Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simp2 |
|- ( ( A e. dom card /\ A =/= (/) /\ A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) -> U. z e. A ) ) -> A =/= (/) ) |
2 |
|
simp1 |
|- ( ( A e. dom card /\ A =/= (/) /\ A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) -> U. z e. A ) ) -> A e. dom card ) |
3 |
|
snfi |
|- { (/) } e. Fin |
4 |
|
finnum |
|- ( { (/) } e. Fin -> { (/) } e. dom card ) |
5 |
3 4
|
ax-mp |
|- { (/) } e. dom card |
6 |
|
unnum |
|- ( ( A e. dom card /\ { (/) } e. dom card ) -> ( A u. { (/) } ) e. dom card ) |
7 |
2 5 6
|
sylancl |
|- ( ( A e. dom card /\ A =/= (/) /\ A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) -> U. z e. A ) ) -> ( A u. { (/) } ) e. dom card ) |
8 |
|
uncom |
|- ( A u. { (/) } ) = ( { (/) } u. A ) |
9 |
8
|
sseq2i |
|- ( w C_ ( A u. { (/) } ) <-> w C_ ( { (/) } u. A ) ) |
10 |
|
ssundif |
|- ( w C_ ( { (/) } u. A ) <-> ( w \ { (/) } ) C_ A ) |
11 |
9 10
|
bitri |
|- ( w C_ ( A u. { (/) } ) <-> ( w \ { (/) } ) C_ A ) |
12 |
|
difss |
|- ( w \ { (/) } ) C_ w |
13 |
|
soss |
|- ( ( w \ { (/) } ) C_ w -> ( [C.] Or w -> [C.] Or ( w \ { (/) } ) ) ) |
14 |
12 13
|
ax-mp |
|- ( [C.] Or w -> [C.] Or ( w \ { (/) } ) ) |
15 |
|
ssdif0 |
|- ( w C_ { (/) } <-> ( w \ { (/) } ) = (/) ) |
16 |
|
uni0b |
|- ( U. w = (/) <-> w C_ { (/) } ) |
17 |
16
|
biimpri |
|- ( w C_ { (/) } -> U. w = (/) ) |
18 |
17
|
eleq1d |
|- ( w C_ { (/) } -> ( U. w e. ( A u. { (/) } ) <-> (/) e. ( A u. { (/) } ) ) ) |
19 |
15 18
|
sylbir |
|- ( ( w \ { (/) } ) = (/) -> ( U. w e. ( A u. { (/) } ) <-> (/) e. ( A u. { (/) } ) ) ) |
20 |
19
|
imbi2d |
|- ( ( w \ { (/) } ) = (/) -> ( ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> U. w e. ( A u. { (/) } ) ) <-> ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> (/) e. ( A u. { (/) } ) ) ) ) |
21 |
|
vex |
|- w e. _V |
22 |
21
|
difexi |
|- ( w \ { (/) } ) e. _V |
23 |
|
sseq1 |
|- ( z = ( w \ { (/) } ) -> ( z C_ A <-> ( w \ { (/) } ) C_ A ) ) |
24 |
|
neeq1 |
|- ( z = ( w \ { (/) } ) -> ( z =/= (/) <-> ( w \ { (/) } ) =/= (/) ) ) |
25 |
|
soeq2 |
|- ( z = ( w \ { (/) } ) -> ( [C.] Or z <-> [C.] Or ( w \ { (/) } ) ) ) |
26 |
23 24 25
|
3anbi123d |
|- ( z = ( w \ { (/) } ) -> ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) <-> ( ( w \ { (/) } ) C_ A /\ ( w \ { (/) } ) =/= (/) /\ [C.] Or ( w \ { (/) } ) ) ) ) |
27 |
|
unieq |
|- ( z = ( w \ { (/) } ) -> U. z = U. ( w \ { (/) } ) ) |
28 |
27
|
eleq1d |
|- ( z = ( w \ { (/) } ) -> ( U. z e. A <-> U. ( w \ { (/) } ) e. A ) ) |
29 |
26 28
|
imbi12d |
|- ( z = ( w \ { (/) } ) -> ( ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) -> U. z e. A ) <-> ( ( ( w \ { (/) } ) C_ A /\ ( w \ { (/) } ) =/= (/) /\ [C.] Or ( w \ { (/) } ) ) -> U. ( w \ { (/) } ) e. A ) ) ) |
30 |
22 29
|
spcv |
|- ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> ( ( ( w \ { (/) } ) C_ A /\ ( w \ { (/) } ) =/= (/) /\ [C.] Or ( w \ { (/) } ) ) -> U. ( w \ { (/) } ) e. A ) ) |
31 |
30
|
com12 |
|- ( ( ( w \ { (/) } ) C_ A /\ ( w \ { (/) } ) =/= (/) /\ [C.] Or ( w \ { (/) } ) ) -> ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> U. ( w \ { (/) } ) e. A ) ) |
32 |
31
|
3expa |
|- ( ( ( ( w \ { (/) } ) C_ A /\ ( w \ { (/) } ) =/= (/) ) /\ [C.] Or ( w \ { (/) } ) ) -> ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> U. ( w \ { (/) } ) e. A ) ) |
33 |
32
|
an32s |
|- ( ( ( ( w \ { (/) } ) C_ A /\ [C.] Or ( w \ { (/) } ) ) /\ ( w \ { (/) } ) =/= (/) ) -> ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> U. ( w \ { (/) } ) e. A ) ) |
34 |
|
unidif0 |
|- U. ( w \ { (/) } ) = U. w |
35 |
34
|
eleq1i |
|- ( U. ( w \ { (/) } ) e. A <-> U. w e. A ) |
36 |
|
elun1 |
|- ( U. w e. A -> U. w e. ( A u. { (/) } ) ) |
37 |
35 36
|
sylbi |
|- ( U. ( w \ { (/) } ) e. A -> U. w e. ( A u. { (/) } ) ) |
38 |
33 37
|
syl6 |
|- ( ( ( ( w \ { (/) } ) C_ A /\ [C.] Or ( w \ { (/) } ) ) /\ ( w \ { (/) } ) =/= (/) ) -> ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> U. w e. ( A u. { (/) } ) ) ) |
39 |
|
0ex |
|- (/) e. _V |
40 |
39
|
snid |
|- (/) e. { (/) } |
41 |
|
elun2 |
|- ( (/) e. { (/) } -> (/) e. ( A u. { (/) } ) ) |
42 |
40 41
|
ax-mp |
|- (/) e. ( A u. { (/) } ) |
43 |
42
|
2a1i |
|- ( ( ( w \ { (/) } ) C_ A /\ [C.] Or ( w \ { (/) } ) ) -> ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> (/) e. ( A u. { (/) } ) ) ) |
44 |
20 38 43
|
pm2.61ne |
|- ( ( ( w \ { (/) } ) C_ A /\ [C.] Or ( w \ { (/) } ) ) -> ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> U. w e. ( A u. { (/) } ) ) ) |
45 |
14 44
|
sylan2 |
|- ( ( ( w \ { (/) } ) C_ A /\ [C.] Or w ) -> ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> U. w e. ( A u. { (/) } ) ) ) |
46 |
11 45
|
sylanb |
|- ( ( w C_ ( A u. { (/) } ) /\ [C.] Or w ) -> ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> U. w e. ( A u. { (/) } ) ) ) |
47 |
46
|
com12 |
|- ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> ( ( w C_ ( A u. { (/) } ) /\ [C.] Or w ) -> U. w e. ( A u. { (/) } ) ) ) |
48 |
47
|
alrimiv |
|- ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> A. w ( ( w C_ ( A u. { (/) } ) /\ [C.] Or w ) -> U. w e. ( A u. { (/) } ) ) ) |
49 |
48
|
3ad2ant3 |
|- ( ( A e. dom card /\ A =/= (/) /\ A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) -> U. z e. A ) ) -> A. w ( ( w C_ ( A u. { (/) } ) /\ [C.] Or w ) -> U. w e. ( A u. { (/) } ) ) ) |
50 |
|
zorng |
|- ( ( ( A u. { (/) } ) e. dom card /\ A. w ( ( w C_ ( A u. { (/) } ) /\ [C.] Or w ) -> U. w e. ( A u. { (/) } ) ) ) -> E. x e. ( A u. { (/) } ) A. y e. ( A u. { (/) } ) -. x C. y ) |
51 |
7 49 50
|
syl2anc |
|- ( ( A e. dom card /\ A =/= (/) /\ A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) -> U. z e. A ) ) -> E. x e. ( A u. { (/) } ) A. y e. ( A u. { (/) } ) -. x C. y ) |
52 |
|
ssun1 |
|- A C_ ( A u. { (/) } ) |
53 |
|
ssralv |
|- ( A C_ ( A u. { (/) } ) -> ( A. y e. ( A u. { (/) } ) -. x C. y -> A. y e. A -. x C. y ) ) |
54 |
52 53
|
ax-mp |
|- ( A. y e. ( A u. { (/) } ) -. x C. y -> A. y e. A -. x C. y ) |
55 |
54
|
reximi |
|- ( E. x e. ( A u. { (/) } ) A. y e. ( A u. { (/) } ) -. x C. y -> E. x e. ( A u. { (/) } ) A. y e. A -. x C. y ) |
56 |
|
rexun |
|- ( E. x e. ( A u. { (/) } ) A. y e. A -. x C. y <-> ( E. x e. A A. y e. A -. x C. y \/ E. x e. { (/) } A. y e. A -. x C. y ) ) |
57 |
|
simpr |
|- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. A A. y e. A -. x C. y ) -> E. x e. A A. y e. A -. x C. y ) |
58 |
|
simpr |
|- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. { (/) } A. y e. A -. x C. y ) -> E. x e. { (/) } A. y e. A -. x C. y ) |
59 |
|
psseq1 |
|- ( x = (/) -> ( x C. y <-> (/) C. y ) ) |
60 |
|
0pss |
|- ( (/) C. y <-> y =/= (/) ) |
61 |
59 60
|
bitrdi |
|- ( x = (/) -> ( x C. y <-> y =/= (/) ) ) |
62 |
61
|
notbid |
|- ( x = (/) -> ( -. x C. y <-> -. y =/= (/) ) ) |
63 |
|
nne |
|- ( -. y =/= (/) <-> y = (/) ) |
64 |
62 63
|
bitrdi |
|- ( x = (/) -> ( -. x C. y <-> y = (/) ) ) |
65 |
64
|
ralbidv |
|- ( x = (/) -> ( A. y e. A -. x C. y <-> A. y e. A y = (/) ) ) |
66 |
39 65
|
rexsn |
|- ( E. x e. { (/) } A. y e. A -. x C. y <-> A. y e. A y = (/) ) |
67 |
|
eqsn |
|- ( A =/= (/) -> ( A = { (/) } <-> A. y e. A y = (/) ) ) |
68 |
67
|
biimpar |
|- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A y = (/) ) -> A = { (/) } ) |
69 |
66 68
|
sylan2b |
|- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. { (/) } A. y e. A -. x C. y ) -> A = { (/) } ) |
70 |
69
|
rexeqdv |
|- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. { (/) } A. y e. A -. x C. y ) -> ( E. x e. A A. y e. A -. x C. y <-> E. x e. { (/) } A. y e. A -. x C. y ) ) |
71 |
58 70
|
mpbird |
|- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. { (/) } A. y e. A -. x C. y ) -> E. x e. A A. y e. A -. x C. y ) |
72 |
57 71
|
jaodan |
|- ( ( A =/= (/) /\ ( E. x e. A A. y e. A -. x C. y \/ E. x e. { (/) } A. y e. A -. x C. y ) ) -> E. x e. A A. y e. A -. x C. y ) |
73 |
56 72
|
sylan2b |
|- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. ( A u. { (/) } ) A. y e. A -. x C. y ) -> E. x e. A A. y e. A -. x C. y ) |
74 |
55 73
|
sylan2 |
|- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. ( A u. { (/) } ) A. y e. ( A u. { (/) } ) -. x C. y ) -> E. x e. A A. y e. A -. x C. y ) |
75 |
1 51 74
|
syl2anc |
|- ( ( A e. dom card /\ A =/= (/) /\ A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [C.] Or z ) -> U. z e. A ) ) -> E. x e. A A. y e. A -. x C. y ) |