Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mptiunrelexp.def |
|- C = ( r e. _V |-> U_ n e. N ( r ^r n ) ) |
2 |
|
ovexd |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) -> ( j + i ) e. _V ) |
3 |
|
simprlr |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> j e. N ) |
4 |
|
simpll2 |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> N = ( ZZ>= ` M ) ) |
5 |
3 4
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) ) |
6 |
|
simpll3 |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> M e. NN0 ) |
7 |
|
simprll |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> i e. N ) |
8 |
7 4
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) ) |
9 |
|
eluznn0 |
|- ( ( M e. NN0 /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> i e. NN0 ) |
10 |
6 8 9
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> i e. NN0 ) |
11 |
|
uzaddcl |
|- ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ i e. NN0 ) -> ( j + i ) e. ( ZZ>= ` M ) ) |
12 |
5 10 11
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> ( j + i ) e. ( ZZ>= ` M ) ) |
13 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> n = ( j + i ) ) |
14 |
12 13 4
|
3eltr4d |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> n e. N ) |
15 |
|
vex |
|- x e. _V |
16 |
|
vex |
|- z e. _V |
17 |
|
vex |
|- y e. _V |
18 |
|
brcogw |
|- ( ( ( x e. _V /\ z e. _V /\ y e. _V ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) -> x ( ( R ^r j ) o. ( R ^r i ) ) z ) |
19 |
18
|
ex |
|- ( ( x e. _V /\ z e. _V /\ y e. _V ) -> ( ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) -> x ( ( R ^r j ) o. ( R ^r i ) ) z ) ) |
20 |
15 16 17 19
|
mp3an |
|- ( ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) -> x ( ( R ^r j ) o. ( R ^r i ) ) z ) |
21 |
|
simpll3 |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> M e. NN0 ) |
22 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> j e. N ) |
23 |
|
simpll2 |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> N = ( ZZ>= ` M ) ) |
24 |
22 23
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) ) |
25 |
|
eluznn0 |
|- ( ( M e. NN0 /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> j e. NN0 ) |
26 |
21 24 25
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> j e. NN0 ) |
27 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> i e. N ) |
28 |
27 23
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) ) |
29 |
21 28 9
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> i e. NN0 ) |
30 |
|
simpll1 |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> R e. V ) |
31 |
|
relexpaddss |
|- ( ( j e. NN0 /\ i e. NN0 /\ R e. V ) -> ( ( R ^r j ) o. ( R ^r i ) ) C_ ( R ^r ( j + i ) ) ) |
32 |
26 29 30 31
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( R ^r j ) o. ( R ^r i ) ) C_ ( R ^r ( j + i ) ) ) |
33 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> n = ( j + i ) ) |
34 |
33
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( R ^r n ) = ( R ^r ( j + i ) ) ) |
35 |
32 34
|
sseqtrrd |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( R ^r j ) o. ( R ^r i ) ) C_ ( R ^r n ) ) |
36 |
35
|
ssbrd |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( x ( ( R ^r j ) o. ( R ^r i ) ) z -> x ( R ^r n ) z ) ) |
37 |
20 36
|
syl5 |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) -> x ( R ^r n ) z ) ) |
38 |
37
|
impr |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> x ( R ^r n ) z ) |
39 |
14 38
|
jca |
|- ( ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) /\ ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) -> ( n e. N /\ x ( R ^r n ) z ) ) |
40 |
39
|
ex |
|- ( ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) /\ n = ( j + i ) ) -> ( ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) -> ( n e. N /\ x ( R ^r n ) z ) ) ) |
41 |
2 40
|
spcimedv |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) -> E. n ( n e. N /\ x ( R ^r n ) z ) ) ) |
42 |
41
|
exlimdvv |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) -> ( E. i E. j ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) -> E. n ( n e. N /\ x ( R ^r n ) z ) ) ) |
43 |
|
reeanv |
|- ( E. i e. N E. j e. N ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) <-> ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) ) |
44 |
|
r2ex |
|- ( E. i e. N E. j e. N ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) <-> E. i E. j ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) |
45 |
43 44
|
bitr3i |
|- ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) <-> E. i E. j ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ ( x ( R ^r i ) y /\ y ( R ^r j ) z ) ) ) |
46 |
|
df-rex |
|- ( E. n e. N x ( R ^r n ) z <-> E. n ( n e. N /\ x ( R ^r n ) z ) ) |
47 |
42 45 46
|
3imtr4g |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) -> ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) ) |
48 |
47
|
alrimiv |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) -> A. z ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) ) |
49 |
48
|
alrimiv |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) -> A. y A. z ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) ) |
50 |
49
|
alrimiv |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) -> A. x A. y A. z ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) ) |
51 |
|
cotr |
|- ( ( ( C ` R ) o. ( C ` R ) ) C_ ( C ` R ) <-> A. x A. y A. z ( ( x ( C ` R ) y /\ y ( C ` R ) z ) -> x ( C ` R ) z ) ) |
52 |
1
|
briunov2uz |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x ( C ` R ) y <-> E. n e. N x ( R ^r n ) y ) ) |
53 |
|
oveq2 |
|- ( n = i -> ( R ^r n ) = ( R ^r i ) ) |
54 |
53
|
breqd |
|- ( n = i -> ( x ( R ^r n ) y <-> x ( R ^r i ) y ) ) |
55 |
54
|
cbvrexvw |
|- ( E. n e. N x ( R ^r n ) y <-> E. i e. N x ( R ^r i ) y ) |
56 |
52 55
|
bitrdi |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x ( C ` R ) y <-> E. i e. N x ( R ^r i ) y ) ) |
57 |
1
|
briunov2uz |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( y ( C ` R ) z <-> E. n e. N y ( R ^r n ) z ) ) |
58 |
|
oveq2 |
|- ( n = j -> ( R ^r n ) = ( R ^r j ) ) |
59 |
58
|
breqd |
|- ( n = j -> ( y ( R ^r n ) z <-> y ( R ^r j ) z ) ) |
60 |
59
|
cbvrexvw |
|- ( E. n e. N y ( R ^r n ) z <-> E. j e. N y ( R ^r j ) z ) |
61 |
57 60
|
bitrdi |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( y ( C ` R ) z <-> E. j e. N y ( R ^r j ) z ) ) |
62 |
56 61
|
anbi12d |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( x ( C ` R ) y /\ y ( C ` R ) z ) <-> ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) ) ) |
63 |
1
|
briunov2uz |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x ( C ` R ) z <-> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) ) |
64 |
62 63
|
imbi12d |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( x ( C ` R ) y /\ y ( C ` R ) z ) -> x ( C ` R ) z ) <-> ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) ) ) |
65 |
64
|
albidv |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. z ( ( x ( C ` R ) y /\ y ( C ` R ) z ) -> x ( C ` R ) z ) <-> A. z ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) ) ) |
66 |
65
|
albidv |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. y A. z ( ( x ( C ` R ) y /\ y ( C ` R ) z ) -> x ( C ` R ) z ) <-> A. y A. z ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) ) ) |
67 |
66
|
albidv |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. x A. y A. z ( ( x ( C ` R ) y /\ y ( C ` R ) z ) -> x ( C ` R ) z ) <-> A. x A. y A. z ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) ) ) |
68 |
51 67
|
syl5bb |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( C ` R ) o. ( C ` R ) ) C_ ( C ` R ) <-> A. x A. y A. z ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) ) ) |
69 |
68
|
biimprd |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. x A. y A. z ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) -> ( ( C ` R ) o. ( C ` R ) ) C_ ( C ` R ) ) ) |
70 |
69
|
3adant3 |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) -> ( A. x A. y A. z ( ( E. i e. N x ( R ^r i ) y /\ E. j e. N y ( R ^r j ) z ) -> E. n e. N x ( R ^r n ) z ) -> ( ( C ` R ) o. ( C ` R ) ) C_ ( C ` R ) ) ) |
71 |
50 70
|
mpd |
|- ( ( R e. V /\ N = ( ZZ>= ` M ) /\ M e. NN0 ) -> ( ( C ` R ) o. ( C ` R ) ) C_ ( C ` R ) ) |