Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fsovd.fs |
|- O = ( a e. _V , b e. _V |-> ( f e. ( ~P b ^m a ) |-> ( y e. b |-> { x e. a | y e. ( f ` x ) } ) ) ) |
2 |
|
fsovd.a |
|- ( ph -> A e. V ) |
3 |
|
fsovd.b |
|- ( ph -> B e. W ) |
4 |
|
fsovd.rf |
|- R = ( a e. _V , b e. _V |-> ( r e. ~P ( a X. b ) |-> ( u e. a |-> { v e. b | u r v } ) ) ) |
5 |
|
fsovd.cnv |
|- C = ( a e. _V , b e. _V |-> ( s e. ~P ( a X. b ) |-> `' s ) ) |
6 |
3 2
|
xpexd |
|- ( ph -> ( B X. A ) e. _V ) |
7 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) -> ( B X. A ) e. _V ) |
8 |
|
elmapi |
|- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> f : A --> ~P B ) |
9 |
8
|
ffvelrnda |
|- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ u e. A ) -> ( f ` u ) e. ~P B ) |
10 |
9
|
elpwid |
|- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ u e. A ) -> ( f ` u ) C_ B ) |
11 |
10
|
sseld |
|- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ u e. A ) -> ( v e. ( f ` u ) -> v e. B ) ) |
12 |
11
|
impancom |
|- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ v e. ( f ` u ) ) -> ( u e. A -> v e. B ) ) |
13 |
12
|
pm4.71d |
|- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ v e. ( f ` u ) ) -> ( u e. A <-> ( u e. A /\ v e. B ) ) ) |
14 |
13
|
ex |
|- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> ( v e. ( f ` u ) -> ( u e. A <-> ( u e. A /\ v e. B ) ) ) ) |
15 |
14
|
pm5.32rd |
|- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> ( ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) <-> ( ( u e. A /\ v e. B ) /\ v e. ( f ` u ) ) ) ) |
16 |
|
ancom |
|- ( ( u e. A /\ v e. B ) <-> ( v e. B /\ u e. A ) ) |
17 |
16
|
anbi1i |
|- ( ( ( u e. A /\ v e. B ) /\ v e. ( f ` u ) ) <-> ( ( v e. B /\ u e. A ) /\ v e. ( f ` u ) ) ) |
18 |
15 17
|
bitrdi |
|- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> ( ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) <-> ( ( v e. B /\ u e. A ) /\ v e. ( f ` u ) ) ) ) |
19 |
18
|
opabbidv |
|- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } = { <. v , u >. | ( ( v e. B /\ u e. A ) /\ v e. ( f ` u ) ) } ) |
20 |
|
opabssxp |
|- { <. v , u >. | ( ( v e. B /\ u e. A ) /\ v e. ( f ` u ) ) } C_ ( B X. A ) |
21 |
19 20
|
eqsstrdi |
|- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } C_ ( B X. A ) ) |
22 |
21
|
adantl |
|- ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) -> { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } C_ ( B X. A ) ) |
23 |
7 22
|
sselpwd |
|- ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) -> { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } e. ~P ( B X. A ) ) |
24 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } ) = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } ) ) |
25 |
4 3 2
|
rfovd |
|- ( ph -> ( B R A ) = ( r e. ~P ( B X. A ) |-> ( u e. B |-> { v e. A | u r v } ) ) ) |
26 |
|
breq |
|- ( r = t -> ( u r v <-> u t v ) ) |
27 |
26
|
rabbidv |
|- ( r = t -> { v e. A | u r v } = { v e. A | u t v } ) |
28 |
27
|
mpteq2dv |
|- ( r = t -> ( u e. B |-> { v e. A | u r v } ) = ( u e. B |-> { v e. A | u t v } ) ) |
29 |
|
breq1 |
|- ( u = c -> ( u t v <-> c t v ) ) |
30 |
29
|
rabbidv |
|- ( u = c -> { v e. A | u t v } = { v e. A | c t v } ) |
31 |
|
breq2 |
|- ( v = d -> ( c t v <-> c t d ) ) |
32 |
31
|
cbvrabv |
|- { v e. A | c t v } = { d e. A | c t d } |
33 |
30 32
|
eqtrdi |
|- ( u = c -> { v e. A | u t v } = { d e. A | c t d } ) |
34 |
33
|
cbvmptv |
|- ( u e. B |-> { v e. A | u t v } ) = ( c e. B |-> { d e. A | c t d } ) |
35 |
28 34
|
eqtrdi |
|- ( r = t -> ( u e. B |-> { v e. A | u r v } ) = ( c e. B |-> { d e. A | c t d } ) ) |
36 |
35
|
cbvmptv |
|- ( r e. ~P ( B X. A ) |-> ( u e. B |-> { v e. A | u r v } ) ) = ( t e. ~P ( B X. A ) |-> ( c e. B |-> { d e. A | c t d } ) ) |
37 |
25 36
|
eqtrdi |
|- ( ph -> ( B R A ) = ( t e. ~P ( B X. A ) |-> ( c e. B |-> { d e. A | c t d } ) ) ) |
38 |
|
breq |
|- ( t = { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } -> ( c t d <-> c { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } d ) ) |
39 |
|
df-br |
|- ( c { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } d <-> <. c , d >. e. { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } ) |
40 |
|
vex |
|- c e. _V |
41 |
|
vex |
|- d e. _V |
42 |
|
eleq1w |
|- ( v = c -> ( v e. ( f ` u ) <-> c e. ( f ` u ) ) ) |
43 |
42
|
anbi2d |
|- ( v = c -> ( ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) <-> ( u e. A /\ c e. ( f ` u ) ) ) ) |
44 |
|
eleq1w |
|- ( u = d -> ( u e. A <-> d e. A ) ) |
45 |
|
fveq2 |
|- ( u = d -> ( f ` u ) = ( f ` d ) ) |
46 |
45
|
eleq2d |
|- ( u = d -> ( c e. ( f ` u ) <-> c e. ( f ` d ) ) ) |
47 |
44 46
|
anbi12d |
|- ( u = d -> ( ( u e. A /\ c e. ( f ` u ) ) <-> ( d e. A /\ c e. ( f ` d ) ) ) ) |
48 |
40 41 43 47
|
opelopab |
|- ( <. c , d >. e. { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } <-> ( d e. A /\ c e. ( f ` d ) ) ) |
49 |
39 48
|
bitri |
|- ( c { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } d <-> ( d e. A /\ c e. ( f ` d ) ) ) |
50 |
38 49
|
bitrdi |
|- ( t = { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } -> ( c t d <-> ( d e. A /\ c e. ( f ` d ) ) ) ) |
51 |
50
|
rabbidv |
|- ( t = { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } -> { d e. A | c t d } = { d e. A | ( d e. A /\ c e. ( f ` d ) ) } ) |
52 |
51
|
mpteq2dv |
|- ( t = { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } -> ( c e. B |-> { d e. A | c t d } ) = ( c e. B |-> { d e. A | ( d e. A /\ c e. ( f ` d ) ) } ) ) |
53 |
|
ibar |
|- ( d e. A -> ( c e. ( f ` d ) <-> ( d e. A /\ c e. ( f ` d ) ) ) ) |
54 |
53
|
bicomd |
|- ( d e. A -> ( ( d e. A /\ c e. ( f ` d ) ) <-> c e. ( f ` d ) ) ) |
55 |
54
|
rabbiia |
|- { d e. A | ( d e. A /\ c e. ( f ` d ) ) } = { d e. A | c e. ( f ` d ) } |
56 |
|
fveq2 |
|- ( d = x -> ( f ` d ) = ( f ` x ) ) |
57 |
56
|
eleq2d |
|- ( d = x -> ( c e. ( f ` d ) <-> c e. ( f ` x ) ) ) |
58 |
57
|
cbvrabv |
|- { d e. A | c e. ( f ` d ) } = { x e. A | c e. ( f ` x ) } |
59 |
55 58
|
eqtri |
|- { d e. A | ( d e. A /\ c e. ( f ` d ) ) } = { x e. A | c e. ( f ` x ) } |
60 |
59
|
mpteq2i |
|- ( c e. B |-> { d e. A | ( d e. A /\ c e. ( f ` d ) ) } ) = ( c e. B |-> { x e. A | c e. ( f ` x ) } ) |
61 |
|
eleq1w |
|- ( c = y -> ( c e. ( f ` x ) <-> y e. ( f ` x ) ) ) |
62 |
61
|
rabbidv |
|- ( c = y -> { x e. A | c e. ( f ` x ) } = { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) |
63 |
62
|
cbvmptv |
|- ( c e. B |-> { x e. A | c e. ( f ` x ) } ) = ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) |
64 |
60 63
|
eqtri |
|- ( c e. B |-> { d e. A | ( d e. A /\ c e. ( f ` d ) ) } ) = ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) |
65 |
52 64
|
eqtrdi |
|- ( t = { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } -> ( c e. B |-> { d e. A | c t d } ) = ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ) |
66 |
23 24 37 65
|
fmptco |
|- ( ph -> ( ( B R A ) o. ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } ) ) = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ) ) |
67 |
2 3
|
xpexd |
|- ( ph -> ( A X. B ) e. _V ) |
68 |
67
|
adantr |
|- ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) -> ( A X. B ) e. _V ) |
69 |
15
|
opabbidv |
|- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> { <. u , v >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } = { <. u , v >. | ( ( u e. A /\ v e. B ) /\ v e. ( f ` u ) ) } ) |
70 |
|
opabssxp |
|- { <. u , v >. | ( ( u e. A /\ v e. B ) /\ v e. ( f ` u ) ) } C_ ( A X. B ) |
71 |
69 70
|
eqsstrdi |
|- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> { <. u , v >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } C_ ( A X. B ) ) |
72 |
71
|
adantl |
|- ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) -> { <. u , v >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } C_ ( A X. B ) ) |
73 |
68 72
|
sselpwd |
|- ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) -> { <. u , v >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } e. ~P ( A X. B ) ) |
74 |
|
eqid |
|- ( A R B ) = ( A R B ) |
75 |
4 2 3 74
|
rfovcnvd |
|- ( ph -> `' ( A R B ) = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> { <. u , v >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } ) ) |
76 |
5
|
a1i |
|- ( ph -> C = ( a e. _V , b e. _V |-> ( s e. ~P ( a X. b ) |-> `' s ) ) ) |
77 |
|
xpeq12 |
|- ( ( a = A /\ b = B ) -> ( a X. b ) = ( A X. B ) ) |
78 |
77
|
pweqd |
|- ( ( a = A /\ b = B ) -> ~P ( a X. b ) = ~P ( A X. B ) ) |
79 |
78
|
mpteq1d |
|- ( ( a = A /\ b = B ) -> ( s e. ~P ( a X. b ) |-> `' s ) = ( s e. ~P ( A X. B ) |-> `' s ) ) |
80 |
79
|
adantl |
|- ( ( ph /\ ( a = A /\ b = B ) ) -> ( s e. ~P ( a X. b ) |-> `' s ) = ( s e. ~P ( A X. B ) |-> `' s ) ) |
81 |
2
|
elexd |
|- ( ph -> A e. _V ) |
82 |
3
|
elexd |
|- ( ph -> B e. _V ) |
83 |
|
pwexg |
|- ( ( A X. B ) e. _V -> ~P ( A X. B ) e. _V ) |
84 |
|
mptexg |
|- ( ~P ( A X. B ) e. _V -> ( s e. ~P ( A X. B ) |-> `' s ) e. _V ) |
85 |
67 83 84
|
3syl |
|- ( ph -> ( s e. ~P ( A X. B ) |-> `' s ) e. _V ) |
86 |
76 80 81 82 85
|
ovmpod |
|- ( ph -> ( A C B ) = ( s e. ~P ( A X. B ) |-> `' s ) ) |
87 |
|
cnveq |
|- ( s = { <. u , v >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } -> `' s = `' { <. u , v >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } ) |
88 |
|
cnvopab |
|- `' { <. u , v >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } = { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } |
89 |
87 88
|
eqtrdi |
|- ( s = { <. u , v >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } -> `' s = { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } ) |
90 |
73 75 86 89
|
fmptco |
|- ( ph -> ( ( A C B ) o. `' ( A R B ) ) = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } ) ) |
91 |
90
|
coeq2d |
|- ( ph -> ( ( B R A ) o. ( ( A C B ) o. `' ( A R B ) ) ) = ( ( B R A ) o. ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> { <. v , u >. | ( u e. A /\ v e. ( f ` u ) ) } ) ) ) |
92 |
1 2 3
|
fsovd |
|- ( ph -> ( A O B ) = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ) ) |
93 |
66 91 92
|
3eqtr4rd |
|- ( ph -> ( A O B ) = ( ( B R A ) o. ( ( A C B ) o. `' ( A R B ) ) ) ) |