Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpr |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ~P ~P X e. dom card ) -> ~P ~P X e. dom card ) |
2 |
|
rabss |
|- ( { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } C_ ~P ~P X <-> A. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g -> g e. ~P ~P X ) ) |
3 |
|
filsspw |
|- ( g e. ( Fil ` X ) -> g C_ ~P X ) |
4 |
|
velpw |
|- ( g e. ~P ~P X <-> g C_ ~P X ) |
5 |
3 4
|
sylibr |
|- ( g e. ( Fil ` X ) -> g e. ~P ~P X ) |
6 |
5
|
a1d |
|- ( g e. ( Fil ` X ) -> ( F C_ g -> g e. ~P ~P X ) ) |
7 |
2 6
|
mprgbir |
|- { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } C_ ~P ~P X |
8 |
|
ssnum |
|- ( ( ~P ~P X e. dom card /\ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } C_ ~P ~P X ) -> { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } e. dom card ) |
9 |
1 7 8
|
sylancl |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ~P ~P X e. dom card ) -> { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } e. dom card ) |
10 |
|
ssid |
|- F C_ F |
11 |
10
|
jctr |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F e. ( Fil ` X ) /\ F C_ F ) ) |
12 |
|
sseq2 |
|- ( g = F -> ( F C_ g <-> F C_ F ) ) |
13 |
12
|
elrab |
|- ( F e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ F C_ F ) ) |
14 |
11 13
|
sylibr |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } ) |
15 |
14
|
ne0d |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } =/= (/) ) |
16 |
15
|
adantr |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ~P ~P X e. dom card ) -> { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } =/= (/) ) |
17 |
|
sseq2 |
|- ( g = U. x -> ( F C_ g <-> F C_ U. x ) ) |
18 |
|
simpr1 |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [C.] Or x ) ) -> x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } ) |
19 |
|
ssrab |
|- ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } <-> ( x C_ ( Fil ` X ) /\ A. g e. x F C_ g ) ) |
20 |
18 19
|
sylib |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [C.] Or x ) ) -> ( x C_ ( Fil ` X ) /\ A. g e. x F C_ g ) ) |
21 |
20
|
simpld |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [C.] Or x ) ) -> x C_ ( Fil ` X ) ) |
22 |
|
simpr2 |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [C.] Or x ) ) -> x =/= (/) ) |
23 |
|
simpr3 |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [C.] Or x ) ) -> [C.] Or x ) |
24 |
|
sorpssun |
|- ( ( [C.] Or x /\ ( g e. x /\ h e. x ) ) -> ( g u. h ) e. x ) |
25 |
24
|
ralrimivva |
|- ( [C.] Or x -> A. g e. x A. h e. x ( g u. h ) e. x ) |
26 |
23 25
|
syl |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [C.] Or x ) ) -> A. g e. x A. h e. x ( g u. h ) e. x ) |
27 |
|
filuni |
|- ( ( x C_ ( Fil ` X ) /\ x =/= (/) /\ A. g e. x A. h e. x ( g u. h ) e. x ) -> U. x e. ( Fil ` X ) ) |
28 |
21 22 26 27
|
syl3anc |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [C.] Or x ) ) -> U. x e. ( Fil ` X ) ) |
29 |
|
n0 |
|- ( x =/= (/) <-> E. h h e. x ) |
30 |
|
ssel2 |
|- ( ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ h e. x ) -> h e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } ) |
31 |
|
sseq2 |
|- ( g = h -> ( F C_ g <-> F C_ h ) ) |
32 |
31
|
elrab |
|- ( h e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } <-> ( h e. ( Fil ` X ) /\ F C_ h ) ) |
33 |
30 32
|
sylib |
|- ( ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ h e. x ) -> ( h e. ( Fil ` X ) /\ F C_ h ) ) |
34 |
33
|
simprd |
|- ( ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ h e. x ) -> F C_ h ) |
35 |
|
ssuni |
|- ( ( F C_ h /\ h e. x ) -> F C_ U. x ) |
36 |
34 35
|
sylancom |
|- ( ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ h e. x ) -> F C_ U. x ) |
37 |
36
|
ex |
|- ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } -> ( h e. x -> F C_ U. x ) ) |
38 |
37
|
exlimdv |
|- ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } -> ( E. h h e. x -> F C_ U. x ) ) |
39 |
29 38
|
syl5bi |
|- ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } -> ( x =/= (/) -> F C_ U. x ) ) |
40 |
18 22 39
|
sylc |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [C.] Or x ) ) -> F C_ U. x ) |
41 |
17 28 40
|
elrabd |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [C.] Or x ) ) -> U. x e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } ) |
42 |
41
|
ex |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [C.] Or x ) -> U. x e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } ) ) |
43 |
42
|
alrimiv |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> A. x ( ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [C.] Or x ) -> U. x e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } ) ) |
44 |
43
|
adantr |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ~P ~P X e. dom card ) -> A. x ( ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [C.] Or x ) -> U. x e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } ) ) |
45 |
|
zornn0g |
|- ( ( { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } e. dom card /\ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } =/= (/) /\ A. x ( ( x C_ { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ x =/= (/) /\ [C.] Or x ) -> U. x e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } ) ) -> E. f e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } A. h e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } -. f C. h ) |
46 |
9 16 44 45
|
syl3anc |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ~P ~P X e. dom card ) -> E. f e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } A. h e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } -. f C. h ) |
47 |
|
sseq2 |
|- ( g = f -> ( F C_ g <-> F C_ f ) ) |
48 |
47
|
elrab |
|- ( f e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } <-> ( f e. ( Fil ` X ) /\ F C_ f ) ) |
49 |
31
|
ralrab |
|- ( A. h e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } -. f C. h <-> A. h e. ( Fil ` X ) ( F C_ h -> -. f C. h ) ) |
50 |
|
simpll |
|- ( ( ( f e. ( Fil ` X ) /\ F C_ f ) /\ A. h e. ( Fil ` X ) ( F C_ h -> -. f C. h ) ) -> f e. ( Fil ` X ) ) |
51 |
|
sstr2 |
|- ( F C_ f -> ( f C_ h -> F C_ h ) ) |
52 |
51
|
imim1d |
|- ( F C_ f -> ( ( F C_ h -> -. f C. h ) -> ( f C_ h -> -. f C. h ) ) ) |
53 |
|
df-pss |
|- ( f C. h <-> ( f C_ h /\ f =/= h ) ) |
54 |
53
|
simplbi2 |
|- ( f C_ h -> ( f =/= h -> f C. h ) ) |
55 |
54
|
necon1bd |
|- ( f C_ h -> ( -. f C. h -> f = h ) ) |
56 |
55
|
a2i |
|- ( ( f C_ h -> -. f C. h ) -> ( f C_ h -> f = h ) ) |
57 |
52 56
|
syl6 |
|- ( F C_ f -> ( ( F C_ h -> -. f C. h ) -> ( f C_ h -> f = h ) ) ) |
58 |
57
|
ralimdv |
|- ( F C_ f -> ( A. h e. ( Fil ` X ) ( F C_ h -> -. f C. h ) -> A. h e. ( Fil ` X ) ( f C_ h -> f = h ) ) ) |
59 |
58
|
imp |
|- ( ( F C_ f /\ A. h e. ( Fil ` X ) ( F C_ h -> -. f C. h ) ) -> A. h e. ( Fil ` X ) ( f C_ h -> f = h ) ) |
60 |
59
|
adantll |
|- ( ( ( f e. ( Fil ` X ) /\ F C_ f ) /\ A. h e. ( Fil ` X ) ( F C_ h -> -. f C. h ) ) -> A. h e. ( Fil ` X ) ( f C_ h -> f = h ) ) |
61 |
|
isufil2 |
|- ( f e. ( UFil ` X ) <-> ( f e. ( Fil ` X ) /\ A. h e. ( Fil ` X ) ( f C_ h -> f = h ) ) ) |
62 |
50 60 61
|
sylanbrc |
|- ( ( ( f e. ( Fil ` X ) /\ F C_ f ) /\ A. h e. ( Fil ` X ) ( F C_ h -> -. f C. h ) ) -> f e. ( UFil ` X ) ) |
63 |
|
simplr |
|- ( ( ( f e. ( Fil ` X ) /\ F C_ f ) /\ A. h e. ( Fil ` X ) ( F C_ h -> -. f C. h ) ) -> F C_ f ) |
64 |
62 63
|
jca |
|- ( ( ( f e. ( Fil ` X ) /\ F C_ f ) /\ A. h e. ( Fil ` X ) ( F C_ h -> -. f C. h ) ) -> ( f e. ( UFil ` X ) /\ F C_ f ) ) |
65 |
48 49 64
|
syl2anb |
|- ( ( f e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } /\ A. h e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } -. f C. h ) -> ( f e. ( UFil ` X ) /\ F C_ f ) ) |
66 |
65
|
reximi2 |
|- ( E. f e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } A. h e. { g e. ( Fil ` X ) | F C_ g } -. f C. h -> E. f e. ( UFil ` X ) F C_ f ) |
67 |
46 66
|
syl |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ~P ~P X e. dom card ) -> E. f e. ( UFil ` X ) F C_ f ) |