Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
iunincfi.1 |
|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) ) |
2 |
|
iunincfi.2 |
|- ( ( ph /\ n e. ( M ..^ N ) ) -> ( F ` n ) C_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) |
3 |
|
eliun |
|- ( x e. U_ n e. ( M ... N ) ( F ` n ) <-> E. n e. ( M ... N ) x e. ( F ` n ) ) |
4 |
3
|
biimpi |
|- ( x e. U_ n e. ( M ... N ) ( F ` n ) -> E. n e. ( M ... N ) x e. ( F ` n ) ) |
5 |
4
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( M ... N ) ( F ` n ) ) -> E. n e. ( M ... N ) x e. ( F ` n ) ) |
6 |
|
elfzuz3 |
|- ( n e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) ) |
7 |
6
|
adantl |
|- ( ( ph /\ n e. ( M ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) ) |
8 |
|
simpll |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( M ... N ) ) /\ m e. ( n ..^ N ) ) -> ph ) |
9 |
|
elfzuz |
|- ( n e. ( M ... N ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) ) |
10 |
|
fzoss1 |
|- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( n ..^ N ) C_ ( M ..^ N ) ) |
11 |
9 10
|
syl |
|- ( n e. ( M ... N ) -> ( n ..^ N ) C_ ( M ..^ N ) ) |
12 |
11
|
adantr |
|- ( ( n e. ( M ... N ) /\ m e. ( n ..^ N ) ) -> ( n ..^ N ) C_ ( M ..^ N ) ) |
13 |
|
simpr |
|- ( ( n e. ( M ... N ) /\ m e. ( n ..^ N ) ) -> m e. ( n ..^ N ) ) |
14 |
12 13
|
sseldd |
|- ( ( n e. ( M ... N ) /\ m e. ( n ..^ N ) ) -> m e. ( M ..^ N ) ) |
15 |
14
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( M ... N ) ) /\ m e. ( n ..^ N ) ) -> m e. ( M ..^ N ) ) |
16 |
|
eleq1w |
|- ( n = m -> ( n e. ( M ..^ N ) <-> m e. ( M ..^ N ) ) ) |
17 |
16
|
anbi2d |
|- ( n = m -> ( ( ph /\ n e. ( M ..^ N ) ) <-> ( ph /\ m e. ( M ..^ N ) ) ) ) |
18 |
|
fveq2 |
|- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) ) |
19 |
|
fvoveq1 |
|- ( n = m -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( F ` ( m + 1 ) ) ) |
20 |
18 19
|
sseq12d |
|- ( n = m -> ( ( F ` n ) C_ ( F ` ( n + 1 ) ) <-> ( F ` m ) C_ ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) |
21 |
17 20
|
imbi12d |
|- ( n = m -> ( ( ( ph /\ n e. ( M ..^ N ) ) -> ( F ` n ) C_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ m e. ( M ..^ N ) ) -> ( F ` m ) C_ ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) ) |
22 |
21 2
|
chvarvv |
|- ( ( ph /\ m e. ( M ..^ N ) ) -> ( F ` m ) C_ ( F ` ( m + 1 ) ) ) |
23 |
8 15 22
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( M ... N ) ) /\ m e. ( n ..^ N ) ) -> ( F ` m ) C_ ( F ` ( m + 1 ) ) ) |
24 |
7 23
|
ssinc |
|- ( ( ph /\ n e. ( M ... N ) ) -> ( F ` n ) C_ ( F ` N ) ) |
25 |
24
|
3adant3 |
|- ( ( ph /\ n e. ( M ... N ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> ( F ` n ) C_ ( F ` N ) ) |
26 |
|
simp3 |
|- ( ( ph /\ n e. ( M ... N ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> x e. ( F ` n ) ) |
27 |
25 26
|
sseldd |
|- ( ( ph /\ n e. ( M ... N ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> x e. ( F ` N ) ) |
28 |
27
|
3exp |
|- ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( x e. ( F ` n ) -> x e. ( F ` N ) ) ) ) |
29 |
28
|
rexlimdv |
|- ( ph -> ( E. n e. ( M ... N ) x e. ( F ` n ) -> x e. ( F ` N ) ) ) |
30 |
29
|
imp |
|- ( ( ph /\ E. n e. ( M ... N ) x e. ( F ` n ) ) -> x e. ( F ` N ) ) |
31 |
5 30
|
syldan |
|- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( M ... N ) ( F ` n ) ) -> x e. ( F ` N ) ) |
32 |
31
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. U_ n e. ( M ... N ) ( F ` n ) x e. ( F ` N ) ) |
33 |
|
dfss3 |
|- ( U_ n e. ( M ... N ) ( F ` n ) C_ ( F ` N ) <-> A. x e. U_ n e. ( M ... N ) ( F ` n ) x e. ( F ` N ) ) |
34 |
32 33
|
sylibr |
|- ( ph -> U_ n e. ( M ... N ) ( F ` n ) C_ ( F ` N ) ) |
35 |
|
eluzfz2 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) ) |
36 |
1 35
|
syl |
|- ( ph -> N e. ( M ... N ) ) |
37 |
|
fveq2 |
|- ( n = N -> ( F ` n ) = ( F ` N ) ) |
38 |
37
|
ssiun2s |
|- ( N e. ( M ... N ) -> ( F ` N ) C_ U_ n e. ( M ... N ) ( F ` n ) ) |
39 |
36 38
|
syl |
|- ( ph -> ( F ` N ) C_ U_ n e. ( M ... N ) ( F ` n ) ) |
40 |
34 39
|
eqssd |
|- ( ph -> U_ n e. ( M ... N ) ( F ` n ) = ( F ` N ) ) |