Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elfm2.l |
|- L = ( Y filGen B ) |
2 |
|
foima |
|- ( F : Y -onto-> X -> ( F " Y ) = X ) |
3 |
2
|
adantl |
|- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( F " Y ) = X ) |
4 |
|
fofun |
|- ( F : Y -onto-> X -> Fun F ) |
5 |
|
elfvdm |
|- ( B e. ( fBas ` Y ) -> Y e. dom fBas ) |
6 |
|
funimaexg |
|- ( ( Fun F /\ Y e. dom fBas ) -> ( F " Y ) e. _V ) |
7 |
4 5 6
|
syl2anr |
|- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( F " Y ) e. _V ) |
8 |
3 7
|
eqeltrrd |
|- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> X e. _V ) |
9 |
|
fof |
|- ( F : Y -onto-> X -> F : Y --> X ) |
10 |
1
|
elfm2 |
|- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( X FilMap F ) ` B ) <-> ( A C_ X /\ E. y e. L ( F " y ) C_ A ) ) ) |
11 |
9 10
|
syl3an3 |
|- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( A e. ( ( X FilMap F ) ` B ) <-> ( A C_ X /\ E. y e. L ( F " y ) C_ A ) ) ) |
12 |
|
fgcl |
|- ( B e. ( fBas ` Y ) -> ( Y filGen B ) e. ( Fil ` Y ) ) |
13 |
1 12
|
eqeltrid |
|- ( B e. ( fBas ` Y ) -> L e. ( Fil ` Y ) ) |
14 |
13
|
3ad2ant2 |
|- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> L e. ( Fil ` Y ) ) |
15 |
14
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ ( y e. L /\ ( F " y ) C_ A ) ) -> L e. ( Fil ` Y ) ) |
16 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ ( y e. L /\ ( F " y ) C_ A ) ) -> y e. L ) |
17 |
|
cnvimass |
|- ( `' F " A ) C_ dom F |
18 |
|
fofn |
|- ( F : Y -onto-> X -> F Fn Y ) |
19 |
18
|
fndmd |
|- ( F : Y -onto-> X -> dom F = Y ) |
20 |
17 19
|
sseqtrid |
|- ( F : Y -onto-> X -> ( `' F " A ) C_ Y ) |
21 |
20
|
3ad2ant3 |
|- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( `' F " A ) C_ Y ) |
22 |
21
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ ( y e. L /\ ( F " y ) C_ A ) ) -> ( `' F " A ) C_ Y ) |
23 |
4
|
3ad2ant3 |
|- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> Fun F ) |
24 |
23
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ y e. L ) -> Fun F ) |
25 |
1
|
eleq2i |
|- ( y e. L <-> y e. ( Y filGen B ) ) |
26 |
|
elfg |
|- ( B e. ( fBas ` Y ) -> ( y e. ( Y filGen B ) <-> ( y C_ Y /\ E. z e. B z C_ y ) ) ) |
27 |
26
|
3ad2ant2 |
|- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( y e. ( Y filGen B ) <-> ( y C_ Y /\ E. z e. B z C_ y ) ) ) |
28 |
27
|
adantr |
|- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) -> ( y e. ( Y filGen B ) <-> ( y C_ Y /\ E. z e. B z C_ y ) ) ) |
29 |
25 28
|
syl5bb |
|- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) -> ( y e. L <-> ( y C_ Y /\ E. z e. B z C_ y ) ) ) |
30 |
29
|
simprbda |
|- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ y e. L ) -> y C_ Y ) |
31 |
|
sseq2 |
|- ( dom F = Y -> ( y C_ dom F <-> y C_ Y ) ) |
32 |
31
|
biimpar |
|- ( ( dom F = Y /\ y C_ Y ) -> y C_ dom F ) |
33 |
19 32
|
sylan |
|- ( ( F : Y -onto-> X /\ y C_ Y ) -> y C_ dom F ) |
34 |
33
|
3ad2antl3 |
|- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ y C_ Y ) -> y C_ dom F ) |
35 |
34
|
adantlr |
|- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ y C_ Y ) -> y C_ dom F ) |
36 |
30 35
|
syldan |
|- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ y e. L ) -> y C_ dom F ) |
37 |
|
funimass3 |
|- ( ( Fun F /\ y C_ dom F ) -> ( ( F " y ) C_ A <-> y C_ ( `' F " A ) ) ) |
38 |
24 36 37
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ y e. L ) -> ( ( F " y ) C_ A <-> y C_ ( `' F " A ) ) ) |
39 |
38
|
biimpd |
|- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ y e. L ) -> ( ( F " y ) C_ A -> y C_ ( `' F " A ) ) ) |
40 |
39
|
impr |
|- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ ( y e. L /\ ( F " y ) C_ A ) ) -> y C_ ( `' F " A ) ) |
41 |
|
filss |
|- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ ( y e. L /\ ( `' F " A ) C_ Y /\ y C_ ( `' F " A ) ) ) -> ( `' F " A ) e. L ) |
42 |
15 16 22 40 41
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ ( y e. L /\ ( F " y ) C_ A ) ) -> ( `' F " A ) e. L ) |
43 |
|
foimacnv |
|- ( ( F : Y -onto-> X /\ A C_ X ) -> ( F " ( `' F " A ) ) = A ) |
44 |
43
|
eqcomd |
|- ( ( F : Y -onto-> X /\ A C_ X ) -> A = ( F " ( `' F " A ) ) ) |
45 |
44
|
3ad2antl3 |
|- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) -> A = ( F " ( `' F " A ) ) ) |
46 |
45
|
adantr |
|- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ ( y e. L /\ ( F " y ) C_ A ) ) -> A = ( F " ( `' F " A ) ) ) |
47 |
|
imaeq2 |
|- ( x = ( `' F " A ) -> ( F " x ) = ( F " ( `' F " A ) ) ) |
48 |
47
|
rspceeqv |
|- ( ( ( `' F " A ) e. L /\ A = ( F " ( `' F " A ) ) ) -> E. x e. L A = ( F " x ) ) |
49 |
42 46 48
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ ( y e. L /\ ( F " y ) C_ A ) ) -> E. x e. L A = ( F " x ) ) |
50 |
49
|
rexlimdvaa |
|- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) -> ( E. y e. L ( F " y ) C_ A -> E. x e. L A = ( F " x ) ) ) |
51 |
50
|
expimpd |
|- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( ( A C_ X /\ E. y e. L ( F " y ) C_ A ) -> E. x e. L A = ( F " x ) ) ) |
52 |
|
simprr |
|- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ ( x e. L /\ A = ( F " x ) ) ) -> A = ( F " x ) ) |
53 |
|
imassrn |
|- ( F " x ) C_ ran F |
54 |
|
forn |
|- ( F : Y -onto-> X -> ran F = X ) |
55 |
54
|
3ad2ant3 |
|- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ran F = X ) |
56 |
55
|
adantr |
|- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ ( x e. L /\ A = ( F " x ) ) ) -> ran F = X ) |
57 |
53 56
|
sseqtrid |
|- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ ( x e. L /\ A = ( F " x ) ) ) -> ( F " x ) C_ X ) |
58 |
52 57
|
eqsstrd |
|- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ ( x e. L /\ A = ( F " x ) ) ) -> A C_ X ) |
59 |
|
eqimss2 |
|- ( A = ( F " x ) -> ( F " x ) C_ A ) |
60 |
|
imaeq2 |
|- ( y = x -> ( F " y ) = ( F " x ) ) |
61 |
60
|
sseq1d |
|- ( y = x -> ( ( F " y ) C_ A <-> ( F " x ) C_ A ) ) |
62 |
61
|
rspcev |
|- ( ( x e. L /\ ( F " x ) C_ A ) -> E. y e. L ( F " y ) C_ A ) |
63 |
59 62
|
sylan2 |
|- ( ( x e. L /\ A = ( F " x ) ) -> E. y e. L ( F " y ) C_ A ) |
64 |
63
|
adantl |
|- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ ( x e. L /\ A = ( F " x ) ) ) -> E. y e. L ( F " y ) C_ A ) |
65 |
58 64
|
jca |
|- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ ( x e. L /\ A = ( F " x ) ) ) -> ( A C_ X /\ E. y e. L ( F " y ) C_ A ) ) |
66 |
65
|
rexlimdvaa |
|- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( E. x e. L A = ( F " x ) -> ( A C_ X /\ E. y e. L ( F " y ) C_ A ) ) ) |
67 |
51 66
|
impbid |
|- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( ( A C_ X /\ E. y e. L ( F " y ) C_ A ) <-> E. x e. L A = ( F " x ) ) ) |
68 |
11 67
|
bitrd |
|- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( A e. ( ( X FilMap F ) ` B ) <-> E. x e. L A = ( F " x ) ) ) |
69 |
68
|
3coml |
|- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X /\ X e. _V ) -> ( A e. ( ( X FilMap F ) ` B ) <-> E. x e. L A = ( F " x ) ) ) |
70 |
8 69
|
mpd3an3 |
|- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( A e. ( ( X FilMap F ) ` B ) <-> E. x e. L A = ( F " x ) ) ) |