M -> ( A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ x -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ M -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) ) |
25 |
24
|
imbi2d |
|- ( x = M -> ( ( ph -> A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ x -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ M -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) ) ) |
26 |
|
dgrcl |
|- ( G e. ( Poly ` S ) -> ( deg ` G ) e. NN0 ) |
27 |
4 26
|
syl |
|- ( ph -> ( deg ` G ) e. NN0 ) |
28 |
2 27
|
eqeltrid |
|- ( ph -> N e. NN0 ) |
29 |
28
|
nn0cnd |
|- ( ph -> N e. CC ) |
30 |
29
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) -> N e. CC ) |
31 |
30
|
mul02d |
|- ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( 0 x. N ) = 0 ) |
32 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( deg ` f ) <_ 0 ) |
33 |
|
dgrcl |
|- ( f e. ( Poly ` CC ) -> ( deg ` f ) e. NN0 ) |
34 |
33
|
ad2antrl |
|- ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( deg ` f ) e. NN0 ) |
35 |
34
|
nn0ge0d |
|- ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) -> 0 <_ ( deg ` f ) ) |
36 |
34
|
nn0red |
|- ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( deg ` f ) e. RR ) |
37 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
38 |
|
letri3 |
|- ( ( ( deg ` f ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( deg ` f ) = 0 <-> ( ( deg ` f ) <_ 0 /\ 0 <_ ( deg ` f ) ) ) ) |
39 |
36 37 38
|
sylancl |
|- ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( ( deg ` f ) = 0 <-> ( ( deg ` f ) <_ 0 /\ 0 <_ ( deg ` f ) ) ) ) |
40 |
32 35 39
|
mpbir2and |
|- ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( deg ` f ) = 0 ) |
41 |
40
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( ( deg ` f ) x. N ) = ( 0 x. N ) ) |
42 |
31 41 40
|
3eqtr4d |
|- ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( ( deg ` f ) x. N ) = ( deg ` f ) ) |
43 |
|
fconstmpt |
|- ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) = ( y e. CC |-> ( f ` 0 ) ) |
44 |
|
0dgrb |
|- ( f e. ( Poly ` CC ) -> ( ( deg ` f ) = 0 <-> f = ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) ) ) |
45 |
44
|
ad2antrl |
|- ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( ( deg ` f ) = 0 <-> f = ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) ) ) |
46 |
40 45
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) -> f = ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) ) |
47 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) -> G e. ( Poly ` S ) ) |
48 |
|
plyf |
|- ( G e. ( Poly ` S ) -> G : CC --> CC ) |
49 |
47 48
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) -> G : CC --> CC ) |
50 |
49
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) /\ y e. CC ) -> ( G ` y ) e. CC ) |
51 |
49
|
feqmptd |
|- ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) -> G = ( y e. CC |-> ( G ` y ) ) ) |
52 |
|
fconstmpt |
|- ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) = ( x e. CC |-> ( f ` 0 ) ) |
53 |
46 52
|
eqtrdi |
|- ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) -> f = ( x e. CC |-> ( f ` 0 ) ) ) |
54 |
|
eqidd |
|- ( x = ( G ` y ) -> ( f ` 0 ) = ( f ` 0 ) ) |
55 |
50 51 53 54
|
fmptco |
|- ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( f o. G ) = ( y e. CC |-> ( f ` 0 ) ) ) |
56 |
43 46 55
|
3eqtr4a |
|- ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) -> f = ( f o. G ) ) |
57 |
56
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( deg ` f ) = ( deg ` ( f o. G ) ) ) |
58 |
42 57
|
eqtr2d |
|- ( ( ph /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ ( deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) |
59 |
58
|
expr |
|- ( ( ph /\ f e. ( Poly ` CC ) ) -> ( ( deg ` f ) <_ 0 -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) |
60 |
59
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ 0 -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) |
61 |
|
fveq2 |
|- ( f = g -> ( deg ` f ) = ( deg ` g ) ) |
62 |
61
|
breq1d |
|- ( f = g -> ( ( deg ` f ) <_ d <-> ( deg ` g ) <_ d ) ) |
63 |
|
coeq1 |
|- ( f = g -> ( f o. G ) = ( g o. G ) ) |
64 |
63
|
fveq2d |
|- ( f = g -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( deg ` ( g o. G ) ) ) |
65 |
61
|
oveq1d |
|- ( f = g -> ( ( deg ` f ) x. N ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) |
66 |
64 65
|
eqeq12d |
|- ( f = g -> ( ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) <-> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) |
67 |
62 66
|
imbi12d |
|- ( f = g -> ( ( ( deg ` f ) <_ d -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) <-> ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) ) |
68 |
67
|
cbvralvw |
|- ( A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ d -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) <-> A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) |
69 |
33
|
ad2antrl |
|- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( deg ` f ) e. NN0 ) |
70 |
69
|
nn0red |
|- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( deg ` f ) e. RR ) |
71 |
|
nn0p1nn |
|- ( d e. NN0 -> ( d + 1 ) e. NN ) |
72 |
71
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( d + 1 ) e. NN ) |
73 |
72
|
nnred |
|- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( d + 1 ) e. RR ) |
74 |
70 73
|
leloed |
|- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( ( deg ` f ) <_ ( d + 1 ) <-> ( ( deg ` f ) < ( d + 1 ) \/ ( deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) ) |
75 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> d e. NN0 ) |
76 |
|
nn0leltp1 |
|- ( ( ( deg ` f ) e. NN0 /\ d e. NN0 ) -> ( ( deg ` f ) <_ d <-> ( deg ` f ) < ( d + 1 ) ) ) |
77 |
69 75 76
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( ( deg ` f ) <_ d <-> ( deg ` f ) < ( d + 1 ) ) ) |
78 |
|
fveq2 |
|- ( g = f -> ( deg ` g ) = ( deg ` f ) ) |
79 |
78
|
breq1d |
|- ( g = f -> ( ( deg ` g ) <_ d <-> ( deg ` f ) <_ d ) ) |
80 |
|
coeq1 |
|- ( g = f -> ( g o. G ) = ( f o. G ) ) |
81 |
80
|
fveq2d |
|- ( g = f -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( deg ` ( f o. G ) ) ) |
82 |
78
|
oveq1d |
|- ( g = f -> ( ( deg ` g ) x. N ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) |
83 |
81 82
|
eqeq12d |
|- ( g = f -> ( ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) <-> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) |
84 |
79 83
|
imbi12d |
|- ( g = f -> ( ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) <-> ( ( deg ` f ) <_ d -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) ) |
85 |
84
|
rspcva |
|- ( ( f e. ( Poly ` CC ) /\ A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) -> ( ( deg ` f ) <_ d -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) |
86 |
85
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( ( deg ` f ) <_ d -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) |
87 |
77 86
|
sylbird |
|- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( ( deg ` f ) < ( d + 1 ) -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) |
88 |
|
eqid |
|- ( deg ` f ) = ( deg ` f ) |
89 |
|
simprll |
|- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. ( Poly ` CC ) /\ A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) /\ ( deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> f e. ( Poly ` CC ) ) |
90 |
5 4
|
sselid |
|- ( ph -> G e. ( Poly ` CC ) ) |
91 |
90
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. ( Poly ` CC ) /\ A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) /\ ( deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> G e. ( Poly ` CC ) ) |
92 |
|
eqid |
|- ( coeff ` f ) = ( coeff ` f ) |
93 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. ( Poly ` CC ) /\ A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) /\ ( deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> d e. NN0 ) |
94 |
|
simprr |
|- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. ( Poly ` CC ) /\ A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) /\ ( deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> ( deg ` f ) = ( d + 1 ) ) |
95 |
|
simprlr |
|- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. ( Poly ` CC ) /\ A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) /\ ( deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) |
96 |
|
fveq2 |
|- ( g = h -> ( deg ` g ) = ( deg ` h ) ) |
97 |
96
|
breq1d |
|- ( g = h -> ( ( deg ` g ) <_ d <-> ( deg ` h ) <_ d ) ) |
98 |
|
coeq1 |
|- ( g = h -> ( g o. G ) = ( h o. G ) ) |
99 |
98
|
fveq2d |
|- ( g = h -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( deg ` ( h o. G ) ) ) |
100 |
96
|
oveq1d |
|- ( g = h -> ( ( deg ` g ) x. N ) = ( ( deg ` h ) x. N ) ) |
101 |
99 100
|
eqeq12d |
|- ( g = h -> ( ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) <-> ( deg ` ( h o. G ) ) = ( ( deg ` h ) x. N ) ) ) |
102 |
97 101
|
imbi12d |
|- ( g = h -> ( ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) <-> ( ( deg ` h ) <_ d -> ( deg ` ( h o. G ) ) = ( ( deg ` h ) x. N ) ) ) ) |
103 |
102
|
cbvralvw |
|- ( A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) <-> A. h e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` h ) <_ d -> ( deg ` ( h o. G ) ) = ( ( deg ` h ) x. N ) ) ) |
104 |
95 103
|
sylib |
|- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. ( Poly ` CC ) /\ A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) /\ ( deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> A. h e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` h ) <_ d -> ( deg ` ( h o. G ) ) = ( ( deg ` h ) x. N ) ) ) |
105 |
88 2 89 91 92 93 94 104
|
dgrcolem2 |
|- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. ( Poly ` CC ) /\ A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) /\ ( deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) |
106 |
105
|
expr |
|- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( ( deg ` f ) = ( d + 1 ) -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) |
107 |
87 106
|
jaod |
|- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( ( ( deg ` f ) < ( d + 1 ) \/ ( deg ` f ) = ( d + 1 ) ) -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) |
108 |
74 107
|
sylbid |
|- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. ( Poly ` CC ) /\ A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( ( deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) |
109 |
108
|
expr |
|- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ f e. ( Poly ` CC ) ) -> ( A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) -> ( ( deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) ) |
110 |
109
|
ralrimdva |
|- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( A. g e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` g ) <_ d -> ( deg ` ( g o. G ) ) = ( ( deg ` g ) x. N ) ) -> A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) ) |
111 |
68 110
|
syl5bi |
|- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ d -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) -> A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) ) |
112 |
111
|
expcom |
|- ( d e. NN0 -> ( ph -> ( A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ d -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) -> A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) ) ) |
113 |
112
|
a2d |
|- ( d e. NN0 -> ( ( ph -> A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ d -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) -> ( ph -> A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) ) ) |
114 |
13 17 21 25 60 113
|
nn0ind |
|- ( M e. NN0 -> ( ph -> A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ M -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) ) |
115 |
9 114
|
mpcom |
|- ( ph -> A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ M -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) ) |
116 |
9
|
nn0red |
|- ( ph -> M e. RR ) |
117 |
116
|
leidd |
|- ( ph -> M <_ M ) |
118 |
|
fveq2 |
|- ( f = F -> ( deg ` f ) = ( deg ` F ) ) |
119 |
118 1
|
eqtr4di |
|- ( f = F -> ( deg ` f ) = M ) |
120 |
119
|
breq1d |
|- ( f = F -> ( ( deg ` f ) <_ M <-> M <_ M ) ) |
121 |
|
coeq1 |
|- ( f = F -> ( f o. G ) = ( F o. G ) ) |
122 |
121
|
fveq2d |
|- ( f = F -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( deg ` ( F o. G ) ) ) |
123 |
119
|
oveq1d |
|- ( f = F -> ( ( deg ` f ) x. N ) = ( M x. N ) ) |
124 |
122 123
|
eqeq12d |
|- ( f = F -> ( ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) <-> ( deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) ) ) |
125 |
120 124
|
imbi12d |
|- ( f = F -> ( ( ( deg ` f ) <_ M -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) <-> ( M <_ M -> ( deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) ) ) ) |
126 |
125
|
rspcv |
|- ( F e. ( Poly ` CC ) -> ( A. f e. ( Poly ` CC ) ( ( deg ` f ) <_ M -> ( deg ` ( f o. G ) ) = ( ( deg ` f ) x. N ) ) -> ( M <_ M -> ( deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) ) ) ) |
127 |
6 115 117 126
|
syl3c |
|- ( ph -> ( deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) ) |