Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lgamgulm.r |
|- ( ph -> R e. NN ) |
2 |
|
lgamgulm.u |
|- U = { x e. CC | ( ( abs ` x ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) ) } |
3 |
|
lgamgulm.g |
|- G = ( m e. NN |-> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) |
4 |
|
lgamgulm.t |
|- T = ( m e. NN |-> if ( ( 2 x. R ) <_ m , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + _pi ) ) ) ) |
5 |
|
nnuz |
|- NN = ( ZZ>= ` 1 ) |
6 |
|
1zzd |
|- ( ph -> 1 e. ZZ ) |
7 |
|
cnex |
|- CC e. _V |
8 |
2 7
|
rabex2 |
|- U e. _V |
9 |
8
|
a1i |
|- ( ph -> U e. _V ) |
10 |
1 2
|
lgamgulmlem1 |
|- ( ph -> U C_ ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) ) |
11 |
10
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> U C_ ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) ) |
12 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> z e. U ) |
13 |
11 12
|
sseldd |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> z e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) ) |
14 |
13
|
eldifad |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> z e. CC ) |
15 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> m e. NN ) |
16 |
15
|
peano2nnd |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( m + 1 ) e. NN ) |
17 |
16
|
nnrpd |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( m + 1 ) e. RR+ ) |
18 |
15
|
nnrpd |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> m e. RR+ ) |
19 |
17 18
|
rpdivcld |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( ( m + 1 ) / m ) e. RR+ ) |
20 |
19
|
relogcld |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) e. RR ) |
21 |
20
|
recnd |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) e. CC ) |
22 |
14 21
|
mulcld |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) e. CC ) |
23 |
15
|
nncnd |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> m e. CC ) |
24 |
15
|
nnne0d |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> m =/= 0 ) |
25 |
14 23 24
|
divcld |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( z / m ) e. CC ) |
26 |
|
1cnd |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> 1 e. CC ) |
27 |
25 26
|
addcld |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( ( z / m ) + 1 ) e. CC ) |
28 |
13 15
|
dmgmdivn0 |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( ( z / m ) + 1 ) =/= 0 ) |
29 |
27 28
|
logcld |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) e. CC ) |
30 |
22 29
|
subcld |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) e. CC ) |
31 |
30
|
fmpttd |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) : U --> CC ) |
32 |
7 8
|
elmap |
|- ( ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) e. ( CC ^m U ) <-> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) : U --> CC ) |
33 |
31 32
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) e. ( CC ^m U ) ) |
34 |
33 3
|
fmptd |
|- ( ph -> G : NN --> ( CC ^m U ) ) |
35 |
|
nnex |
|- NN e. _V |
36 |
35
|
mptex |
|- ( m e. NN |-> if ( ( 2 x. R ) <_ m , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + _pi ) ) ) ) e. _V |
37 |
4 36
|
eqeltri |
|- T e. _V |
38 |
37
|
a1i |
|- ( ph -> T e. _V ) |
39 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> R e. NN ) |
40 |
39
|
nnred |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> R e. RR ) |
41 |
|
2re |
|- 2 e. RR |
42 |
41
|
a1i |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> 2 e. RR ) |
43 |
|
1red |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> 1 e. RR ) |
44 |
40 43
|
readdcld |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( R + 1 ) e. RR ) |
45 |
42 44
|
remulcld |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 x. ( R + 1 ) ) e. RR ) |
46 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. NN ) |
47 |
46
|
nnsqcld |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m ^ 2 ) e. NN ) |
48 |
45 47
|
nndivred |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) e. RR ) |
49 |
40 48
|
remulcld |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) e. RR ) |
50 |
46
|
peano2nnd |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. NN ) |
51 |
50
|
nnrpd |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. RR+ ) |
52 |
46
|
nnrpd |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. RR+ ) |
53 |
51 52
|
rpdivcld |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( m + 1 ) / m ) e. RR+ ) |
54 |
53
|
relogcld |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) e. RR ) |
55 |
40 54
|
remulcld |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) e. RR ) |
56 |
39
|
peano2nnd |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( R + 1 ) e. NN ) |
57 |
56
|
nnrpd |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( R + 1 ) e. RR+ ) |
58 |
57 52
|
rpmulcld |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( R + 1 ) x. m ) e. RR+ ) |
59 |
58
|
relogcld |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) e. RR ) |
60 |
|
pire |
|- _pi e. RR |
61 |
60
|
a1i |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> _pi e. RR ) |
62 |
59 61
|
readdcld |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + _pi ) e. RR ) |
63 |
55 62
|
readdcld |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + _pi ) ) e. RR ) |
64 |
49 63
|
ifcld |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> if ( ( 2 x. R ) <_ m , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + _pi ) ) ) e. RR ) |
65 |
64 4
|
fmptd |
|- ( ph -> T : NN --> RR ) |
66 |
65
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( T ` n ) e. RR ) |
67 |
1 2 3 4
|
lgamgulmlem5 |
|- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( ( G ` n ) ` y ) ) <_ ( T ` n ) ) |
68 |
1 2 3 4
|
lgamgulmlem4 |
|- ( ph -> seq 1 ( + , T ) e. dom ~~> ) |
69 |
5 6 9 34 38 66 67 68
|
mtest |
|- ( ph -> seq 1 ( oF + , G ) e. dom ( ~~>u ` U ) ) |
70 |
|
1zzd |
|- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~>u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> 1 e. ZZ ) |
71 |
8
|
a1i |
|- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~>u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> U e. _V ) |
72 |
34
|
adantr |
|- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~>u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> G : NN --> ( CC ^m U ) ) |
73 |
37
|
a1i |
|- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~>u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> T e. _V ) |
74 |
66
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~>u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) /\ n e. NN ) -> ( T ` n ) e. RR ) |
75 |
67
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~>u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( ( G ` n ) ` y ) ) <_ ( T ` n ) ) |
76 |
68
|
adantr |
|- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~>u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> seq 1 ( + , T ) e. dom ~~> ) |
77 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~>u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> seq 1 ( oF + , G ) ( ~~>u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) |
78 |
5 70 71 72 73 74 75 76 77
|
mtestbdd |
|- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~>u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> E. r e. RR A. y e. U ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` y ) ) <_ r ) |
79 |
|
nfcv |
|- F/_ z abs |
80 |
|
nffvmpt1 |
|- F/_ z ( ( z e. U |-> O ) ` y ) |
81 |
79 80
|
nffv |
|- F/_ z ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` y ) ) |
82 |
|
nfcv |
|- F/_ z <_ |
83 |
|
nfcv |
|- F/_ z r |
84 |
81 82 83
|
nfbr |
|- F/ z ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` y ) ) <_ r |
85 |
|
nfv |
|- F/ y ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` z ) ) <_ r |
86 |
|
2fveq3 |
|- ( y = z -> ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` y ) ) = ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` z ) ) ) |
87 |
86
|
breq1d |
|- ( y = z -> ( ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` y ) ) <_ r <-> ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` z ) ) <_ r ) ) |
88 |
84 85 87
|
cbvralw |
|- ( A. y e. U ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` y ) ) <_ r <-> A. z e. U ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` z ) ) <_ r ) |
89 |
|
ulmcl |
|- ( seq 1 ( oF + , G ) ( ~~>u ` U ) ( z e. U |-> O ) -> ( z e. U |-> O ) : U --> CC ) |
90 |
89
|
adantl |
|- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~>u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> ( z e. U |-> O ) : U --> CC ) |
91 |
|
eqid |
|- ( z e. U |-> O ) = ( z e. U |-> O ) |
92 |
91
|
fmpt |
|- ( A. z e. U O e. CC <-> ( z e. U |-> O ) : U --> CC ) |
93 |
90 92
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~>u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> A. z e. U O e. CC ) |
94 |
91
|
fvmpt2 |
|- ( ( z e. U /\ O e. CC ) -> ( ( z e. U |-> O ) ` z ) = O ) |
95 |
94
|
fveq2d |
|- ( ( z e. U /\ O e. CC ) -> ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` z ) ) = ( abs ` O ) ) |
96 |
95
|
breq1d |
|- ( ( z e. U /\ O e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` z ) ) <_ r <-> ( abs ` O ) <_ r ) ) |
97 |
96
|
ralimiaa |
|- ( A. z e. U O e. CC -> A. z e. U ( ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` z ) ) <_ r <-> ( abs ` O ) <_ r ) ) |
98 |
|
ralbi |
|- ( A. z e. U ( ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` z ) ) <_ r <-> ( abs ` O ) <_ r ) -> ( A. z e. U ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` z ) ) <_ r <-> A. z e. U ( abs ` O ) <_ r ) ) |
99 |
93 97 98
|
3syl |
|- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~>u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> ( A. z e. U ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` z ) ) <_ r <-> A. z e. U ( abs ` O ) <_ r ) ) |
100 |
88 99
|
syl5bb |
|- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~>u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> ( A. y e. U ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` y ) ) <_ r <-> A. z e. U ( abs ` O ) <_ r ) ) |
101 |
100
|
rexbidv |
|- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~>u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> ( E. r e. RR A. y e. U ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` y ) ) <_ r <-> E. r e. RR A. z e. U ( abs ` O ) <_ r ) ) |
102 |
78 101
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~>u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> E. r e. RR A. z e. U ( abs ` O ) <_ r ) |
103 |
102
|
ex |
|- ( ph -> ( seq 1 ( oF + , G ) ( ~~>u ` U ) ( z e. U |-> O ) -> E. r e. RR A. z e. U ( abs ` O ) <_ r ) ) |
104 |
69 103
|
jca |
|- ( ph -> ( seq 1 ( oF + , G ) e. dom ( ~~>u ` U ) /\ ( seq 1 ( oF + , G ) ( ~~>u ` U ) ( z e. U |-> O ) -> E. r e. RR A. z e. U ( abs ` O ) <_ r ) ) ) |