Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ufilfil |
|- ( F e. ( UFil ` X ) -> F e. ( Fil ` X ) ) |
2 |
|
ufilmax |
|- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) /\ F C_ f ) -> F = f ) |
3 |
2
|
3expia |
|- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) ) -> ( F C_ f -> F = f ) ) |
4 |
3
|
ralrimiva |
|- ( F e. ( UFil ` X ) -> A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) |
5 |
1 4
|
jca |
|- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) ) |
6 |
|
simpl |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> F e. ( Fil ` X ) ) |
7 |
|
velpw |
|- ( x e. ~P X <-> x C_ X ) |
8 |
|
simpll |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F e. ( Fil ` X ) ) |
9 |
|
snex |
|- { x } e. _V |
10 |
|
unexg |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ { x } e. _V ) -> ( F u. { x } ) e. _V ) |
11 |
8 9 10
|
sylancl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) e. _V ) |
12 |
|
ssfii |
|- ( ( F u. { x } ) e. _V -> ( F u. { x } ) C_ ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) |
13 |
11 12
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) C_ ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) |
14 |
|
filsspw |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> F C_ ~P X ) |
15 |
14
|
ad2antrr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F C_ ~P X ) |
16 |
7
|
biimpri |
|- ( x C_ X -> x e. ~P X ) |
17 |
16
|
ad2antlr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x e. ~P X ) |
18 |
17
|
snssd |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> { x } C_ ~P X ) |
19 |
15 18
|
unssd |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) C_ ~P X ) |
20 |
|
ssun2 |
|- { x } C_ ( F u. { x } ) |
21 |
|
vex |
|- x e. _V |
22 |
21
|
snnz |
|- { x } =/= (/) |
23 |
|
ssn0 |
|- ( ( { x } C_ ( F u. { x } ) /\ { x } =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) =/= (/) ) |
24 |
20 22 23
|
mp2an |
|- ( F u. { x } ) =/= (/) |
25 |
24
|
a1i |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) =/= (/) ) |
26 |
|
simpr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) |
27 |
|
ineq2 |
|- ( f = x -> ( y i^i f ) = ( y i^i x ) ) |
28 |
27
|
neeq1d |
|- ( f = x -> ( ( y i^i f ) =/= (/) <-> ( y i^i x ) =/= (/) ) ) |
29 |
21 28
|
ralsn |
|- ( A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) <-> ( y i^i x ) =/= (/) ) |
30 |
29
|
ralbii |
|- ( A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) <-> A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) |
31 |
26 30
|
sylibr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) ) |
32 |
|
filfbas |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) ) |
33 |
32
|
ad2antrr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F e. ( fBas ` X ) ) |
34 |
|
simplr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x C_ X ) |
35 |
|
inss2 |
|- ( X i^i x ) C_ x |
36 |
|
filtop |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F ) |
37 |
36
|
adantr |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) -> X e. F ) |
38 |
|
ineq1 |
|- ( y = X -> ( y i^i x ) = ( X i^i x ) ) |
39 |
38
|
neeq1d |
|- ( y = X -> ( ( y i^i x ) =/= (/) <-> ( X i^i x ) =/= (/) ) ) |
40 |
39
|
rspcva |
|- ( ( X e. F /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( X i^i x ) =/= (/) ) |
41 |
37 40
|
sylan |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( X i^i x ) =/= (/) ) |
42 |
|
ssn0 |
|- ( ( ( X i^i x ) C_ x /\ ( X i^i x ) =/= (/) ) -> x =/= (/) ) |
43 |
35 41 42
|
sylancr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x =/= (/) ) |
44 |
36
|
ad2antrr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> X e. F ) |
45 |
|
snfbas |
|- ( ( x C_ X /\ x =/= (/) /\ X e. F ) -> { x } e. ( fBas ` X ) ) |
46 |
34 43 44 45
|
syl3anc |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> { x } e. ( fBas ` X ) ) |
47 |
|
fbunfip |
|- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ { x } e. ( fBas ` X ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) <-> A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) ) ) |
48 |
33 46 47
|
syl2anc |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) <-> A. y e. F A. f e. { x } ( y i^i f ) =/= (/) ) ) |
49 |
31 48
|
mpbird |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) |
50 |
|
fsubbas |
|- ( X e. F -> ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. { x } ) C_ ~P X /\ ( F u. { x } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) |
51 |
44 50
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. { x } ) C_ ~P X /\ ( F u. { x } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) |
52 |
19 25 49 51
|
mpbir3and |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) ) |
53 |
|
ssfg |
|- ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` ( F u. { x } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) |
54 |
52 53
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( fi ` ( F u. { x } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) |
55 |
13 54
|
sstrd |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F u. { x } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) |
56 |
55
|
unssad |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) |
57 |
|
fgcl |
|- ( ( fi ` ( F u. { x } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) e. ( Fil ` X ) ) |
58 |
|
sseq2 |
|- ( f = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( F C_ f <-> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) |
59 |
|
eqeq2 |
|- ( f = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( F = f <-> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) |
60 |
58 59
|
imbi12d |
|- ( f = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( ( F C_ f -> F = f ) <-> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) ) |
61 |
60
|
rspcv |
|- ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) e. ( Fil ` X ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) ) |
62 |
52 57 61
|
3syl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) ) |
63 |
56 62
|
mpid |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) |
64 |
|
vsnid |
|- x e. { x } |
65 |
20 64
|
sselii |
|- x e. ( F u. { x } ) |
66 |
65
|
a1i |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x e. ( F u. { x } ) ) |
67 |
55 66
|
sseldd |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> x e. ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) |
68 |
|
eleq2 |
|- ( F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> ( x e. F <-> x e. ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) ) ) |
69 |
67 68
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( F = ( X filGen ( fi ` ( F u. { x } ) ) ) -> x e. F ) ) |
70 |
63 69
|
syld |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) -> x e. F ) ) |
71 |
70
|
impancom |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x C_ X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> ( A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> x e. F ) ) |
72 |
71
|
an32s |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> x e. F ) ) |
73 |
72
|
con3d |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( -. x e. F -> -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) ) |
74 |
|
rexnal |
|- ( E. y e. F -. ( y i^i x ) =/= (/) <-> -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) ) |
75 |
|
nne |
|- ( -. ( y i^i x ) =/= (/) <-> ( y i^i x ) = (/) ) |
76 |
|
filelss |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> y C_ X ) |
77 |
|
reldisj |
|- ( y C_ X -> ( ( y i^i x ) = (/) <-> y C_ ( X \ x ) ) ) |
78 |
76 77
|
syl |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( ( y i^i x ) = (/) <-> y C_ ( X \ x ) ) ) |
79 |
|
difss |
|- ( X \ x ) C_ X |
80 |
|
filss |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( y e. F /\ ( X \ x ) C_ X /\ y C_ ( X \ x ) ) ) -> ( X \ x ) e. F ) |
81 |
80
|
3exp2 |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( y e. F -> ( ( X \ x ) C_ X -> ( y C_ ( X \ x ) -> ( X \ x ) e. F ) ) ) ) |
82 |
79 81
|
mpii |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( y e. F -> ( y C_ ( X \ x ) -> ( X \ x ) e. F ) ) ) |
83 |
82
|
imp |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( y C_ ( X \ x ) -> ( X \ x ) e. F ) ) |
84 |
78 83
|
sylbid |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( ( y i^i x ) = (/) -> ( X \ x ) e. F ) ) |
85 |
75 84
|
syl5bi |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ y e. F ) -> ( -. ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) ) |
86 |
85
|
rexlimdva |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( E. y e. F -. ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) ) |
87 |
74 86
|
syl5bir |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) ) |
88 |
87
|
ad2antrr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( -. A. y e. F ( y i^i x ) =/= (/) -> ( X \ x ) e. F ) ) |
89 |
73 88
|
syld |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( -. x e. F -> ( X \ x ) e. F ) ) |
90 |
89
|
orrd |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x C_ X ) -> ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) ) |
91 |
7 90
|
sylan2b |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) /\ x e. ~P X ) -> ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) ) |
92 |
91
|
ralrimiva |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> A. x e. ~P X ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) ) |
93 |
|
isufil |
|- ( F e. ( UFil ` X ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. ~P X ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) ) ) |
94 |
6 92 93
|
sylanbrc |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) -> F e. ( UFil ` X ) ) |
95 |
5 94
|
impbii |
|- ( F e. ( UFil ` X ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( F C_ f -> F = f ) ) ) |